第二篇(习题解答)

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1、第二章习题解答1若确知信号为/ )= e-* (t)，试求其能量谱密度、能量和自相关函数。解：信号的傅氏变换为由（t）= F（）=f。-顼-8U .刀 1 =e - ate - jgdt =;oa + J 其能量谱密度为E（）= F 么）(a) 试证明题图2 1所示的三个函数在区间(一2, 2)上两两正交。 (b) 求(a)中的三个函数组成的标准正交基函数所需要的常数A。 (c) 用(b)中的标准正交基函数表示波形x (t )。 =1a 2 + 2其能量为E = j8 E 么=j8 1d2兀-82兀-8 a2 +231=arctan一1a）a兀a812a0号的能量也可用下面的方式求解E = j

2、8 f 2（tt = j8（e-at2dtL -8 102a=e - 2 atdt = e - 2 at02ax（t ）=1,0 t dt + f0 (A)2 dt + f1 (A)2 dt + f2 (- A)2 dt = f2 (A)2 dt = 4 A 2 =1-2 1- 2-101-2解得A=1/2。(c) 已知由(b)，取得A=1/2,直接观察函数x(t)与该标准正交基函数的关系，易患:X(t)=中2 (t)一中3 (t)。若按概念求解，则有：x(t)= a 中 Q+a 中(t)+ a 中(t)112233其中a1 =f2 x(t可(tt = 0a = f2 x(t 加(t )7t

3、= f 21-2dt = 1a = f2 x(t知(t = f21 - - dt = -13 -230 2 一样得：x(t)= (t)-中3 (t)。3.带通信号GA二2町0 t T2*2町0 HiT，试求：。的复包络(t)； 其他L(3)求 y (t )o通过一个冲激响应为仙)的线性系统，输出为 其他y(t)。若f = ， h(t)=c T 0(2)y(t)的复包络y G)的复包络;L解：(1)，QA 0蠢T ；乙10 其他(2)认)的等效低通响应为匕Q= 2 z。一f1 0 t T0 其他yL(t)=h (尾()M s (_TQ&AtAT f 2 - T)0T t 2T其他(3)y ( )

4、= Re (tb 2eLAtcos2Kf t队LAT 2一,cos2nf t00 t TT t 2T其他4.证明实平稳随机进程X(t)的自协方差函数知足若是的关系：(1) JG)=x(-T)； (2)r G)= r (t)-m2 ；(3)r (T)r G)。XXXXX解：(1) 依照概念r G)= EtX( +T)m Ix(t)-m D= EX(t)-mx lx(t +t)-mx D= (t )(2) 利用随机进程平稳的特性，可得r (_)= EX(t +t)- m Ix(t)- m D=EX(t +t)X(t)-X(t +T)m -X(In + m2=Etx( +T)xQL ex ( +T)

5、m - eX () + m2=R)mX立刻有(3) 利用小题(2)的结果和自相关函数R O R G)的性质，rx G)tos2 t - 0 + eV2 人in2 t =b 2 cos2 t +b 2 sin2 t =102000（2）在任一时刻y（t）= x cost -x sint可看做两高斯随机变量的线性加权和，因此1020仍为一高斯随机变量，由小题（1）,已经求得Ey（）=0和Ely2（止b 2，由此可得 B = Ety（t）-Ey（t）B L EL2（）LEy（）2 =b2 -0 = b2已知该高斯随机进程的均值与方差，可得其散布为p（y）= exp-寸2冗b2Iyt（3）yO的相关函

6、数y - E(y=工expl I2b 2 J 履R2 2b 2 Jcos w t - x sin w t 101201102202sin w t - x x cos w t sin w t + x2 sin w t sin w t010220102R ( , t )= Ey( )y( )= E(x cos t - x sin t )G y21210 120 1=Ex2 cos t cos t - x x cos 10 10 21 20 10 21 2=Ex2 人os t cos t - 0 - 0 + Ex2in t sin t-1 )=b2 cos T10 10 22、01牛2=b2vcos

7、 t cos t -sin t sin t )=b2cos t 010201020 2其中t = t2 -11。因已知y (t)的均值为0,可见y3是一平稳随机进程。 y G)的自协方差函数,t2)= E(y)- Ey)My)- Ey)= Ey)y)=b 2 cos w (t - t )=b 2 cos w T6.已知随机信号x （t ）= A cos （w+。），式中A是均值为、方差为bA2的高斯随机变 量。（1）求随机信号x（t）的均值和方差；（2）该随机信号是不是为广义平稳的随机进 程，为何？解：（1） 均值：Ex(t)= EAcos(w t +。)= Eacos(w t + )=日 c

8、os(w t +。)方差：r( ,t )= Ex(t )-四 cos(w t +)L()-四 cos(w t +糖=ELl )x(t )-EW) cos(w t +Q A 0 2122 A0 1-Ex(t)L cos(w t +)+p2 cos(w t +)cos(w t +) 1A02A0102=EA2-cos(w t +)cos(w t +)-日2 cos(w t +)cos(w t +)/) 010 2 A 010 ?2 一日2tosvw t +)cos(w t +)日2 cosvw t +)cos(w t +)A A0 10 2、A0 10 2(2) 因为均值为时变的函数，所以该随机信

9、号为非平稳的随机进程。7.已知x()和y()是两个彼此独立和零均值的平稳随机进程，它们的自相关函数别离为：R G)=e-现 I, R(r)=P展)。若 zG)=xG)+ y (t)，求 4)的功率密度谱。解：由于x(t)和y()彼此独立，且均值为0， 因此E屈 )= E鼠业y )= 0，所 以z&)的自相关函数R ( )= EI()z( +T )= EU)+ y()L( +T )+ y( +T )D=EB )x( +T )+ E 国)y ( +t)+ Ex( +t )y ( )+ E【y ( )y ( +T )=Ex(t )x(t +T )+ E x(t )Ey (t +T )+ E x(t

10、+t )EyQ+ E y (t )y (t +T )=eB )x(t +T )+ E y (t )y (/ +T )=R。+ R G)z (t)的功率密度谱为R G)+ r G0j2f dT _ xyT )e - 口咿 dT =j eT e -jw dT + f8 e -吹 e - 口咿 dT + P 8012以+ P =+ P以 + j 2nf 以一 j 2nf以 2 + 4兀 2 f 2P (f )=f8 R (T)e-jEdT =z 8 Z=j8 e tt+pM818.设RC低通滤波器如题图4 1所示，求当输入n(t)为均值为0,功率密度谱为NJ2的白 噪声时，输出进程y(t)的均值、功

11、率密度谱、自相关函数和散布特性。题图8 RC低通滤波器解：RC低通滤波器的频率特性为H (f )=P (f)= P (f )H (f)2 = N1 + j2兀fRC均值m (t)= h(ttE鼠)扁=h(t 。.0击=07887 I2 1 + 4兀 2 f 2R2C2自相关函数，求功率密度谱的傅氏变换得功率密度谱PY U 孔 4 fg噪声功率(输出信号方差)N =b2 =P (f f =NY Y一8 Y-odf_8 2 1 + 4兀 2 f 2R2C2N 181 w N ,oJ df =arctan f 82 2兀RC _81 + f2 14冗RC1(兀、)f=_8N04 RC因为高斯进程经线

12、性系统后仍为高斯进程，现已求得均值和方差，所以输出高斯信号散布概率密度函数为G)= N(n ,b29.双边功率密度谱为NJ2的白噪声通过传递函数为H(f)的滤波器后成为XG)，若H (f)=T(1 +cos 研)lfl - tI 20 其他，求X G)的功率密度谱及其功率。解：xG)的功率密度谱为P (f)= H(f)2N = v*(+cos f lfl-TX2 |0其他Sx G)的功率P =8 P (f *f = %；, 02 G + cos f df = 3一8 X_ts 2 8s810.设X (t )= Xc ( )cos2ft- Xs ( )sin 2酒Ct为窄带高斯平稳随机进程，其均

13、值为0, 方差为b X。信号人cos2nfCt + X(t)通过题图10所示的电路后成为Y(t)= u(t)+v(t)，其 中(t)是于Acos2兀fCt对应的输出，v(t)是与XG)对应的输出。假设XC(t)和Xs(t)的带 宽等于低通滤波器LPF的通频带。(1)若0为常数，求uG)和v(t)的平均功率之比； (2)若0与XQ是独立的零均值的高斯随机变量，求u(t)和v(t)的平均功率之比。A cos 2时C题图10解：（1）0为常数，由图，Acos2兀ft经乘法器和低通滤波器输出别离为Acos2f t -cos（2f t +0）=4cos（2xC“C2u (t = cos 02u (t)的

14、功率为P = u2 (t)=生 cos2 0 u4x G)经乘法器和低通滤波器输出别离为X(t)cos(2雄 t + 0)= X (t)cos2f t X (t)sin2nf tcos(2雄 t + 0)CCC SCC=2X (t)lcos(2x2硬 t + 0)+ cos0 2X (t Isin(2 x2 町 + 0) sin ov(t )= 2 Xc(t)cos 0+ 2 X、(t )sin 0 v (t)的平均功率为2 X(t)cos0 + 2 X(t)sin0= LeX2(tiLos20 + eEx (t)X (t)sin0 cos0 + Ex2(tilin204 C2 C S4 S=

15、b 2 cos2 0 + 0 + b 2 sin2 0 = 1 b 24 X4 X4 X由(1)和(2)两式得（1）（2）PL =生 cos20pb x（2）0与X（t）同是独立的零均值的高斯随机变量，记0的方差为b 2。现在，利用小题Pu = Eu 2 (t )= E一cos20 4=AT E os20)= A2 E G+cos20)A2+* E (cos20)=A2 A2 ()+ Ej 20 + ej 20816（1）的结果，u（t）的平均功率为因为M 土 j2)=e+j 20P u PVA22a 2XA2+2a 2Xe - 2a2pOo =Js e+j20 _L e一2o2 d0一8。=

16、e -2a 2J8eW dO = e-2a 2一8 r 2兀b代入上式得A2 A2 () A2 A2cPu = +16 Eej20 + e-j20 /= _ + - e-2a 2 u G)的平均功率仍为由此得11.若随机进程zG）= m（t）cos（2荷t +甲），其中m（D是广义平稳随机进程，且自相关函 0数R G）为m1+T -1 T 0R G）= 1 -T0 T 1m 0 其他中是在h兀范围内服从均匀散布的随机变量，且与m（D彼此独立，f0 = 3。（1）证明zG）是广义平稳的；（2）绘出自相关函数R（）的波形；（3）求功率谱密度P）及功率S。解:（1）均值eLG)= Em(t)cos侦

17、 t +甲)L Em(t)1 Elcos( t + 甲) 00=E m(t ) j2 兀 cos侦 t + p)Ld甲=Em(t) j2L (cos t cosp - sin t sin p)-2Ldp = E(m(t) 0 = 0相关函数R Iz( )= lm( )cos(B t +p=emi me 压叩么 t +p)cos( 1=R)20 1e 2cos % (t1+12)+2p) m( )cos(o t +p)11 +p)+2cos % (1-t2)=R G)=2 R G)cos 0Tz G）的均值为零（常数），相关函数只与时刻的差值T有关，因此是广义平稳的。由此可绘出其波形如下（2）由

18、小题（1）R）=（3）相关函数与功率密度谱是一对傅氏变换：R）=弓么）。因为3（cos c ）=兀 %侦 + ）+8（cd 7nR G)= sinc2sin Co,/2)2 J。22因此可得功率谱为p ()= 2-nos吁)*nR G)=_LkIs( + )+8(一* sinc21，+ 3 )，一）sinc2+ sinc20-4I 2 J1 2 J12.设信道加性高斯白噪声的功率密度谱为N。/2，设计一个题图所示的信号sG）的匹配 滤波器。（1）求匹配滤波器冲激响应的波形图；（2）肯定匹配滤波器的最大信号输出幅 度；（3）求匹配滤波器最大输出信噪比；（4）画出信号s 0输入匹配滤波器时输出信号

19、 st）的波形图。A S(t)AT/2 T-A0D题图212解：（1）通过对信号sG）关于纵轴折叠反转和平移等操作，容易患匹配滤波器的冲激响应 hG）= k s T t）的波形图为(2)匹配滤波器对信号s G)响应的最大输出幅度为 s T )=Ts(,)h(t -T)dT =kAT di =kAT o 00(3)噪声的平均功率为一3一一 N 一 T k 2 dt = o k 2T2N /iH (f )2 % df = %H (f )2 df s乙乙=N 卜 h 2 (t )dt=N j2-820最大的输出信噪比k 2 A2T 22 A2TSNR= max NN k 2T 2 N(3) 严格求匹

20、配滤波器时输出信号so(t)的波形图是一种较为复杂的卷积计算进程。但对 于本题的规则特殊情形：s(t)和龙&)均是分段的常数，so 0波形将由若干直线组成，只要 计算出在s(t)和h(t)分段位置t = 0,T/2,T,3T/2,2T时刻的s。(t)取值，即可取得s。)波形曲线。s(0)= 0s(T.2)= JT2sG(T.2-i)di = JT2A(-kd =-岑s (T)=fTs(r)h(T-i)di = jT2 A-kdi + jT (-A).(-商o00T 2空+竺=kAT 22s(3T 2)= j3T2sGMt-i)dio0=jT 20-0di + jT (A)kdi + j3T 2

21、0-0di = -A 0T 2T2s(2T)= 0o将上述的点用直线连接，即可取得如下so (t)的波形13.已知信号s。的波形如题图所示，加性高斯白噪声的功率密度谱为N/。（1）求出 s（t）的匹配滤波器的冲激响应波形图；（2）求出匹配滤波器的最大输出信噪比；（3）求 输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数。题图213解：（1）匹配滤波器的波形图为(t)t-k0T(2)噪声平均功率为。:=匕回(/12 % df = # f：| H (/ )2 酒=N h(I dt = N k2T2 -2在t = T时刻，匹配滤波器输出的信号最大值s (T)=j Ts2 (t)dt = A2T ? kAT

22、O0匹配滤波器的最大输出信噪比s 2（T1 “2T）2 A4TSNR =?max 。2k 2TN0 2 k 2 N0n是均值为0，方差为（3） t = T时刻，匹配滤波器的输出值s T1+ n = A2T + n。2 = N k2T的高斯随机信号，输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数 n 2p（n）= （ 1 e 冲J 2兀。2V n（z 一 AT ）（J2n14、已知噪声。的自相关函数。为常数。（1）求功率谱密度尸侦）及2其功率S ； （2）绘出R G）及尸Q）的图形。nn解：（1）功率密度谱p g）=P r e -JT di = e e-jdx n-00 n-00 2=f e-je-

23、M e-j de2 _oo2 o（1 1 ）+Q2Q2 +（02信号平均功率S = En Q=R（0）=-e2 n 2 T -0（2）r G）及尸Go）的图形 nn（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；（2）写15、将一个均值为0,功率密度谱为N J2的高斯白噪声加到一个中心角频率为3,带宽 为W的如题图所示的理想带通滤波器上。出输出噪声的一维概率密度函数。题图215解:将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上时，滤波输出将是一个窄带高斯白噪声，其概率 密度谱为P (&)= H()2 曳=22 I 0-nW + 兀W0 其他由平稳随机进程的自相关函数与功率密度谱的傅氏变换关系式，其自相关函数为R G

24、)= 2- P()ejd=% +-wN0 ej d + h +nwN2 -ro -W 22 %-W 2* e sin x-Wt)=N Wwcos t2.设X G)为广义的平稳随机进程，证明其自协方差函数具有如下的性质：(重复) t G)=X(-T)x kt G)解：因为求统计平均的量随机进程可互换，所以有：r(t)= EX(t +t) m lx(t)-m = EX(t)-m lx(t +t) m = EX(t +t -t)-m tX(t +t)-3 = ex(t+(-t )-m lx(t-m = rx(_T)xxxx另外，由平稳随机进程的性质：m为常数，且有R O R (0)和XXXrX O= Rx(0)- m：,因此显然有：X G)rX(0)。