高一数学衔接班第3课因式分解

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1、高一数学衔接班第3课因式分解亿库教育网 http:/www.eku.cc 高一数学衔接班第3讲 因式分解 一、学习目标： 1、掌握因式分解的常用方法：乘法公式法、分组分解法、十字相乘法 2、了解换元、添项拆项分解因式的方法。 3、能够灵活运用上述方法进行因式分解变形。 二、学习重点： 分解因式的常见方法 三、课程精讲： 1、知识回顾： a2b2； a22abb22 2、新知探秘： 如何将8x分解因式呢？ 知识点一：运用乘法公式法 a3b3； a3b3. 两个数的立方和，等于这两个数的和乘以它们的平方之和与它们积的差。 例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式： 8+x 3333330.12

2、5-27b 33323思路导航：中，8=2，中0.125=0.5,27b=(3b) 解：8+x=2+x=(2+x)(4-2x+x) 0.125-27b=0.5-(3b)=(0.5-3b)0.5+0.53b+(3b) 33322=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b2) 点津：在运用立方和公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3=(2ab)3，这里逆用了法则(ab)n=anbn；在运用立方和公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。 34例2. 因式分解：3ab-81b 思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b，应先提取公因式，再进一步分解； 解：3ab-81b=3b

3、(a-27b)=3b(a-3b)(a+3ab+9b). 仿练： a7343322-ab6 663232思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现a-b，可看作是(a)-(b)或(a2)3-(b2)3。 76663333解：a-ab=a(a-b)=a(a+b)(a-b) 亿库教育网 http:/www.eku.cc 亿库教育网 http:/www.eku.cc =a(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=a(a+b)(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)2222点津：在进行多项式分解时，如果各项中有公因式，那么应先提取公因式。 知识点二：分组分解法 从前面可以看出，能够直

4、接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组。 1、分组后能提取公因式 例3. 把2ax-10ay+5by-bx分解因式。 思路导航：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提取公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样可以继续提取公因式。 解：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 点津：用分

5、组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试。 例4. 把ab(c2-d2)-(a2-b2)cd分解因式。 思路导航：若按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。 解：ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc2-abd2-a2cd+b2cd =(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2) =ac(bc-ad)+bd(bc-ad)=(bc-ad)(ac+bd) 点津：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式

6、，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。 2、分组后能直接运用公式 例5. 把x2-y2+ax+ay分解因式。 思路导航：把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x+y；把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是x+y。 解：x-y+ax+ay=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a) 222仿练：把2x+4xy+2y-8z分解因式。 思路导航：先将系数2提取后，得到x+2xy+y-4z，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。 解：2x+4xy+2y

7、-8z=2(x+2xy+y-4z) 22222222222=2(x+y)2-(2z)2=2(x+y+2z)(x+y-2z) 点津：从例5可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，那么这个多项式亿库教育网 http:/www.eku.cc 亿库教育网 http:/www.eku.cc 就可以用分组分解法来分解因式。 知识点三：十字相乘法 1、x2+(p+q)x+pq型的因式分解 x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q)例6. 分解因式：把下列各式分

8、解因式： x-7x+6 2x+13x+36 2思路导航：利用上述公式 解：Q 6=(-1)(-6),(-1)+(-6)=-7 相同。 例7. 把下列各式分解因式： x+5x-24 2 x2-7x+6=x+(-1)x+(-6)=(x-1)(x-6)。 Q 36=49,4+9=13 x2+13x+36=(x+4)(x+9) 点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项x-2x-15 2思路导航：利用上述公式 解：Q -24=(-3)8,(-3)+8=5 x2+5x-24=x+(-3)(x+8)=(x-3)(x+8) Q -15=(-5)3,(-5)+3=-2 x2-

9、2x-15=x+(-5)(x+3)=(x-5)(x+3) 点津：由此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。 例8. 把下列各式因式分解： x+xy-6y 22222222(x+x)-8(x+x)+12 思路导航：把x+xy-6y看成x的二次三项式，这时常数项是-6y，一次项系由换元思想，只要把x+x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次22数是y，把-6y分解成3y与-2y的积，而3y+(-2y)=y，正好是一次项系数。 2三项式a-8a+12。 解：x+xy-6y=x+yx-6y=(x+3y)(x-2y) 2、一般二次三

10、项式ax+bx+c的分解因式 亿库教育网 http:/www.eku.cc 22222(x+x)-8(x+x)+12=(x+x-6)(x+x-2) 22222=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1) 点津：“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会 亿库教育网 http:/www.eku.cc 大家知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2。 反过来，就可得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成

11、2a1a2c1，c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，那么ax+bx+c就可以分解成(a1x+c1)(a2x+c2). 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。 例9. 分解因式：12x-5x-2 思路导航：2 5x2+6xy-8y2 解：12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1) 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y) 仿练：分解因式： x23x2； x24x12； x2-(a+b)xy+aby2； xy-1+x-y. 解：如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个

12、数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2。 由图2，得 x24x12 由图3，得 x-(a+b)xy+aby(x-ay)(x-by) xy-1+x-yxy1 22图4 点津：用十字相乘法分解二次三项式很重要。当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。 知识点四：配方法 例10. 分解因式： (1)x2+6x-16 (2)x2+4xy-4y2 解：x+6x-16=(x+3)-5=(x+8)(x-2) x+4xy-4y=(x+

13、4xy+4y)-8y 亿库教育网 http:/www.eku.cc 22222222亿库教育网 http:/www.eku.cc =(x+2y)2-8y2=(x+2y+22y)(x+2y-22y) 这种设法配成含有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解因式。 换元法 例11. 分解因式(x2-5x+2)(x2-5x+4)-24 思路导航：将x-5x看作y，进行换元。 解：原式(y+2)(y+4)-24=y2+6y-16 (y-2)(y+8) 所以，原式(x2-5x-2)(x2-5x+8) 25+335-33)(x-)(x2-5x+8) 2222点津：

14、将x-5x看作y，分解y2+6y-16，再把yx-5x代入，即得原式的分解=(x-式，这种因式分解的方法叫做换元法。 拆、添项法 例12. 分解因式x-3x+4 思路导航：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行。细查此式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。 解：x3-3x2+4=(x3+1)-(3x2-3) 32=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)=(x+1)(x2-x+1)-3(x-1) =(x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x-2)2 点津：本解法把原常数4拆成1与3的和，

15、将多项式分成两组，满足系数对应成比例，2造成可以用公式法及提取公因式法的条件。本题还可以将-3x拆成x-4x，将多项式分2232成两组(x+x)和-4x+4. 2四、知识提炼 一般地，因式分解，可按下列步骤进行： 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其他方法来分解因式； 因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 五、目标期望 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反的变形。在分式运算、解方程以及各种恒等变形中它都有着重要的应用。通过本节课的学习，让学生了解、认识因式分解时的常用方法，特别是要熟练掌握对系数不

16、为“1”的二次三项式形式的代数式分解因式，以便在后续阶段对方程、函数、不等式的学习时，提高学生恒等变形的能力。 六、下讲预告 亿库教育网 http:/www.eku.cc 亿库教育网 http:/www.eku.cc 下节课我们将学习一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系所包含的知识，在高中数学的二次函数、不等式以及解析几何等内容中都有着广泛的应用。 一、选择题： 1. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是 A. x3xx B. x22xyy22 C. x2yxy2xy D. x2y2 2. 下列各式能分解因式的个数是 x23xy9y2

17、x2y22xy a2b22ab x216y2 a29b2 4x22xyA. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是 12y 4b+1ba+ba米 B. 米 C. 米 D. 米 aaba114. 若x7，则x22的值是 xxA. A. 49 B. 48 C. 47 D. 51 5. 多项式2x2-xy-15y2的一个因式为 A. 2x-5y B. x-3y C. x+3y D. x-5y 二、填空题 1. 将a3a分解因式，结果为_. 2. 分解因式2x24x2_. 3. 分

18、解因式x22x1_ 4. 分解因式4(x-y+1)+y(y-2x)_ 三、解答题 1. 因式分解：2x2+xy-y2-4x+5y-6 2. 分解因式 222x+9+3x+3x； 2x+4xy+2y-8z. 323. 证明：当n为大于2的整数时，n-5n+4n能被120整除。 4. 已知a+b+c=0，求证：a+ac+bc-abc+b=0 322353亿库教育网 http:/www.eku.cc 亿库教育网 http:/www.eku.cc 一、选择题 1. A 2. C 二、填空题 1. a 三、解答题 1. 2x2+xy-y2-4x+5y-62x2+(y-4)x-y2+5y-6 2x2+(y

19、-4)x-(y-2)y2x-y+2)x(+y-. 3 )(-3或2x2+xy-y2-4x+5y-6(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6 2. 2(x+1)2 4. (2-y)(2x-y+2). 3. (x-1-2)(x-1+2) 3. B 4. D 5.B x-y)(x+y)-(4x- (2325y-)(2x-y+2)(x+y-3). 2. 解：x+9+3x+3x(x3+3x2)+(3x+9)x2(x+3)+3(x+3)(x+3)(x2+3)或x3+9+3x2+3x(x3+3x2+3x+1)+8(x+1)3+8(x+1)3+23(x+1)+2(x+1)2-(x+1)2+22(x+3)(x2+3) 2x2+4xy+2y2-8z22(x2+2xy+y2-4z2)2(x2+2xy+y2)-4z22(x+y-2z)(x+y+2z)。 3. 证明：因为n5-5n3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 所以当n为大于2的整数时，n-5n+4n为120的倍数，所以结论成立。 4. 证明：因为a+ac+bc-abc+b=(a-ab+b)(a+b+c)=0，所以原式得证。 32232253亿库教育网 http:/www.eku.cc