16隐函数存在定理函数相关

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1、16隐函数存在定理函数相关CH 16 隐函数存在定理、函数相关 1 隐函数的求导法 隐函数的存在定理。设F(x,y)满足下面条件： 1） 在区域D:|x-x0|a，|y-y0|b上Fx,Fy连续； 2） F(x0,y0)=0； 3） Fy(x0,y0)0。 则 1）在点(x0,y0)的某一邻域O(x0,h)内，F(x,y)=0唯一确定一个函数y=f(x)，且y0=f(x0)。 2）y=f(x)在O(x0,h)内连续； 3）y=f(x)在O(x0,h)内具有连续导数，且y=-Fx(x,y)。对于方程组的情Fy(x,y)形也有类似的定理。 隐函数的求导法：通常有三种方法。 1） 把方程看作恒等式，

2、两边对自变量求导，然后解出所求的导数或偏导数。 2） 公式法：设z=f(x,y)，是由方程F(x,y,z)所确定的隐函数，且Fz0，FyFxzz=-则， =-xFzyFz3）微分法：利用一阶全微分形式的不变性，方程两边求全微分可求出所求的偏导数或导数。 2例1 设x=vw，y=uw，z=uv 及 f(x,y,z)=F(u,v,w)，证明 22 xfx+yfy+zfz=uFu+vFv+wFw x2=vw2证 方程组 y=uw 确定了函数组 z2=uv数，为此，对方程组求微分得 x=x(u,v,w)y=y(u,v,w)，先求这个函数组对各变元的偏导z=z(u,v,w) 1 dx=2xdx=wdv+

3、vdw2ydy=wdu+udw， 即 dy=2zdz=vdu+udvdz=wvdv+dw2x2xwudu+dw 2y2yvudu+dv2z2zwvxxx 0 2x2xuvwyyywu故 = 0 2yuvw2yzzzvu 0uvw2z2z将函数组代入方程f(x,y,z)=F(u,v,w)，得关于变元u,v,w的方程 f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)=F(u,v,w)， 在这方程两边分别对u,v,w求偏导，得 xyz+fy+fz=Fu uuuxyzfx+fy+fz=Fv vvvxyzfx+fy+fz=Fw www将上面三式分别乘以u,v,w后再相加，得 fx fyvwuvv

4、wuwuwuv+fz+fz+fx +fx+fy2x2z2y2z2x2y=uFu+vFv+wFw 2将x=vw，y=uw，z=uv代入即得 22xfx+yfy+zfz=uFu+vFv+wFw。 2z2z2z2例2 若z=f(x,y)有连续二阶偏导数，满足方程2=，证明：若把2xyxy2y2y2y2=。 z=f(x,y)中y看成x,z的函数，则它满足同样形状的方程 22xzxz证 由z=f(x,y)确定y是x,z的函数，则有z=f(x,y(x,z)，方程两边分别对x,z求偏导，得 2 0=ffyx+yx 1=fyyz (1) 式再分别对x,z求偏导，得 0=2f2fy2fy2f2yx2+2xyx+

5、y2(x)+yx2 (3) 2 0=fy2fyyf2yxyz+y2xz+yxz (2)式再对z求偏导，得 0=2fy2f2yy2(z)+yz2 由式 2f2fx2y2(yz)2=f2yyz222fyxyx+2fy2(yx)2+f2yyx2 =2y2yf2f2y2fy2x2z2(y)+fy2yz22xyx+y2(x)2y2yf2=22fyxzyyz)222fyxyx+fy222-2(y2(x) (由式) 2y2yf22=2fyyfy2fyyx2z2(y)-y2xz2xyz+y2xz 由式 (2fy22fyxyz)=(yf2y2y2xz+yxz) =(f2y22fyy22fyyf2yyxz)+(y

6、2xz)+2y2xzyxz =(f2yyxz)2+2fyy2fyyf2yy2xzy2xz+2yxz 2z2z2因为z2x2y2=(xy)，则 3 2y2yf22fyy2fy2fyy -22+2 22xzyyxzxyzyxzf2y22fyy2fyyf2y=+22+2 yxzyxzyxzyxz结合式得 2y2yf2f2y22fyy2fy2fyyf2y=+22+2+ 22yxzxzyyxzxyzyxzyxzf2y2 = yxz2y2y2y2=。 即 22xzxzu=f(x,y,z,t)uu, 例3 设 g(y,z,t)=0，问什么条件下u是x,y的函数啊？求。 xyh(z,t)=0解 当g,h对各变

7、元有连续的偏导数，且g(y,z,t)=0(g,h)0时，方程组可确定函(z,t)h(z,t)=0数组z=z(y)，代入u=f(x,y,z,t)即得u是x,y的函数 u=f(x,y,z(y),t(y)。 t=t(y)u=f(x,y,z,t)对方程组 g(y,z,t)=0求微分，得 h(z,t)=0du=fxdx+fydy+fzdz+ftdt (1) (2) gydy+gzdz+gtdt=0 (3)hzdz+htdt=0 记J=(g,h)，若J0，由式 (z,t)1-gydy gt-gyhtdy dz= =J 0 Jht dt=代入得 1 gz -gydygyhzdy =J hz J0 4 -gyhtdygyhzdy du=fxdx+fydy+fzJ+ftJ =ffthz-fzhtJdy=fgy(h,f)xdx+fy+gyxdx+fy+J(z,t)dy 故 ux=fugy(h,f)x， y=fy+J(z,t) 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 5