定积分的几何应用IV

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1、16-6 定积分的几何应用定积分的几何应用2 1.无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分定义：定义：计算：计算：()d()aaf x xF x lim()()xF xF a 2.无界函数的反常积分无界函数的反常积分定义：定义：baxxf d)(0lim 计算：计算：baxxfd)()()()baF xF bF a limt a()dtf xx+a()df xx a+()dbf xx 3 3.两个重要的反常积分两个重要的反常积分 1dpaxx 1,1,11ppapp 1,1,1.1qqbqq 1dbqaxx 4第六节定积分的几何应用 第六六章 二、求平面图形的面积二、求平面图形的面积 三、求立

2、体的体积三、求立体的体积 一、定积分的元素法一、定积分的元素法 5 baxxfA d)()(xfy)0)(xf)(xfy 1xix1ixxabyOi6ab xyo)(xfy xxfAd)(lim.d)(baxxfAd面积元素面积元素 AAxxfAd)(,Ad，xxfAdd)(A,xxxd Ad，xxfd)(xxxd 7()dUf xx ，,xxxd U dx()f x ()dbaf xx 8.d)(baxxfU，,xxxd；xxfUd)(d 9 baxxfAd)(baoyxxx x)(xfy)(xfy，)(xfy),(xgy,bxa )()(xgxf xaboyxxx )(xgy)(xfy，x

3、xgxfAd)()(d baxxgxfA d)()(10 dcyyA d)(dcyx d dcyyyA d)()()(yx ，)(yx ),(yx ,dyc )()(yy ，yyyAd)()(d xoy)(yx )(yx cdxyocd)(yx y+dyyy+dyy11xxfAd)(d d()dAf xx xxfAd)(d ba)(xfy oabxyx x+dxx+dxx)(xf0)(.1xf0)(.2xf.d baxyxxfd)(A1210()xxSeedx 1x xye ,xye,xye xye 1x (1,)e1(1,).e xey xey 1 x1o1xyS10)(xxee .21 e

4、e13，)1,1()0,0(xxxAdd)(2 x1,0 xxxxd)(2 10333223 xx.31 2xy 2yx xy 22xy xx+dxx 1 0 A142xy 2yx )1,1()0,0(，yyyAd)(d2 1,0 yy10333223 yy.31 yyyd)(2 1 0 Ayyd y15).4,8(),2,2(422xyxyxy22 4 xyxy22 4 xy4 xyxy22 y,4,2 yyyyA)d24(d2 4 2dAA yyyd)24(4 2 2 .18 16).4,8(),2,2(422xyxyxy22 4 xyx8,22,0 xxxxAd)2(220 8 2 d)

5、4(2xxxxy22 4 xy.18 xy22 4 xy176003)cos(cos xx 可直接从几何可直接从几何意义上得到意义上得到.233 xy=sinxoy3 6 6,3 xx 63sin xxAd 03sin xxd 03sin xxd 60sin xxd 60sin xxd18 )()(tytx .)()(21 tttttA d babaxyxxfAdd)(1t2t,21tt,12tt)(tx )(ty 19 tbytaxsincos axyA0d4 02)cos(dsin4 tatbttabdsin4202 .ab 12222 byax20 求由摆线求由摆线23 184 2 2a

6、)cos1(,)sin(tayttax)0(a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积.解解ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042(1cos)at(1cos)datt20Axyoa22200()ddaaAf xxy x232a21定义：定义：广义积分广义积分10()xxedx 是参变量是参变量的函数的函数,称为称为 函数函数 函数具有如下递推公式：函数具有如下递推公式：(+1)=()(t0).特别地特别地,当当=n为正整数时为正整数时,有有 (n+1)=n!22 函数的重要性质：函数的重要性质：(+1)=()特别特别,(

7、n+1)=n！0(1)xx edx 0 xx de n ！(1)(1)3 2 1(1)nnn L L0(1)=1xedx 又又Q Q()100 xexdx 00 xxx eedx 10()xxedx 2350(1);xx edx 50(6)xx edx 5!1202520(2);xx edx 2222204()()22xxxed 222542200()2xxxx edxx ed 2450(1);xx edx 2520(2);xx edx 4 2!84(3)204tt e dt 22225222004()()22xxxxx edxed 25.d)(baxxfU，,xxx ；xxfUd)(d 作图

8、作图26 baxxfAd)(baxx x)(xfy xaboy)(xgy)(xfy baxxgxfA d)()(27xyoy+dyy)(yx cd dcyyAd)(dcyxdxoyy+dyy)(yx )(yx cd dcyyyA d)()(28作业：作业：P261P261：1(1)1(1)预习：从预习：从258258到到261261页页x P271 P271：9 92921d()d2Ar ，21()d.2Ar 221rA 圆圆扇扇形形的的面面积积为为()rr 、()r,()0.r ()r r ，,d ，xod d 30对应对应 从从 0 变变例例5.计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0(

9、aarxa 2o d21()d2a20A22a331022334a到到 2 所围图形面积所围图形面积.31.232a 222212 aA2(12sinsin)d 231sin224a 2 d 221d(1 sin)2Aad2(1sin)d 222 a2 222 a2(1sin)d 323cosr 解解 2232 0 3112(1cos)d(3cos)d22A 1cosr 23x1 cosr 3cosr 3(,)2 3.3(,)23.3cos,1cosrr 得交点坐标为：得交点坐标为：3 3(,),(,),2 323AB 33 2232 0 3112(1cos)d(3cos)d22A 2232 0 31(12coscos)d(3cos)d2 320331992sinsin2sin22424 5.4 34，iiixfA )(1iiixx，.)(1iinixfA 01lim()niiiAfx ()dbaf xx,iA niiAA1iA ix，,1iixx 35ab xyo)(xfy xxfAd)(lim.d)(baxxfAd面积元素面积元素 AAxxfAd)(,x ,Ad，xxfAdd)(AAd A,xxxd Ad，xxfd)(xxxd