含参量反常积分一致收敛性的判别法

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1、含参量反常积分一致收敛的判别法王明星(德州学院数学科学学院,山东德州253023 )摘要：含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工c.本文通过对 含参量反常积分一致收敛性的分析和研究，总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简 单而有效的方法和定理(柯西准则,M判别法，确界法,狄利克雷判别法等)，从而方便了含参 量反常积分一致收敛性的学习和掌握.关键词：含参量反常积分；一致收敛；判别法含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分，两 种反常积分一致收敛性的判别法是相似的，所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限 反常积分一致收敛性的判别法.1含参量无穷限反常积分一致收敛

2、的概念1.1含参量无穷限反常积分设函数f 3, y)定义在无界区域R = (x, y)| a x b,c y c，使得M N时，都有if M f (x, y)dy -1(x) ,I c即” f (x, y)dy c，使得M N时,对一切x ea, b,都有If M f (x, y)dy -1(x) sI c即j+8 f (x, y )dy c，总存在M N及x0 ea,b，使得f Mf (x ,y)dy -1 (x)- 0，则称含参量无穷限反常积分心f (x, y)dy在a, b上非一致收敛于I(x).c2含参量无穷限反常积分一致收敛的判别法2.1用定义法证明含参量反常积分一致收敛性和非一致收

3、敛性用定义证一致收敛的关键在于寻找只与8有关的共同的A0,方法常常是采取 适当放大的方法.例1证明 无穷积分f ye-xydx在区间a, +8)(a 0)一致收敛，而在(0, +8)上0非一致收敛.证明ln1对 Ve 0 ,取 A0 = j ye-xydx = e-Ay e-的 0,取 A，= 2A A, y = e (0,+8)，贝U02e2A+l y e - xy dx = e - A y - e -1 s . Aln1+但j ye-xydx在a,+3）一致收敛（其中a 0 ）,，取A0 = W，当A A0时,对一切Ay ea,+8),有+8! ye-xydx = e-Ay 0 ）上一致收

4、敛. A2.2用柯西准则证明含参量无穷限反常积分一致收敛性和非一致收敛性定理1 (柯西准则)反常积分了 f (x, y )dx在区间I (y ec, d ) 一致收敛aA=Vs 0, 3A 0 , VA A 与 A A , Vy e I, f f (x, y)dx 0,总存在M c,当A1, A2 M时对一切x e a, b)恒有g f (x, y )dyI Ai由假设f (x, y)在a,bxA , A 上连续，所以j A2 f(x, y)dy是x的连续函数.在上面不等式中令x Tb,得到当A2 A M时, j A2 f (b, y )dy Ai .12A而是任给的，因此f+w f （x,

5、y） dy在 x = b处收敛，这与假设矛盾.所以积分 cf+w f （x, y） dy在 a, b）上不一致收敛. c2.3用魏尔斯特拉斯判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛定理2 （魏尔斯特拉斯判别法）设有函数gG ），使得f G, y】 g (y), a x b , c y 0在u e0,+8）上一致收敛. 0证 对于任何（u,t）e0,+8）x0,+8）,有e Ga+3)cos t 0时收敛，故由维尔斯特拉斯判别法知 0j +8 e-(2a+3)cos tdt0在u e 0,+8)上一致收敛.使用维尔斯特拉斯判别法，关键在于将被积函数的绝对值|/3,u)|适当地放 大，以找出函数F

6、(x)(优函数)，使f (x, u) a, Vu e I)f (x dx收敛，则f f (x, u )dx关于u在I上一致收敛.2.4利用变上限积分的有界性判定含参量无穷限反常积分的一致收敛性维尔斯特拉斯判别法是判别某些反常积分一致收敛性的很简便的判别法，但 这种方法有一定的局限性：凡能用维尔斯特拉斯判别法判别无穷积分是一致收敛, 此无穷积分必然是绝对收敛；如果反常积分是一致收敛，同时又是条件收敛，那么 就不能用维尔斯特拉斯判别法来判别.对于这种情况，有如下定理定理3若函数f (x, y)在区间D(a x 0)连续，且F(x, y) = jf (t, y)dt在D有界，即3C 0, V(x,

7、y) e D,都有F(x, y) = i f (t, y)dt 0时,反常积分+8 dx在区间I 一致收敛.分析i) F(尤,y) = jf (t, y)dt在D有界ii) 1在人 0时是单调递减的，明显的 Xa满足狄利克雷判别法的条件.证i)由已知F (x, y) = j f (t, y)dt a 在D有界，即BC O, V(x, y)e D，都有|F(x, y)|= X f (t, y)dt C. aii)对每一个y e I，-关于x是单调递减且当x T +3时，对参变量y ,上 Xx入一致收敛于0,则由狄利克雷判别法可知含参量反常积分1x22 dxx人a 在区间I 一致收敛.例4证明反常

8、积分+3 sin x , e - x：ydxx 0由题可知F(x, y) = j e - yt在区间0,+3) 一致收敛.sin tdt, V(x, y) e D(1 x +3,0 y +3)从而有|F(x, y)| 2(1 + y)e一y 0(y +3), 1 + y2而je-yt sin tdt是定积分，必然有界.即存在C , V(x, y)e D有 0x e - yt sin tdt 0 ,则由定理3可知反常积分+ sin x ,e -dxx0在区间0,+8)一致收敛.2.5用确界法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性和非一致收敛性在知道反常积分f f (x, y)dx关于y在区间I上的

9、收敛值Jy )时，可应用下述 a定理定理4含参量反常积分J f (x, y )dxa关于y在区间I上一致收敛于中(y )的充要条件是lim supf (x, y)dx- (y) = 0.(1)A+8 yei IaU证必要性若+J f (x, y )dxa关于y在区间I上一致收敛于中(y)，则对任给的正数e ,存在不依赖于x的正整数N，当n N时，有J f (x, y)dx一中(y)由上确界的定义，亦有supf f (x, y )dx-甲(y ) 0，存在正整数N，使得当n N时，有supyeIf f (x, y )dx甲(y )8(2)故由(2)式得f f (x, y )dx一甲(y ) su

10、p f f (x, y )dx一甲(y ).yelj f (x, y)dx一中(y)a 0)上的一致收敛性和1 + x 2 y 2 0(0,+oo)内的非一致收敛性.解 显然f-dx关于y在(0,+oo)内收敛于一1 + x 2 y 220(事实上 lim J *ydx = lim Cretan xy|* )二 lim (arctan Ay - arctan 0 )=).A o 0 1 + x2 y2 Ao0 Ao2lim supg+co yc|J1 + ；2y 2 dx -:lim sup J ； - arctan ygg+co yc. 兀a=lim ( 一 arctan cg) = 0 ,

11、 g+ co 2lim suplim sup J: - arctan ygg+co y0兀兀 =lim = g+o 22&+co y0由定理4,得T y dx1 + x 2 y 20关于y在c,+3), (c 0)上一致收敛于,在(0,+3)内非一致收敛.2定理5含参量反常积分关于y在区间I上一致收敛于4 (y)的充要条件是：对任意 fa,+8)：lim & n=+8 ,y u I: y e I (n = 1,2,)，都有limnr+3 af (x, y )dx f (y ) = 0.ny(x + y )2 1证明显然dx关于y在(0,+3)内非一致收敛.J y dx (x + y )2 1关

12、于y在(0,+3)内收敛于i+ -取& = n, y = n(n = 1,2,)，那么就有lim & = +3, y e (0,+3)(n = 1,2,)，但是n+3lim J dx nn3 1 (X + y21 + yn=limn T311=lim = n* 22/dx关于y在G,+3)内非一致收敛.1 Vx + y 力2.6用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性由定理5,定理6 (狄利克雷判别法)设i)对一切实数N 0,含参变量反常积分J f (x, y )dx对参变量y在侦b上一致有界，即存在正数M ,对一切N c及一切y g ,b,都 有j f （x, y 认 0,都有

13、j A sin xdx 1 一 a0ii) 因 为 *= 一at、a (x +10 )一 xV x+10 7 ( x+10 ) 2十、时， 0 ,即己在！2竺,+8）上单调递减，并且1血己=0 .因此V x+10 /x +10 1-a7xt+8 x +10由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分j 心 Xa M Tx10 a x + 101a对Va g（0,1）是一致收敛的.而在0,业上是定积分，必收敛，则对Va g（0,1）是1 a一致收敛的.所以含参量反常积分j+8 X 皿 X dX0 X + 10对Va e(0,1)是一致收敛的.2.7用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性定理7

14、 (阿贝尔判别法)设i) f f (x, y)7x 在 a, b上一致收敛；cii) 对每一个y g a,b,函数g(x, y)为x的单调函数，且对参变量y , g(x, y)在 a,混上一致有界,则含参变量反常积分f f (x, y )g (x, y )dxc在a,混上一致收敛.例8证明含参变量反常积分手 sin x ,e - xydxx0在Io, d上一致收敛.证明由于反常积分+f sin x ,dxx0收敛，(当然，对于参变量y,它在k d 一致收敛)，函数g (x, y)=e-xy对每一个X G h d单调，且对任何0 y 0,都有故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分sin x ,-x

15、ydx在b, d上一致收敛.推论1设函数f (x, y)定义在无界区域la, +8)xc,d上，且对y的偏导数fy(x, y)存在.若下列条件满足1)对每一个y ec,d,反常积分j+ (x, y x a收敛；jb f (x, y )dx 0，使得对任意b 0及所有的y ec, d ,恒有即关于b及y ec, d一致有界.则含参量反常积分在c, d 上一致收敛.证明由于c, d 为有限闭区间.根据有限覆盖定理，对任给的8 0，一定存在有限个点 c = y y y y = d ,使得c,d= y ,y 且 y -y A (8 , y )有10 ij A1 f (x,y,)dx 8 ,i = 1,

16、2,，n(3)另一方面，对任意的y e c,d, 一定存在一点y.,使得|y-yj A ,式 0 i010f A1 f (x, y )dxA=f A1 (f (x, y )- f (x, y )+ f (x, y S)dxAiif A1 (f (x, y )- f (x, y )dx + f A1 f (x, y dx=f A1 f (x, & )(y - y )dx + f A1 f (x, y )dxffA f (x,g)dx + jA1 f (x,)dx|y - y +e 0 .解由于对固定的y g R，当x T+8时,x2x2e-a2x2 cos 2xy =cos 2xy 0,ea 2

17、 x2于是对固定的y g R,广义积分j+8e-g2 cos2xydx收敛.另一方面,考虑积分 0J+8 f (x, y 认=一2+8 xe-a2x2 sin 2xydx,x2 - xe-a2x2 sin 2xy =x30 .supyG(-8,+8)这里f (x, y ) =e-a2x2 cos 2xy .由于当 x T+8 时,ea 2 x2从而有j+8f (x, y )dx在y g (-8, +8)上一致收敛，由推论2知，j+8 e-a2x2 cos 2xydx 0在y g (-8, +8)范围上的一致收敛.总之，判断含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法多种多样，关键在于 理解它们各自应

18、用的范围及其相互联系，以达到灵活应用.参考文献：1 贺自树.一致收敛教学的探讨J.重庆师范学院学报(自然科学版)，1998 (15): 66-78.2 刘玉琏.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社,1992.3 华东师范大学数学系编.数学分析第三版下册M.北京：高等教育出版社,2001.4 吕通庆.一致连续与一致收敛M.北京:人民教育出版社，1982.5 刘玉琏.数学分析讲义练习题选解M.北京：高等教育出社，1994 (414).6 钱吉林.数学分析题解精粹M.北京;崇文书局，2003 (643).7 徐晶.一种反常积分与正项级数收敛的判别法J.邯郸师范学院学报,2005,8 (3): 25-

19、34.8 温朝晖，李天胜，朱存斌.无穷积分敛散性的一个新的判别法I.大学数学,2005,21 (2).9 张永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性J.咸阳师范学院学报,2006,21(6): 59-70.10 吴良森，毛羽辉，韩士安.数学分析学习指导书下册M.北京：高等教育出版 社，2009,9(2).11 孙清华等.数学分析内容、方法与技巧下M.武汉：华中科技大学出版社,2003,5 (1)： 74-97.Criterions about the Convergence of Parameter ImproperIntegrationWang Mingxing(College of Ma

20、thematical Sciences in Dezhou , Shandong Dezhou 253023)Abstract: The convergence of parameter improper integral is to study and expression in particular non-primary function of a powerful tool. Based on the uniform convergence of parameter improper integral analysis and research, summarized several

21、simple and effective method and the theorem of the discriminant of uniform convergence of parameter improper integral(Cauchy criterion, M criterion, Bound method, Dirichlet criterion and so on), So as to convenient to learn and master for uniform convergence of parameter improper integral.key words: Improper Integration;Uniform Convergence;criterion