第3章 左半张量积与矩阵映射

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1、第3章左半张量积与矩阵映射本章主要研究矩阵左半张量积的性质.首先证明几乎所有普 通矩阵乘法的重要性质都可以推广到左半张量积.接着利用左半 张量积研究矩阵的线性和多项式映射.再根据矩阵映射的性质得 出左半张量积的一些新性质.最后讨论普通矩阵乘法、张量积和 左半张量积之间的转化.3.1 基本性质本章讨论左半张量积的一些基本性质.不难看出，当普通矩阵 乘法推广到左半张量积时，几乎所有的乘法性质都保留下来了. 左半张量积的生命力正在于此.命题3.1.1设A和B是两个具有合适维数的矩阵，则（AxB） = Bt x At.（3.1.1）证明通过简单计算可知，对于具有合适维数的行向量X和列向量Y，有X,Y

2、=（yt,Xt ）.（3.1.2）考虑A B .记A的第，行为A，B的第j列为B，则显然Aa B j的第（，,丁）块就是此时，Bta At的第（j,，）块是-L由式(3.1.2)可以看出，& B的第(i, j)块的转置就是Bta At 的第(j, i)块，于是命题得证.下面的命题说明两个矩阵的左半张量积可以很容易地用它们 的普通积加上张量积来实现.命题 3.1.2(1)如果 A e Mg,B eM，则Aa B = A(BI)(3.1.3)(2)如果AeMg”,BeM理冲，贝UAa B = (AIp)B.(3.1.4)证明 根据命题2.3.2,不失一般性，对于矩阵A和B ,我们 可以假设m =

3、q = 1,则可以通过直接计算验证等式成立.命题3.1.2是很基本的理论，半张量积的很多性质都可以由 它得到.下面的命题可以认为是命题3.1.2的直接结论.命题3.1.3给定两个具有合适维数的方阵A和B，使得Aa B 有定义，则(1) Aa B和B立A有相同的A忖B B A,特征函数；(2) tr(A忖B) = tr(B A);(3) 如果A或B可逆，则这里，“”表示矩阵相似；(4) 如果A和B都是上三角阵(下三角阵、对角阵、正交阵)则Aa B也同样是上三角阵(下三角阵、对角阵、正交阵)；(5) 如果A和B都可逆，则Aa B也可逆，并且（4a B）1= B-1 a A-1.（3.1.5）（6）

4、如果A B,则 tdet（4a B）= det（A），det（B）.（3.1.6）如果A B,则 tdet（4a B）= det（A）det（B）1t.（3.1.7）证明 利用式（3.1.3）和式（3.1.4）将左半张量积转化为 矩阵普通乘法和张量积的形式，很容易就得到上面的性质.我们证明（5）作为示例.设AB,则t（4a B）-1 =（A（BI ）3I ）-1 A-i =（B-i I ）A-1 = B-1 a A-1. ttt下面的命题表明换位矩阵也可以交换块结构数组的各块的位命题3.1.4 （1）设A =A , , A , , A , , A |_ 111nm1mn _|是每个分块都有相同

5、维数的矩阵，它是由指标女/按照索引 Id （i, j; m, n ）排列的，则AWn,mA11, Am1, 4/，Amn 一是按照索引Id （j,i;n,m）排列的:（2）设B = col （B , , B , , B , , B ） 111nm1 mn是由具有相同维数的分块排成一列的.矩阵，.由, j按照索引Id （i, j; m, n ）排列，则V/ = col是按照索引G，i； n, m )排列的.证明 如果A是列向量或者Bj是行向量，由命题1.5.3可直 接得到结果(见习题1.13).利用命题3.1.2可以看出，根据左半张量积，换位矩阵也可 以实现分块的重新排列.一个矩阵和单位阵I的左

6、半张量积有一些特殊的性质.粗略地说，当I的大小小于或等于矩阵M的大小(这里，大小指的是 行数或列数，分别对应于I左乘或右乘M)时，它就是一个单位 阵.当I的大小大于M的大小时，它将会扩大M.命题3.1.5 ( 1)设M是一个mxpn矩阵，贝UM a In = M.(3.1.8)(2) 设M是一个mxn矩阵，则Ma Ipn = M Ip.(3.1.9)(3) 设 M 是- 一个 pm x n矩阵，则I a M = M.(3.1.10)p(4) 设M是一个mxn矩阵，则Ipm a M = M Ip.(3.1.11)证明 所有的等式都可以利用命题3.1.2直接推导出来(我 们将具体的验证留给读者)卜

7、面的命题说明左半张量积可以用来将一些有关矩阵的线性映射表示成它们的展开式的线性映射.在下一节里，我们将会讨论另一种表示.命题 3.1.6 设AgMmn,X gM,YgMpxm，则匕（AX）= Aa 匕（X）（3.1.12）y（YA）= Ata V（Y）（3.1.13）Vc2.3.2，等式右边的第i块就是Y）= At Vc（Y）. i行为Ai.根据命题Ai a V（X ）=；Ai , r L艺kik=1jx , 11-|T ,X=（Ci .证明对于式（3.1.12），令C = AX,并且记A的第 （YA）=匕 AYt ）= At 忖Vrk=1于是，式（3112）成立.再来证明式（3113），对式

8、（3.2.11） 应用式（154），就有V（YA）= Vr （atYt ）= At 忖V,（YT ）= At 匕（Y）注意到，式（3.1.12）形如一个向量空间（例如n等）上 的线性映射.实际上，当X是一个向量时，式（3.1.12）就变成 一个线性映射的标准形式.这也从另一方面表明左半张量积是普 通矩阵乘法的推广.利用式（3.1.12）和式（3.1.13）可以得到一个矩阵多项式 的矩阵表示，下面就是一个直接结果，我们将详细证明留给读者.推论3.1.1设X是一个方阵，p(x)是一个多项式，则p(x) 可以表示成p (x)= q (x)x + p的形式，并且Vr (p (X )(/= q (X )

9、(X )+ pVr(I).(3.1.14)3.2矩阵的映射第1章中我们已经讨论了矩阵的行展开和列展开，有时将矩 阵表示成向量形式会给我们带来很多的方便.本节我们将考虑矩 阵表示成向量时，一个矩阵函数(特别是线性函数)的表示.我 们称之为矩阵映射的展开表示.性条件的映射，即此七+阮2)=ag)+师 )从向量空间V到向量空间W的线性映射e:VtW是指满足线1为方便，我们记L(V,W)为由向量空间V到向量空间W的线性映射全体.作为特例，pxq矩阵集合到mxn矩阵集合的线性映 射的全体记作L(MMmx)我们从几个例子开始.例3.2.1 (1)(Lyapunov映射)给出一个方阵AeMn.考虑如下映射L

10、a :Mn tMn,定义为Lr (X )= AX + XAt.(3.2.1)说一个矩阵是Hurwitz阵，如果它的所有特征值都具有负实 部.大家都知道24,A是一个Hurwitz阵，当且仅当对于任意一个 负定矩阵Q G, ）IZt7VZ = nN的李代数，而且对于任意的N工（X）=0存在一个非零解X,即0N为乙的一个特征值.N在式（3.2.3）中，矩阵去示成列展开形式，我们使用上标c 来去示.同样，当矩阵去示成行展开时，我们也有个矩阵去示,V C （x）=伍 V（X）.人La r卜面的命题去明，上述两种矩阵去示可以很容易地互相转换, 即其中一种矩阵去示可由另一种得到.命题 3. 2. 1 设p

11、 eL(M ,M )则 pxq mxnM，=W MeW ,(3.2.5)Prn,mn P azb + cztd,（3.2.7）其中 Ae Mmn，B e 匕，C e Mmxp，D G 匕。对于这种一般形式，我们有以下命题.命题3.2.2式（3.2.7）的矩阵表示是Mc = （Bt 0 A） + （Dt 0C）W .（3.2.8）证明 首先列出4种基本线性映射的矩阵表示（相应矩阵的 维数同上），如表3.2.1所示表3.2.1列展开表示McZ - ALI AZ - ZBBt InZ- CZT(I C)WZ-ZtD(Dt I )W 前两种映射是大家比较熟悉的，它们都可以通过直接计算验证.对于第三种映

12、射，有V (CZT) = (I C)V (Zt ) = (I C)V (Z) cncnr=(I C)W W V (Z) = (I C )W V (Z)n p ,n n, p rn p ,n c而对于最后一个，可以证明V (ZtD) =(Dt I )V (Zt ) =(Dt I )V (Z)cp cp r=(Dt I )W W V (Z) =(Dt I )W V (Z)-p P ,n n, p rp p, n c将式(3.2.7)看做是两个复合线性映射的线性组合，由上面这 些映射的矩阵表示就可以得到式(3.2.7)每一项的矩阵表示.另 外注意到，对于复合映射，它的维数需要根据乘积中间的矩阵大 小

13、来调整，于是有Mc = (Bt 01 )(I 0 A) + (Dt 01 )(I 0 C)W m pm n p,n 立即就得到了式(3.2.8)下面我们给出一个数值例子说明上面的公式.例 3.2.2 设 A, C g M 3 , B, D g M ，且1-1 2-21,C =0 101-11A =1 -10 1(1)设 p: M -M23X2使得Z- AZ，则1 -1 0 0 -2 10 00 10 0M = I A =P 2001 -10 0 2 1_0 0 0 1 _因此，V (AZ) = M V (Z)=1-10000 一00z11Z21=Z11 - Z2 常+ Z21z212011c

14、P 00L 0000120-111z12z22常z222 z + zz1222u 22-1(3.2.9)10200102-10100-1010010000110000100则，M = Bt I =P2直接计算有1z 一 zz 一 zz z1121122211 12=2 z + z2 z + zz z112112222122-1zz1-2122-11 -1AZ =210 1这就说明式(3.2.9)是正确的.(2)设 P : M- M2 4,使得 Z - ZB因此，zz 10 1 -ZB =1112 IIzz_|_211 01- 2122 JL1z+ 2 zz+ zzz=111211121211z

15、+ 2 zz+ zzz-212221222221-1直接计算得到V (ZB) = M pV (Z)z + 2 z1 0 2 0 1112z + 2 z0 10 22122I1z + z-10 10 z11 1211z + z0 -1 0 1 z212221=2 z + z0 0 1 0 z122212z0 0 0 1 z1222z10 0 0220 10 0z11zu21-1(3.2.10)这验证了式（3.2.10 ）的正确性.(3)设 p :M2-M3X2，使得Z - CZT，注意到W2,2=(11)(21)(12)(22)(11) (12)(21)(22)-1 0 00-00 10010

16、000 0 1于是,M (I 2因此，V (SZt)10200010c)w2,21010010200010101直接计算得到CZ T它验证了式（设:M2M V (Z)10100000010121100000z110z212z121Z221z 2zz12Z11Z12z 2z2122Z22ZZ212210211 1Z11 Z21Z12 Z22z11zz112z12ZL2 Z212Z22z 2212Z21Z223.2.11)的正确性.M2X 4，使得zZTD，则110 0001 1100 0M(DTPL01021 00 0001 21 10 00011(3.2.11)因此，V( ZtD) = M p

17、V(Z)110 0z + z11210 0 11z + z122210 0 0zz11110 0 10zz211212 0 0zz + 2 z1211210 0 12zz + 2 z*-221222-110 0-z + z11210 0 -11-z + z u 1222(3.2.12)z112疽4 J2 z + z + 5 z + 3 z11211222z + z + 3z11 q 1222z21 + 3 J- J-2z - z + 3z + z11211222z21z12z1- 22=-z 一 z + z + z1U21 c 12 O22z + 2 z + 3z + 3z112112223

18、z12 + 3 z22z 2 z + z + 3z11 - 2 z22 + 2%222 z + z - z + z11211222_ 常-% + z?2_(3.2.13)直接计算有zz 1 1 1-11121 1zz _|1 0 211- 1222z+ zzz+ 2 z-z+ z11211111211121z+ zzz+ 2 z-z+ z-1222121222122：ZtD =这验证了式（3.2.12）是正确的.(5)设p:M2-M3X4,使得Z azb + CZTD,利用式(3.2.8)得到因此，V (AZB + CZtD) = M V (Z)20402153-1013013-1-2-131

19、-1-111_=12330033-1 - 21300- 2221-1110-11直接计算得：2 z+ 4 zz + 3z-z+ CZ TD =2 z + z 11u 12 c + 5 z + 3zC 21 -2 z - z12+Q 22 3 z + z11 21122211211222-z +z + 3 z-z - z+z + zu11122211211222z + 2 z+ 3 z +3 z-2 z+2 z1121122212223 z+ 3 z2 z + zz + z122211211222-z 一 2 z+ z +3 zz - z+ z11211222111222-1AZB,这验证上式是

20、正确的.映射（3.2.7）由两种不同类型的项组成，它可以用于任意有 限项的情形，一种特别有用的情形是所有矩阵均为同一维数的方 阵.下面给一个数值例子说明.例3.2.3设1 10 -1A =，B =，-1 11 21 0 -12IC =，D =1 -1-2 1考虑(3.2.14)L(Z )= AZ + ZB + CZTD + AZB.利用式（3.2.8）及表（3.2.1）可得映射的矩阵表达式为Me =1-1+1-为了方便起的矩阵表示表 3.2.212 A + Bt 12 + (Dt C)W2 + Bt A 1 1 0 01 100 10-110000 01+ 0011-10 2000-11_|_

21、 0-10210- 20 1000110011 -1- 22 001000-11+2 010 0100-1-1222 - 2 0 -1_|_0 0 0 1_| |_ 1-1 - 2 22 -12110 -1 - 2 4 _一一 00533 - 2 5 4见，我们在表中列出了一些有用的矩阵线性映射:矩阵线性映射的列展开表示映射名称记号P AMcPALyapunov 映射LAZ KL + ZaIA + AI一般 Lyapunov映射LabZ KZ + ZBI A + Bt I辛映射SAw n(AbWw=(ba)Lm, plq,nZ KZ + ZtAI A + (AT I)W伴随映射adAZ AZ

22、- ZAI A = At I共轭映射Ca jZ KZA-1A-T A相合映射CagZ KZKAA利用上面的矩阵表示，我们可以得到一些有用的公式.命题3.2.3设/、/、 则吗(A B )=(B A)Lm, pIn ,q腥 Mmxn B E K (3.2.15)G A=吗pIn, pIm, p证明设考虑表示z i az，它可以通过以下两种方式实现：(1) z I Zt I AZr .注意到，首先是用,p作用，然后是Ip A. 因此，它的矩阵表示是Gp0 Avn, p (2) ZI7Za I (ZAt)r = S先用A0 1p，再用,p，因此，同样 的映射也可以z eMpxn表示成Wm,pfA0.

23、于是，上式成立.以下两种方式实现：(1) z I ZAt I BZAt I (BZAt).也就是Wm p H 0 B ).它是由WR, p K 0 B 0。实现的，(2) z I Zt I AZt I AZtBt. z 现，就是(B 0 AWhq.，它由(B 0 1 m 匕 0 AVLnq 实对于上式，设Z e Mqxn，考虑表示z I AZtBt，我们也可以通过于是有用W,n右乘等式两边就得到式(3.2.16).可以看出，式(3.2.15)也可由式(3.2.16)得到，后面我们将会用到他们.作为另一个应用，我们计算一般线性群的李代数，成为一般 线性代数，一般线性群记作GL（n,R）, 指的是

24、所有nxn可逆实 矩阵在普通矩阵乘法下行程的群，它又可以看做Rnxn的一个开子 集，因此也是个解析流行，而且在这个流行结构下，乘法和逆这 两个运算都是解析的，因此，它是一个李群，李群的所有左不变 向量场构成他的李代数.例3.2.4考虑一般线性群GL（n,R）设F是由F（I）= A生成的左 不变向量场.将这个nxn矩阵看成切空间的向量，写成典型的局 部坐标表示形式，即将每个元素看成一个坐标分量，则得到 匕）（当然也可用匕），记左平移为中X :P XP,VPeGL（n,R）当 将X看做Rnxn的一个点时，由式（3.2.14）知的列展开式应为XInX，因此X（P） = （InX）p，其中p = Vc

25、P令a = Vc（A），现在将左 平移看做GL（n,R）上的一个微分同胚，他将I点的切向量移到X点， 其值为邱P）a =（I X ）a.但因为F（X）是左不变的，A左平移到X的向量正是F在该点的值， 故Vc（F（X ）= J a = dtn 0 X）X a =（I X ）a = Vc（XA）.中 Xdxn最后一个等号由式（3.2.14）得到.因此,F（X）是X的矩阵形式是 XA接着给定两个左不变的向量场F和W，分别由A和B生成， 由上面可知，F和W的矩阵形式分别是F（X）= XA和w（X）= XB利用 式（3.2.14），在向量形式下，它们可以分别表示成(x)= AtI X,W(x)=GtI

26、X.根据公式如F (x)W (x )=也 F 一竺W.dxdx我们有4 In Kt In M tAt I - AtBt IFG)W(x=Bt I、 )AT I、)x4 I )B T I )x T I Xt I l )=KaB - BA) I )x.n利用式(3.2.14)，FG)wG)的矩阵表示是(ab-ba)x，也就 是由AB -BA生成的左不变向量场，因此，李群GL(n,R)的李代数 gl (n, R)上的李括号是(3.2.17)卜面的命题给出了线性映射的行展开，实际上，它也可以通A, b= ab - ba.过它的列展开式得到命题3.2.4式(3.2.7)的行展开式Mt =Cl Bt XJ

27、 Dt WLn, p (3.2.18)证明 这里也先列出4种基本线性映射的行展开式，当然，这些表示本身也很有用.表3.2.3行展开Pm t PZ 一 AZAI pZ 一 ZBIBtnZ I CZT(C I WnIn, p Z I ZTD( Dt WpIn, p V(AZX= av(z)=(aI V(z)这就证明第一个，对于第二个，有V (zb )= AV (z )=(a I V(Z )而面对第三个，我们有V (CZt X= V (ZCt X= (c I V (z)r=(c I w w V (Z)nLn, p Lp ,n c =(c I W v J) n ILn, pr然后由V ZtD )= V

28、 DtZ )=G Dt V(Z )=1 Dt M W V G)/ P pLp,n 1 c=V Dt Wn V(Z)就证明了最后一个，利用上表，我们得，到复合映射vAb + CZtD )= BtXaI )+G DtIcI WV 以mP mnPr=A Bt + C Dt WV(Z)(3.2.19)In, pr/于是，式(3.2.18)成立.作为应用，我们考虑Hautus方程，设Ai eM_,M)( = 1,.,k)是一些多项式腥Mnx，S e Mp*，腥Mxp-，称如下关于未知量X的矩阵 方程是Hautus方程：A1 Xq1(S )+ + AkXqk (S )= R.(3.3.20)为了说明Hau

29、tus方程的重要性，我们考虑它的一些特殊情 形.设称如下方程是Sylvester方程，它在控制理中很重要：ax - xs = R.(3.2.21)可以看出，它是式(3.2.20)在4 = A,a2 = i,q1(t)=Lq2(tX=-t时的特S e M px p，Re Mw p，X e Mm. p殊情形.设A和S都是方阵，并且B,P,C,Q都是具有合适维数的矩阵， 称如下方程是调节方程，他会在研究控制系统输出调节问题是遇 到：n s = An + sr + p（3.2.22）上式可以转化为一个Hautus方程，即A1 X - AX2S = R, 其中，A =AB，A =I0，R =-P，X =

30、n1c0200-Qr定理3.2.1 Hautus方程对于每个R都有解，当且仅当矩阵n（3.2,23）的n个行对于S的每个u = cn + Q.特征值，即对每一个X3（S），均是线性无关的，而且如果n = m， 则解是唯一的.证明设f e O（p，日），且令X = XT, S = T-1ST, R = R，则方程（3.2.20）可以转化为A、Xq（ S）+.+A产（S） = R（ 3.2.24）显然，对于每个A （人）=Aq（X）+.+A （人）R，都存在解X，与 对于R存在解X等价，并且有X = XT-1.因此不失一般性，我们可 以假设S就是它的Jordan标准型.其中，于是，q(St ) A

31、1+ + q (St ) A x = rx = v(X),r = v (R).由于 S 具有 Jordan 标准型，人 *10人2式（3225）可以表示成E r，0Q (人)2其中，0 一0Q （人）p(3.2.25)这里，Q （t） q （t） A + + q （t） A .11k k于是，立即就可以看出结论成立.推论3.2.1Sylvester方程（3.2.21）对于每个R都有解，当且仅当A和S没有相同的特征值，而且这是的解是唯一的.证明 对于Sylvester方程，我们有A（冗）A -1 冗对于任意的xec （ s ），A（人）非异等价于A和S没有相同的特征值.3.3矩阵的形式转换本节考

32、虑将一种矩阵转化成为另一种或者一种矩阵表示转 化成为另一种的问题.其中，后者尤为重要，因为我们可以通过它将一般的矩阵表示转化成为标准的多项式形式.首先，我们考虑如何将一个变量为矩阵X的多项式转化成为 关于以X元素为变量的多项式展开.设A e M，记A为它的第z行，定义两个映射兀;，兀:：Mmxn t M” 分别为兀r(A) = A(I Vt(I )(3.3.1)sn r S和nc(A) = A(I 8i,I 082, ,I 私)(3.3.2)其中，8,表示I的第行，这两个映射有如下关系.命题3.3.1丸c(A)=丸,(A). ， VAeM(333)证明仔细计算有丸r (A)=s4,0 0 0,

33、 A10 0A1An,00 0,An0 0Anssssss_.s .& ._/v)v)v) 4,M (A) = A,00 0, A20_s. 0 AnA,0 0 0,A2 00 A，nSssS.sVv、vXV(3.3.5)v气=00 A. 0 0 ,/ = 1, , n, j = 1, , s,j-1则得兀 r (A) = 1112 H1 H H 2 H ,兀c(A) = H11H2 H - H1H2 - H ,即在式(3.3.4)中， h 依索引id(i,j；n,s)排列，而在式(3.3.5) 中， H 依索引Id (j, i; s, n)排列，根据命题3.1.4立即可知，式 (3.3.3)

34、成立.现在，我们准备将一个常值矩阵和一个变量矩阵的乘积转化 成为变量展开.命题 3.3.2 设 A e M , X e M ,则AX =兀(A)V (X), 或 AX =nr(A)W V(X),(3.3.6)或者AX =兀c(A)V(X), 或 AX =nc(A)W V (X),(3.3.7)证明 利用式(3.3.4)，直接计算得到兀 r (A)V (X )= |以 ,以 ,乙 x ,1 = AX， s rk 1k k 2 kk nk1- k=1k=1k=1其中，Ak表示a的第k列.这就证明了式(3.3.6)中的第一个等 式.式(3.3.6)中的第二个等式可以由第一个等式和命题1.5.2 得到

35、，式(3.3.7)的证明类似.结合上面这些公式和矩阵线性映射的一些结果，我们可以 得出一些有用的公式.命题3.3.3设X & M , A e M，则xa =(I 0 Vt(/)% Atv(x)(3.3.8)证明 利用式(3.3.7)和式(3.2.14),我们有XA = I (XA)=兀c(I )V (XA)=兀c(I )(At 01 )V (A)(3.3.9)ms m cs mm c利用式(3.3.1)和式(3.3.3)，有兀 c (I ) = (I 0 Vt (I ) 0 Ws m m r sLs ,mj再由式(3.1.4)得到(At 01 )V (A) = AtV (X)m cc将它们代入

36、(3.3.9)就得到式(3.3.8).下面给出一个例子说明如何将一个矩阵多项式表示成它 的元素的多项式.例 3.3.1 设 a, B, C,Z e M , 考虑映射 ZAZBZC, 我们想将它表示 I_成它的元素的二次型.利用式(3.2.8)和式(3.3.8)，我们有V (AZBZC) = (Ct 0 A)V (ZBZ) = (Ct 0 A)忖(BZ)t V (T).(3.3.10)ccc再对(bz)t应用式(3.3.20)或者应用式(3.2.16)和式(3.1.4) 得到(BZ)t = ZtBt(I 0Vt(I )W 忖B V (Zt) n r n n c=(I 0Vt(I )W (B01

37、)W V (Zt)n r n nn n r=(I 0 Vt (I )(I 0 B)V (Z)n r n nc最后，我们有V (AZBZC) = (CT 0 A)(I 0Vt(I )(I 0B)V2(Z).(3.3.11)cn r n nc利用上面的表示，我们可以很方便地研究矩阵函数的一些 性质.下面给出一个例子，在后面也会用到它.例3.3.2考虑一个线性控制系统x = Ax + Bu,x 6口 n,u e m.当使用一个状态反馈u = Fx + v，并且考虑解耦问题时，为了计算解耦矩阵，下面的形式很重要21 :(A+ BF)#(3.3.12)我们将(A+ BF)k看作F的函数来研究它的性质，半

38、张量积可以将 它按如下方式表示成一个F的多项式函数，首先，利用命题 3.3.2,我们可以将 A + BF 转化成为A + BF = A + Ef，=兀rrn其中， f = V (F),E =K r (B), 这也可以由式(3.3.1)得到，于是有 r(A + E忖f )2 = (A + E f )(A+ E f)=A2 + A忖E + E (I A) 忖/ + E般，我们可以假设(A + BF)k = Ak + Pk 忖f + Pkf 2+Pk fk，k(3.3.13)(A + BF)k+i = (A + E忖f)(Ak + Pki+Pkkfk)=A k+i+A忖Pk + Ei(I Ak)f

39、+A忖Pk + E (I Pk) f 2+ + A忖Pk + E (I Pk) fk+i为了符号的方便，我们记Pk:=4，则对于式(3.3.13)中的系数， 0我们有一个递推式，即注意到，Pk eM ，并且很容易计算它.实际上，式(3.3.12)inxni+1中的矩阵的每一个元素都是f 的函数，但是在这种形式下很 ij难计算，而现在式(3.3.13)、式(3.3.14)就提供了计算每个元素的函数的简便方法.粗略的说，换位矩阵也可以将一个矩阵转化成一个向量，在某些情况下，使用下面的公式将会很方便.命题3.3.4 (1)设Z是一个t维行向量，aeM ，贝UZW A = AZW = A区Z(3.3.

40、15)(2)设Y是一个t维列向量，A同上，则AW Y = W YA = AY(3.3.16)证明 (1)利用式(1.5.8)，直接计算有ZW = z I 5 j = I Z(3.3.17),j=1 j利用式(1.1.3)，我们有ZWm A = (I Z)A = (I Z)(A I ) = A 区 Z.同理，我们有AZ. = A(I Z) = (A 函I)(I 饥)=A Z.Ln,tn1 n(2)在式(3.3.15)中用Ar代替a, y代替z，然后两边同时做转置.注意到，Wr =w ，则式（3.3.16）成立.R,n n,m 下面我们证明一个有用的引理.弓I理3.3.1设A e m贝U% 忖4

41、W = I 0 A（3.3.18）证明对于X eM ，根据式（3.1.10）,我们有V（4X）= 4忖V（X）= 4 W V（X）. TTg,n c两边左乘W,得到Lm,qV（AX） = （Wm 忖A 七）V（X）.（3.3.19）比较式（3.2.14）的第一式和式（3.3.19）,就得到（3.3.18）.左半张量积不满足交换律，但是，有时我们需要交换因子的次序.下面的公式在一定意义上可以看做是“交换次序”公式， 它在多元多项式计算式中非常有用.命题3.3.5给定矩阵AeMm.(3.3.20 )(3.3.21)设Z eR是一个列向量，则AZt = ZtWr A% = Zt（10A）.（2）设Z

42、 eR是一个列向量，则ZA =WAW Z =(I 0A)Z.Lm/ It ,nt设Z e R m是个列向量，则Xta = V（ A）Tx .（3.3.22）r（4）设Z e Rn是一个列向量，则AY = YtV（ A）.（3.3.23）（5）设z e Rm是一个列向量，Y eRn是一个行向量，则(3.3.24)XY = YW. Xlm,n证明 将式（3.3.15）中的第一个等号两边同时右乘w.， 并且利用可的=可门，就有式（3.3.20）的第一个等号成立.有第 一个等号，再利用式（3.3.18 ）就得到第二个等号.同理，将式（3.3.16 ）中的第一个等号两边同时左乘气， 得到式（3.3.21

43、）的第一个等号，再对第一个等号利用式（3.3.18） 就得到第二个等号.我们将式（3.3.22）和式（3.3.23）的证明留给读者.注意到，w广W尹，由式（3.3.20）或式（3.3.21）立即 可得式（3.3.24）.命题 3.3.6 设 A G M , B G M ，贝U(3.3.25)a Bia BiB1 a A111ina B 2a B 2B 2 a A111in: : .a Bsa Bs:Bs a A1111n = . a B1a B1B1 a Amm1mna B 2a B 2B 2 a Amm1-mn. . , a Bsa Bs-Bs a Amm1mn 1A B =(3.3.26)

44、A B = W 忖B WA =（I B）A. 证明记B的第i行为B i，通过直接计算有对b的每一行利用式（3.3.15）,有Bi AiBi A2B WLm,t JA BiA B 2A =:A BsBi AmBs AiBs A2(3.3.27)Bs Am比较式（3.3.26）和式（3.3.27）可以看出，bi江aj在式 （3.3.27） 中是按照索引归（八j； s, m）排列的，而在式（3.3.26） 中 则是按照索引Id（j, i;m, s）排列的，现在，为了将Id（i, j; s, m）转化为 Id（j,i；m,s），我们需要用wJ左乘式（3.3.27）.这样，式（3.3.25） 的第一个等

45、号成立.对式（3.3.25）中的第一个等号应用式（3.3.18）就得到了第 二个等号.例3.3.3设rnbb 一aa7 ii712iii2,B =bba1- 2ia22J，我2i b产 bL 3i32A 二贝Um = n = 2,s = 3,t = 2,于是，w 九,2wWE，2 %Mb3,2%L3,2jA=Rb12bb2122Lib320000_ 00a b000b11b21b31a b0 -0b12b22b32a ba11aa.aa 2122a bii i11 121212 12a ba ba ba b11 2111 22122112 22a ba ba ba b=11 3111 3212

46、3112 32a ba ba ba b21 1121 12221122 12a ba ba ba b21 2121 22222122 22a ba ba ba bu 21 3121 32223122 32 JA7=A B.卜面的推论是一个十分有用的等式.(3.3.28)或者反之.(3.3.29)推论3.3.1设c e M粕，则对任一整数m0均有*“,倍 ,=七 C证明在式（3.3.25）中取b = c及A = I即得.m最后，我们考虑如何将一个矩阵表示成展开式，命题3.3.7设A e M ，贝Uv(A)= Aa V(I )（3.3.30）证明 直接计算就可得到式（3.3.29）.应有式（1.5

47、.4）到 式（3.3.29）得到式（3.3.30）.反之，我们也可以从A的行或列展开得到A.命题3.3.8设A e M ，则V（A）= %,忖A V（I ）A = n I Vt（I ）忖V（A）=（i ） Wv （a） （3.3.31） n证明分别用i和a替换式（3.3.6）中的a和x，再利用式（3.3.1）就得到了第一个等号.对第一个等号应用式（1.5.4）就得到第二个等式.I v-m r n -1n ,m例3.3.4给定矩阵AeM32，且aii a21a31a12 a22a32则m = 3, n = 2.利用式（3.3.28）,我们有V（ In）=a 01+0a L 12a 11a12a

48、0a21+=210aaJ1L 22 -22a 0 -a31+31L 0 JaaL 32-u 32-1=v （a ）.rAa V（I ）= r n1001利用式（3.3.30），我们有（关于光和的表达式，可在例1.5.1中找到）W a A =3,2a11a21a31000000a11a21 a31a12a22a32000000a12aa2232-1a0a0 _a 1112一 一11a0a01a212221a0a00a3132=310a0a0a1112120a0a1a21221 1220a0aa3132u 32JW32忖A Vr (In)=接下来检验式（3.3.31）.对于第一部分，我们有100100000000000010010000000000001001aI Vt3 r 2 i r(I )忖V (a)=I (1 0 0 1)1 V (a)2 r1- 3 ra11a12a21a22a31a32-1aa1112aa2122aa3132=A.为了验证式（3.3.31）的第二部分，我们有13 (1 0 0 1) a W 1 0 0= 0