第一章 函数与极限知识点

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1、第一章函数与极限区间 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名 称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间aWxWba，b口Ia-h _2L开区间axb（a， b）AJlia 1半开区间axWb 或aWxb（a，b或a，b）1A以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a，+8)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：aWxV+8；(-8, b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-8xb；(-8，+8):表示全体实数R，也可记为：-8x0.满足不等式| x-a |6的实数x的全体称为点a的。邻域，点a称 为此邻域的中心，0称为此邻域的半径。函数函数y

2、=f(x)、y=F(x) x D (D为非空实数集)D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有| f(x) |M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我 们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-8,+8)内是有界的.函数的单调性如果函数了在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x及x，当xx2时，有31)勺(号)，则称函数/成)在区间(a,b)内是单调增加的。如果函数/5)在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x

3、及x，当x/C)，则称函数/(I)在区间(a,b)内是单调减小的。函数的奇偶性如果函数3)对于定义域内的任意x都满足尸f)，则3)叫做偶函数；如果函数了对于定义域内的任意x都满足/F=J，则了3)叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称，若奇函数定义域中含有0,则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。函数的周期性对于函数川），若存在一个不为零的数1,使得关系式，3+丹=了（工）对于定义域内任何乂值都成立，则叫做周期函数，l是/的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。反函数反函数的定义：设函数 =f 3），其定义域为D，值域为

4、M.如果对于每一个 G M， 有惟一的一个尤eD与之对应，并使 =f成立，则得到一个以为自变量，x为因变量的 函数，称此函数为y=f（x ）的反函数，记作x = / -1（ D显然，X =广1（力的定义域为M，值域为D.由于习惯上自变量用x表示，因变量用V表示， 所以 =/（x）的反函数可表示为反函数的存在定理若E 在（a，b）上严格增（减），其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增（减）.注：严格增（减）即是单调增（减）反函数的性质的图形是关于直线y=x对称关于直线y=x对称的。如右图所示在同一坐标平面内，=）与V=f-i（x）复合函数的定义若y是u的函数：V=J（），而u又是x的函

5、数：=羽（游，且的函数值的全部或部分在 儒）的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数=他）及 卜机”复合而成的函数，简称复合函数，记作、=顶武，其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。分段函数：初等函数函 数 名 称函数的记号函数的图形函数的性质指数y =妒00,棕=1) 函数a) :不论x为何值,y总为正 数；b) :当x=0时,y=1.a) :其图形总位于y轴右 侧，并过(1,0 )点b) :当a1时,在区间(0,1)的值为负；在区间 (-,+8 )的值为正；在定义 域内单调增. =，m”(正弦函数)这里只写出了正弦函

6、数反三(反正弦函角数)函这里只写出了反正弦函数 数a=m/na) :当m为偶数n为奇数时,y是偶函数；b) :当m,n都是奇数时,尸是奇函数；c) :当m奇n偶时,y在(-8,0 )无意义.a) :正弦函数是以2。为周 期的周期函数b) :正弦函数是奇函数且sin a 1a) :由于此函数为多值函 数，因此我们此函数值限制 在-n/2, n/2上,并称其 为反正弦函数的主值.初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析 式表出的函数称为初等函数.双曲函数及反双曲函数函数的 名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正 弦=21a) ：其定义域为：(-8

7、,+8)；b) ：是奇函数；c) ：在定义域内是单调增ZL双曲余 弦/ 1 rf】S十61C/-2X =2了 TFchsf La）：其定义域为：（-8,+8）；b）：是偶函数；c）：其图像过点（0,1）；双曲正 切血=亍a）：其定义域为：（-8,+ 8）；b）：是奇函数；c）：其图形夹在水平直线 y=1及y=-1之间；在定域 内单调增；双曲函数的性质三角函数的性质skO = 0,血口二 1工血。=0sin 0 = O.cos 0 = 1,tan 0 = 0shx与thx是奇函数，chx是偶函数sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数ch2x- shx-sin x + cos 工二 1它们都

8、不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：反由（工土 ）二 shxchy chxshy宙（我土 y） = chxchy shxshy一丁、thx 土 thy说（汇土况）二:1/2板反双曲函数双曲函数的反函数称为反双曲函数.a）：反双曲正弦函数故血二In十十1）其定义域为：（-8,+8）；b）：反双曲余弦函数 次奴= lnt + J/-1）其定义域为：口，+8）；111 + K对g = 111c）：反双曲正切函数21 应 其定义域为：（-1,+1）；数列的极限数列通项入公式：函数的极限定义：设函数 =f 3）在的某去心邻域n（）内有定义，如果当尤无限趋近于时，f 3）无限接近于一个确定的常数

9、，则称常数A为当x x0时函数f （x）的极限，记作lim f （x）= Ax-x0或当 x X0，f （x） T Ay = f （x）/ X 8 , X、/ p* / X , X +8、上、/ r-t 曰 K x定义：设函数在（00 ）（或（0 0）内有定义，若当自变量x从0的左（右）近旁无限接近于x0，记作x T x0一 （x x0+ ）时，函数y = f 无限接近于一 X .个确定的常数A，则称吊数A为0时的左（右）极限，记作lim f =Af (x + 0) - A(xf+或 f (xo + 0) A).lim f =A f （x - 0） = Axf-或，、o /,极限与左、右极限之

10、间有以下结论lim f （x） = Alim f （x）=1 x0的充要条件是x-x。-渐近线：函数极限的运算规则若已知x_x0（或乂_8）时,T&g（幻 T3.lim C/（x） g（R） =AB则：flim /（/） . =A BKT命lim 竺二心0）I气g （兀） Blim氐. j）=砌（上为常数）推论：i命lim 了（划狼二峦乂用为正整教）I命在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。注：通过此例题我们可以发现：当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算， 应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形，然后运用规则求之。无穷大量和无穷小量

11、无穷大量记为：血（&） = 00 Imi /（对二 oam 或 is（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。记作：临了=。lim = 0I砧 （或 5注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一 常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在*1（或x8）时有极限A，则差A =沁）是当T莓（或x8）时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a）：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）：有限个无穷小量

12、的积仍是无穷小量；c）：常数与无穷小量的积也是无穷小量.d）:有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，若f (x)为无穷大，则f (x)为无穷小；反之，若f (x)为无1穷小，则f (x)为无穷大且f(x)等于零。无穷小量的比较定义：设a，8都是T瓦lim - = 0a)：如果f.a 八llffi =0b):如果 P时的无穷小量，且8在x0的去心领域内不为零，则称a是8的高阶无穷小或8是a的低阶无穷小则称a和8是同阶无穷小ta - = 1 c):如果F顼内的连续性：=f J)在开区间Qb)内的每点处都连续，则称函数)=f Cl在开区间若函数f。)在烦5,

13、%有定义，且 左连续.lim f (x)= f (x )_Xf0，则称函数 =x 0处若函数丫=f。)在、x0 +蔚有定义，且右连续.显然函数f (x)在x = x0处连续的充要条件是： 若函数f(x)在开区间侦,员内连续，且在x = a 闭区间以幻上连续.lim f (x)= f (x )X6：。，则称函数)=x 0处函数在该点既是左连续，又是右连续() 右连续，在x = b左连续，则称函数f在则称a和8是等价无穷小，记作：as8(a与8等价)注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。两个重要极限sinx lim=

14、 1x 0 X函数的一重要性质一一连续性函数连续性的定义：设函数 E3在点x的某个邻域内有定义，如果有 血顶 3) 二 /3o)函数左、右连续的概念:称函数/二/在点x0处连续，且称x0为函数的”加、的连续点.函数的间断点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点在x=x0无定义；有定义，但3）在xx（ lim f 在x=x 0有定义，且1 %lim f G）-KT v不存-） 不存;）lim f 顷存在，但I %不等于b):它包括三种情形：a）:c）:间断点的分类我们通常把间断点分成两类：如患。是函数/的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 x称为函数/的第一类间断点；不是第一类间断点的任

15、何间断点，称为第二类间断点.分类：无穷间断点、可去间断点、跳跃间断点。可去间断点若x0是函数的间断点，但极限既存在，那末x0是函数/3）的第一类间断点。此f（x）血f（x）时函数不连续原因是:八W不存在或者是存在但I地乏 。我们令/3仍=临如f ，则可使函数在点x0处连续，故这种间断点x称为可去间断点连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：a）:有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；b）:有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；c）:两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的

16、函数（分母在该点不为零）；反函数的连续性若函数I 在某区间上单调增（或单调减）且连续，那末它的反函数x也在对应的区间上单调增（单调减）且连续复合函数的连续性设函数”一叭阳当x-x时的极限存在且等于a，即：I由.而函数在点u=a连续，那末复合函数、二了双切当x-x时的极限也存在且等于.血力例） = /（）即：f 初等函数的连续性基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的闭区间上连续函数的性质（）（）最大值史小定理：（最大值、最小值定理）若函数f在闭区间以上连续，则函数f 在区间,b上必然存在最大值与最小值.介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数

17、值间的任何值。即： 6 =号也）=，在。、&之间，则在a，b间一定有一个&，使堆）= 推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。重点：极限的运算：1、运用极限运算法则及四则运算；若 lim f (x) = A,lim g (x) = B ， 贝g lim f (x) 士 g (x) 存在， 且 lim f (x) 士 g (x) - A 士 B - lim f (x) 士 lim g (x)若 lim f (x) - A,lim g (x) - B，则 lim f (x) - g (x)存在，且lim f (x) g (x) - AB lim f (x) - lim g (x

18、)推论1: limf (x) = clim f (x) ( c 为常数)。推论2: limf =limf (n为正整数)。lim 业=A =丽 f (x)定理3：设lim f (x) = A,limg(x) = B 0，则g(x)B limg(x)2、3、4、利用无穷小与无穷大性质;利用两个重要极限；利用无穷小的比较，等价无穷小的代替；lim f g(x)= lim f (u) - f (u ) - f (lim g(x) xfUTU00xflim f g(x)= f (u ) - f (lim g(x)I x0利用洛必达法则：注意条件。注：不同条件下极限的运用：5、6、利用复合函数公式:a).一般情况下时，用四则运算；(0型)b).当分子分母都为0时，先想法约去趋于零的因子，再利用四则运算;(-型)c) .当分子分母都为无穷大时，则先用x圣次方同时除以分子分母，分出无穷小，再求极限；d) .当其中一个是无穷小、分子为其它，分母为无穷大或者无穷小是，利用无穷小的性质;e) .当有复合函数时，如根号，对数，指数时，考虑用复合函数公式。f) .必要情况下可用洛必达法则。