第一章 利息基本计算

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1、第一章利息基本计算利息的定义1从债权债务关系的角度看，利息是借贷关系中债务人为取得资金使用权而支付给债权人 的报酬。2从简单的借贷关系的角度看，利息是一种补偿，由借款人支付给贷款人。3从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值第一节利息基本函数1原始资本(或本金)：在投资活动中，某一方投资一定量的货币。2总量函数：(定义1.1)设用A(t)表示原始投资A(0)经过时间t(t0)(事先给定时间度 量单位)后的价值，则当t变动时称A(t)为总量函数。3利息：(定义1.2)总量函数A(t)在时间段.12内的变化量(增量)称为期初货币量A( t )在时间段 t , t 内的利

2、息，记为I ， 即 11 2伐I= A(t ) - A(t )(1.1.1)t1，t221特别地，当七=n -1,12 = n(n e N)时，记I = A(n) - A(n -1)。(n e N)(1.1.2)并称I为第n个时间段内的利息。 n1.1.1累积函数1累积函数(定义1.3):设1个货币单位的本金在t( t 。)时刻的价值为a(t),则 当t变动时称a(t)为累积函数。显然有累积函数与增量函数的关系：A(t) = A(0)a(t)2累积函数的基本性质：1) a(0)=12) a(t)为递增函数。说明：若累积函数为减函数，则说明将产生负利息，即货币贬值；累积函数为 常数，则说明无利息

3、。3常见的累积函数a(t)的种类：1)常数函数a(t)三1。2)一般的线性函数a (t) = 1 + kt3) 二次函数：a(t) = 1 + kt + k2124) 指数函数：a(t) = akt4利率：度量利息的常用方式是计算利率。1) 文字定义：是指一定的货币量在一段时间(计息期)内的变化量(利息)期初货币量的比值。2) 数学定义：给定时间区间匕,12内的总量函数A(t)的变化量(增量)与期初货币量的比值称为在时间区间t ,t 内的利率，记为，(注意与利息记号的区别)即:1 2t1，t2t1，t 2A(t )- A(t )21A(t )11(1.1.3)特别地，当t1 = n-1,12

4、= n(n e N)时，记A(n) - A(n -1)I(n e N)(1.1.4)=nA(n -1) A(n -1)通常称七为第n个时段的利率。从而A(n) = A(n-1)(1 + i )(此式为递推公式)，可得到：A(n) = H A(0)(1 + i ) nkk=1(记住！后面用到)5实利率：如果计息期为标准的时间单位(如月、季、半年或年)则所对应的利率 常常称为实利率。除特别说明外，以下实利率一般皆指年利率。说明：1) 利率表示在一定的时间内的实际利息收入的相对量。2) 利率通常用百分数表示。3) 利率的定义要求在计息期内没有其它资本的投入，也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变

5、。4) 利息是在计息期期满时支付的。6结论口某个计息期匡,12内的利率为单位本金在该计息期内的利息与期初资本量的比值，即：(1.1.5).a(t ) 一 a(t )伐a (t )1证明：i2A(t ) - A(t ) A(0)a(t ) - A(0)a(t ) a(t ) - a(t )21 = 21 = 21A(t )A(0)a(t )a(t )1111.1.2单利和复利1单利：若有这样一种累积计算方式：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计 息期产生的利息为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式，简称单利方式，对 应的利息称为单利。结论1.2在单利方式下有：a(t) = 1 + i

6、t,t e Z (1.1.6)其中i为1个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利息，一般称为单利率。证明：。说明:1) 在单利方式下，利息与经过的时间成正比。2) 在单利方式下，a(s +1) = a(s) + a(t) 一 1 (s 0,t 0) (1.1.7)该式说明经过时间s+t产生的利息等于经过时间s产生的利息与经过时间t 产生的利息之和。注：若a(t)满足式1.1.7，则a(t)满足式1.1.6 (证明)3)a(s +1) - a(s) = a(t) -1 (s 0,t 0)(1.1.8)该式说明经过相同长度t的计息期所产生的利息相同。3) 在单利方式下的实利率是随计息期变化的。._

7、 a(n) - a(n -1) _i na (n -1)1 + i (n -1)即每个单位时间内的相对货币价值变化量是逐渐下降的。2复利定义1.6若有这样一种累积计算方式：1个货币单位的投资经过任何一个单位的计 息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式，简称复利方式，对 应的利息称为复利。对复利方式，在投资期间的每个时刻，过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下 一个时刻的再投资，即利滚利。结论1.3在复利方式下有：a(t) _ (1 + i)t t e Z (1.1.9)其中i为1个货币单位本金经过一个单位计息期产生的利率，一般称为复利率。证明：因为：A(t) = Ha

8、(0)(1 + i ) n n=1所以，a(t) = 11 (1 + i ) = (1 + i)tn=1说明： 在 复利方式下， 累积函 数满足条件：a (s +1) = a (s) x a (t) (s 0, t 0)(1.1.10)注：若a(t)满足式1.1.10，则a(t)满足式1.1.9 (证明)即：a(s + ?- a(s) _ a(t) -1(1.1.11)a( s)上式说明，经过相同长度t的计息期所产生的利率相同。3单利方式与复利方式的区别：1) 短期内两种方式计算的利息差异不大。2) 当货币量的数额增大时，两种方式计算的利息差异也会增大。3) 复利方式几乎用于所有的金融业务，单

9、利方式只是用于短期计算或不足期的近似 计算。特别说明：今后除特别说明，一般考虑复利计算方式。例1.1设年利率为5%，比较单利方式与复利方式的异同效果。解：见p6_71.1.3贴现函数1贴现函数(定义1.7)若t( t 0)时刻的1个货币单位在0时刻的价值记为a-1 (t)， 则当t变动时，称a-1(t)为贴现函数。注：在单利方式下有a-1(t) =(1 +it)-1(t 0) (1.1.12)在复利方式下有a-1(t)=(1 + i)-t (t 0) (1.1.13)说明：由累积函数与贴现函数的计算公式知：累积函数与贴现函数互为倒数(无论是 单利方式还是复利方式)。2贴现率(定义1.8)计息期

10、t12内的利息与期末货币量的比值称为在时间区间t ,t 内的贴现率，记为d ，即:1 2t1，t2/ A(t ) A(t ) Ifd =21 = t1t2t/2A(t )A(t )22特别地，当=n -1,12 = n(n e N)时，记d = A(n) 一 A(n -1) =、= a(n) 一 a(n -1) (n e N)(1.1.14)nA(n)A(n)a (n)注明：在进行投资时，选择利息越高越好；同样也是选择贴现率越高的，收益越高。3复贴现率：若每个计息期内的贴现率相同，则称该相同的贴现率为复贴现率，对应 的贴现模式称为复贴现模式，一般用d表示复贴现率。a(n) = a(n -1)(

11、1 - d)-1 = (1 - d)-n = (1 - d)-1nn e N4贴现因子：称(1 + i)-1为贴现因子，其中i为实利率。用v表示。即v = (1 + i)-1。(于 是 a-1(t) = vt)5终值与现值:称(1 + i)t为1个货币单位的本金在第t个计息期末的终(简称AV);称vt为第t个计息期末1个货币单位在0时刻的现值(简称PV)。注：现值与终值的名称往往就隐含着复利方式。6利率和贴现利率等价(定义1.11)：若相同的原始本金经过相同的计息期按利率和 贴现利率计算的终值相同。即它们满足：复利方式下：a(t) = (1 + i)t = (1 - d)-t单利方式下：a任)

12、=1+it=_dt证明：因在单利方式下，d =a(1) a (2)a(3)ia (t)i. d所以，a(t) = 1 +it 所以，i =d1 - dt1所以，在单利方式下，a(t)=1 - dt7利率与贴现率的关系(结论1.4)在任一个计息期内，利率与贴现率有如下关系:(1)i = 1 七(2) d =.1 d1 +1证明：(1) 设期末货币量为1，则该计息期内的利息是d,于是期初货币量为1-d,所以 该式成立。(2) 设期初货币量为1，则期末货币量为1+i，所以该式成立。8利率、贴现率和贴现因子的关系(结论1.5)：在任一个计息期内，利率、贴现率和贴现因子有如下关系：(1) 贴现率是同期期

13、末的利率用贴现因子贴现到期初的值，即：d = iv(iv = i (1 + i) 1 = - = d)1 + i(2) 贴现率与贴现因子互补，即d = 1 v (1 v = 1 - = = d)1 + i 1 + i(3) 利率与贴现率的差等于利率与贴现率的积，即i d = id (i d = i iv = i (1 v) = id)例1.2现有面额为100元的债券，在到期前1年的时刻其价值为95元。同时1年定 期储蓄利率为5.25%。讨论如何进行投资选择。解：比较贴现率：债券的贴现率d = 100 = 5%储蓄的贴现率d = - = 4.988%1 +1所以应进行投资债券。比较利率：51d债

14、券的利率：i = 95 = 19 = 5.26%(= 1_)储蓄的利率：i=5.25%所以，应进行投资债券。1.1.4名利率和名贴现率i (m)1名利率或挂牌利率：若在单位计息期内利息依利率(m e N)换算m次，则称 i(m)为m换算名利率或挂牌利率。例如i(4) = 4%，表示在一年内利息依利率1%换算4次，即4%为季换算名利率，都 表示每个季度换算一次利息，且每个季度的实际利率为1%。一年的实际利率i与4次换算的名利率有下列关系：i (4)1 + i = (1 +)4。一般地有下列结论：42结论1.6相同单位计息期内的利 率i与m换算名利率i(m)有下列关系：i (m)1 + i = (

15、1 + )mmi (m)1即：i = (1 + 一) m - 1 或i (m) = m(1 + i) m - 1 m3结论1.7相同单位计息期内的贴现率d与p换算名贴现率d(p)有如下关系:1 - d = (1 -虹)pPd ( p )1即：d = 1 - (1)p 或 d(p) = p1 - (1 -d)p P4结论1.8相同单位计息期内的m换算名利率i(m)与p换算名贴现率d(p)有下列关系：i(m)d( p )(1 + ) m = (1 ) - pmp证明：1 + i = 1 + = 再有结论1.6和1.7即证。1 一 d 1 一 d注：在上式中，若m=p，则有如下关系：.i (m)d

16、(m)1 += (1 )-1(1.1.16)m m上式说明名利率和名贴现率在每个换算期内是等价的。注：由1.1.16得到:(1.1.17)1 _ 1 _ 1d(m)i (m)m该式表明，名贴现率的倒数与名利率的倒数之差为常数，且该常数只与换算次数m 有关，与利率水平无关。例1.3现有以下两种5年期的投资方式：方式A：年利率为7%，每半年计息一次；(说明7%为2次换算的名利率)方式B：年利率为7.05%,每年计息一次。比较两种投资方式的收益进而确定投资选择。解：比较年实际利率：方式A i = (1 + 7%)2 1 = 7.1225%高于方式B的年实际利率7.05%，故应选择方式A进行投资。比较

17、5年到期的终值：方式A 1个货币单位到期的终值：(1 + 7%知=1.4106方式B 1个货币单位到期的终值：(1 + 7.05%)5 = 1.4058故应选择方式A进行投资。1.1.5连续利息计算1利息力函数(定义1.13)设累积函数a(t)为t(t 0)的连续可微函数，则称函数a(t) z/ 、5广湍(t 0)为累积函数心对应的利息力函数，并称利息力函数在各个时刻的值为利息力。2累积函数、贴现函数和利息力函数的关系（1.1.19）（1.1.20）a(t) = exp(ft5 ds) t 00a -1 (t) = exp(ft 5 ds) t 00说明：在复利方式下，利息力函数为常数(8 =

18、 ln(1 + i)。常数利息力一般用5表示。 t3贴现力函数：设累积函数a(t)为t (t 0)的连续可微函数，则称函数a1 (t) , c、，、51 =-白J (t 0)为累积函数a(t)对应的贴现力函数，并称贴现力函数在各个时刻的 值为贴现力。说明：贴现力与利息力相等，即:5,=5七4结论1.9如果利息力函数为常数，则：a (t) = e 51a 1 (t) = e 51(1)(、e5 = 1 + i或5 = ln(1 + i) = ln v = ln(1 d)牛、d 5 i证明:5结论1.10在相同单位计息期内，名利率i(-)，名贴现率d(p)与常数利息力5有如下关系:&(1)i( m

19、)= m(em 1)5.(2)d (p)= p(1 ep )(3) limi(m)= limd(p)=5msp s(4)d d(p)5 i(m) i1证明：(1)由结论1.6知：i (m) = m(1 + i) m 1及 5 = ln(1 + i)所以(1)成立1(2 根据结论 1.7 d(p) = p1 (1 d)p 及5 = ln(1 d)即证。(3) 根据(1) (2)即证。(4)根据结论1.7d = 1 (1 )p及二项定理(1+x) m即证 d d(p)。p由(2)式及ex的展开式即证d(p) 5 由(1)式及ex的展开式即证5 i(m)i (m)由结论1.6 i = (1 +)m

20、1及二项式定理即证i(m) 0 竺=e-5 0di 1 + id5i=1 e 5(2)d5di因为d =.1 +11 01 + id51 0 di1因为 i (m) = m(1 + i) m 1(1)、(2)、(3)分别表示贴现率、常数利息力及名利率都是其相同单位计息 的利率的增函数；贴现率是常数利息力的增函数，而常数利息力则是贴现因子的减函数。例1.4已知基金F以利息力函数5 =二。 0)累积，基金G以利息力函数t 1 + t结论4(U ( 2 0)累积。若分别用。/)和匕()表示两个基金在时刻t(t纣的累积函并令h() = aF(t)-aG(t)，试计算使你达到最大的时刻T解:第二节利息基

21、本计算与利息计算有关的量主要有以下四个:原始投入的资本（即本金）、投入经过的时间、 利率和投资结束时的终值。其中任何三个量的值都可以唯一的决定第四个量的值。1.2.1时间单位的确定：目前常用的三种度量投资的时间的计算方法是：1精确利息算法：按实际的投资天数计算，1年为365天，若依此方法度量投资时间， 则称对应的利息计算方法为精确利息算法，一般用“实际投资天数年实际天数”表示。（在 美国长期国债市场上应用此算法）2普通利息算法：假设每月有30天，1年为360天，若依次方法度量投资时间，则 称对应的利息计算方法为普通利息算法，一般用“30/360”表示。（在美国的公司债券市场 上应用此算法）。此

22、方法计算实际投资天数的公式为360（Y-Y）+30（M-M ）+（D-D ）212121Yi Mj D分别表示投资起止日期的年、月和日。3银行家利息法则算法：按实际的投资天数计算，但1年设为360天，若依此方法度 量投资时间，则称对应的利息计算方法为银行家利息法则算法，一般用“实际投资天数/360” 表示。（在欧洲债券市场上用此算法）。说明：显然，该算法比上两种算法对贷款方有利。除非特别说明，总是假定起息日与到期日不能同时计入利息计算期1.2.2价值方程由于不同时刻的货币量是无法直接比较大小的，必须将这些量调整到某一个共同日 期，这个共同日期被称为比较日。将调整到比较日的计算结果按照收入支出相

23、等的原则列出的等式称为价值方程。时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面的刻度为事先给定的时间单位， 发生的现金流量写在对应时间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方）。说明：采用复利方式或复贴现模式计算时，最终的计算结果与比较日的选取无关；采 用单利方式或单贴现模式计算时，比较日的选取将直接影响到计算结果。例1.5某资金帐户现金流如下，在第1年初有100元资金支出，在第5年末有200 元资金支出，在第10年末有最后一笔资金支出；作为回报在第8年末有资金收回600元。 假定半年换算名利率为8%，使利用价值方程计算第10年末的支出金额大小。（分别考虑复 利方式和单利方式）。解：设第

24、10年末的支出金额为X，则这个业务的货币时间流程图为：（1）采用复利方式计算： 选第1年初为比较日，根据当事人支出与收回的价值在比较日应该相等的原 则，有价值方程：100+200 V10 + Xv 20 = 600V16v = （1 + 4%）-1600v16 -100 - 200v 10X= 186.76v 20 选第5年末为比较日，则价值方程为：100 v-10 + 200 + Xv10 = 600v 6由此价值方程求得:600v 6 - 100v-10 - 200=186.76V10(2)采用单利方式计算首先计算等价的年利率i,由题设：1 +10/ = (1 + 0.04)20 得：i

25、= 12% 选第1年初为比较日，则价值方程为100 +2001 + 5iX+1 + 10i6001 + 8i解得 X=178.5 选第5年末为比较日，则价值方程为1001 + 5i) + 20(+X1 + 5i6001 + 3i解得：X=129.9 选第10年末为比较日，则价值方程为100(1 + 10i) + 2 0 Q + 5i) + X = 6 0 Q + 2i)解得：X=2041.2.3等时间法别于若两种1问题 1 设有两种投资方式：方式一，分 t , t，,t时刻投入$ , S ,s ;方式二，在时刻t 一次性投入$ +S + S。12 n12 n12n方式的投资价值相等，计算时刻t

26、. 根据价值相等的基本价值方程得：(s + s +s )vt = s Vt1 + s Vt2 + s Vtn12n12n求得：| s1Vt1 + s2Vt2 + + snVtns + s + + sIn Vlnf s1Vt1 + s2 Vt2+ + snVtn s + s + + s /In V近似计算公式：s t + s t + s t t 2nns + s + s2问题2在给定的利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔 设给定的利率为i，要计算的时间间隔为n，则基本价值方程为：(1 + i) n = 2解得:ln2ln(1 + i)近似计算公式:0.6931n ln(1 + i0.72特别当i

27、在8%左右时，有近似公式:称此式为72算法。I1.2.4利率的计算1直接对价值方程进行指数或对数计算法例1.6以什么样的季换算挂牌利率，可以使当前的1000元在6年后本利和为1600 元。解设季换算挂牌利率为i(4)时，当前的1000元在6年后本利和为1600元。令1000(1 + j )24 = 1600.1则0 j = 1.624 -1 = 0.019776故 i(4)=4j=0.0791=7.91%2代数法例1.7已知第2年底的2000元和第4年底的3000元现值之和为4000元，计算年 利率。解：设年利率为i，则价值方程为：4000= 2000(1 + i) -2 + 4000(1 +

28、 i) -4解得 i = 0.073 = 7.3%3线性插值的递推或迭代法例1.8已知现在投入1000元，在第3年底投入2000元，在第10年底的全部收入为 5000元。计算半年换算名利率。解：设半年换算名利率为i=2 j，则价值方程为：1000(1 + j )20 + 2000(1 + j )14 = 5000求方程 f (j) - 1000(1 + j)20 + 2000(1 + j)14 - 5000=0 的近似解。方法有：二分法：切线法：在纵坐标与f(x)同号的那个端点(此端点记作(x0,f (x0)作切线,这切线与x轴的交点的横坐标x 1就比x0更接近方程的根。有下列迭代公式=xn-

29、1f (x ) n1 f(x ) n-1 线性插值的递推或迭代法:求f (i) = 0的解的步骤第一步：给定两个初值i；，七:满足:如) ，则:f (i )(i - i ) 01 0 f (i；) - f (i0)再给一个初值i , 使f (i ) f (i ) 0323第二步，再重复第一步。第三节实例分析1.3.1现实生活中与利率有关的金融现象1银行的挂牌利率：一年定期存款利率7.91%/收益率8.15%，表示名利率i=7.91%，实利率i = 8.15%。拆借市场利率8.00% /收益率8.03%。表示名利率i(12) = 8.00%实利率i = 8.30%例1.9 2004年10月29日

30、中国人民银行公布的金融机构人民币存款利率如表15所 示，表中的利率水平是单利方式，计算除活期外各种期限的年利率期限活期3个月6个月1年2年3年5年年利率0.721.712.072.252.703.243.602计息天数在实际计算中，银行在计算利息的天数时，常用一些灵活的算法。见例P223利率与贴现率生活中的收益率有的时候指利率，有的时候指贴现率。例1.10若面值为100元的债券，在到期前3个月时的买价为96元，计算买方的:(1) 季换算名贴现率d (4)(2) 年实利率i解:(1)d (4)T100 - 96100=4%，所以 d (4) = 16%(2)季换算名利率:i(4) _ 100 -

31、 96 _ 149624所以 i = (1 + i(4)4 -1 = 17.74%4信用卡：信用卡上欠款的利息通常是在每个月的月底依照卡上的结余计算的，所以 每个月中间的欠款是不用付利息的。也就是说，如果持卡人在每个月内能够完全付清卡上的 欠款，实际上享受着短期无息贷款；另一方面，那些月底结算时仍然有未结欠款的账户，将 付出很高的利息。1.3.2提前支取的处罚例1.112年期定期存款的年利率为10%，在提前支取时储户可以有以下两种选择：方式A：利率降为8%；方式B：原利率不变，扣除3个月的利息，使对以下两种情况，给 出对储户较为有利的选择：（1）存入6个月时提前支取；（2）存入一年半时提前支取

32、。解：设原始本金为1个货币单位，并分别用IA和IB表示两种选择的利息收入， 则：（1）1 = （1 + 0.08）0.5 -1 = 0.0392IB = （1 + 0.1）0.25 -1 = 0.0 2 4 1所以，此情况下选择方式A对储户较为有利。（2）Ia = （1 + 0.08）1.5 -1 = 0.1224IB = （1 + 0.1）1.25 -1 = 0.1 2 6 5所以，此情况下选择方式B对储户较为有利。例1.12已知储蓄方式：年利率为7%，在每三年底（如果存款未提前支取）将奖励余 额的2%，使对以下三个取款时刻计算实际的年利率：第2年底、第3年底、第4年底。解：若第2年底取款，

33、年实利率仍然为7%若第3年底取款，设年利率为i则：（1 + i ）3 = （1 + 7%）3（1 + 2%）解得：i = 7.71%若第4年底取款，设年利率为i则（1 + i ）4 = （1 + 7%）4（1 + 2%）解得：i = 7.53%（问题：若在第三年底到期后，再转存一年，比一直存4年，哪种方式更有利？若是5 年的存款，你又如何理财？）例1.13现有不允许提前支取的银行定期存款，其利率（保持6年不变）如表16所 示。存期（年）1234季结算名利率（）5678某投资者准备存入1000元，存期为6年，计算最大收益的定期储蓄组合的平均年利率。解：若选择一个4年期存款和一个2年期存款，则1个

34、货币单位的存款在第6年的总 额为（1 + 0.08）（1 + 0.05）8 = 1.546444于是平均年利率i可有下式计算得出：1(1 + i)6 = 1.5464 解得i = 1.54646 -1 = 7.54%注：书中有错误(见课本P25)1.3.3其它实例例1.14某人需要50000元的1年期贷款，市场中现有两种可能的融资机会：方式A： 1年期贷款年利率为5%；方式B： 1年期贷款年利率小于5%，但是最低贷款额度为100000 元。如果现有1年期可能的投资利率为3%，问：要使两种方式等价，方式B的最大可接受 年利率为多少？解：设i为方式B的最大可接受年利率，则有价值方程为50000(1

35、 + 5%)= 100000(1 + i) - 50000(1 + 3%)解得：i=4%例1.15现有如下的投资经历：原始投资100000元，资金在前两年投资于13周的短 期国债，假定均以贴现方式报价；从第三年初开始进行组合投资，该投资的利息力函数为 5 , 二 +1。如果希望5年后新增加的金额为原投资的1.6倍，试分析13周短期国债的可接 受的折价价格。解：设国债以名贴现率d (4)折价出售，则该资金在第2年底的累积价值为100000(1 -籍)-8第五年底的累积价值1 000(1 -站)-8；5tdt = 2000(1 -企)-8 = 2 6 0 0 0 0 0244解得：3.23%所以，即面额为100元的债券的可接受折价价格为100-3.23=96.77