第23讲 非线性回归方程(解析版)

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1、第23讲非线性回归方程一、必备秘籍当经验回归方程并非形如V = bx + a （a,b e R ）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性 相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结 如下：曲线方程变换公式变换后的线性关系式V = axbc = In a, v = In x, u = In yu = c + bvy = aebxc = In a, u = In yu = c + bxby = aexc = In a, v = , u = In y xu = c + bvy = a + b In xv = In xy = a + bvy

2、= a + bRv = x, u = yu = a + bv建立非线性经验回归模型的基本步骤1. 确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2. 由经验确定非线性经验回归方程的模型；3. 通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性 经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4. 按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5. 消去新元，得到非线性经验回归方程；6. 得出结果后分析残差图是否有异常.二、例题讲解1. （2021 -全国高三专题练习（文）人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB

3、（1TB =1024GB ） 级别跃升到PB （1PB=1024TB），EB （1EB=1024PB）乃至ZB（1 ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）研 究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB，2009年数据量为0.8ZB，2010年增长到1.2ZB，2011 年数据量更是高达1.82ZB.下表是国际数据公司（IDC）研究的全球近6年每年产生的数据量（单位：ZB）及 相关统计量的值：年份201420152016201720182019序号x123456年数据量y6.68.616.121.633.041.0xyzY (x厂 x ) i=1和(z - Z ) i=1簇(

4、x - x K - y)iii=1簇(x -x)( Z)iii=13.521.152.8517.5813.82125.356.7316表中 z = In y , z =-习 z .=1（1）根据上表数据信息判断，方程y =厂s 3是自然对数的底数）更适宜作为该公司统计的年数据量y关 于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程（勺精确到0.01）.（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据：e 4.56 95.58，砰58匚97.51，回归方程y = a + bx中，斜率最小二乘法公式为(x -x)一y

5、)工 x y - nxyiiiib = 1 (x - x) = TZZ3x xx nxiij=1i=1【答案】（1）y = e1.52+0.38x ；（2）见解析.【分析】设z = Iny，则z = m七+微，再根据参考数据及公式即可得解（2）先将x = 8代入得预计2021年数据量，进而和2011年的50倍比较大小即可得解【详解】(1)由y = c - e2 x，两边同时取自然对数得ln y = ln (c - g )= ln c + cx，1112设 z = ln y，贝口 z = ln 七 + c2 x.所以因为x = 3.5，z = 2.85，(x_ -x) = 17.58，(x,-I

6、)( -1)= 6.7. i=1i=1(x-x)C-z) 673OJij=1c = i=1 L /V=就 0.382 V (17.58lnq = Z - %x = 2.85 - 0.38x 3.5 = 1.52.所以 z = 1.52 + 0.38x = ln y，所以 y = e1.52+0.38 x ；（2）令x = 8，得 y = e1.52+0.38x8 = e4.56 95.58 1.82 x50 = 91.预计2021年全世界产生的数据规模会超过2011年的50倍.【点睛】关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来求解，同时也 要注意相应数据的

7、变化.感悟升华(核心秘籍)1、根据题目提供的参考数据，明显提示如何换元：Z = ln、,根据题意换元；2、题目提供了很多数据，对于(x -x)( - y) xy -nxy人iii ib - iT顶(_)-，寸 _代入的变量不能乙 V - x/乙 x2 - nx2iij=1i=1再直接选择x, y的数据，而应该选择换元后的变量的 数据，字母z = In y字母z，替换了字母y，而字母 x没有换元，所以公式修改为(x - x)(z - z) 1Lx z -nxz?iii ib - i=1项() 一寸_，修改后，在从(x - x r x 2 - nx2iij=1i=1参考数据总选择需要的数据代入计算

8、。2. (2021 -全国高三专题练习(文)有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁中国高铁经过十 几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变中国的高铁技术 不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到 2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表， 它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017201820192020年份代码x12345678运营里程y (万公里)1.31.61.92.22.52.93.53.9

9、根据以上数据，回答下面问题.(1) 甲同学用曲线J = bx + a来拟合，并算得相关系数r1 = 0.97，乙同学用曲线y = cedx来拟合，并算得 转化为线性回归方程所对应的相关系数二=0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说 明理由；(2) 根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于y的回归方程(系数精确到0.01 ). (x - x)(y - y)ii参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：b = f,a = y -bx ；参考数据：匕(x - x)2ii=1y = 2.48,(x. -x)(y. y) = 15.50, (x. -x)2 = 42.00,令w

10、 = In y, w = 0.84, X (x - x )(w -w)= 6.50,X(w -w)2 = 1.01 ,00.14 = 1.15.i=1i=1【答案】(1)答案见解析；(2) y = 1.150.15x.【分析】(1)比较已知的相关系数大小关系即可得出正确答案；(2)由已知数据求出X ,结合回归方程变形为 lny = lnc + dx，求出d和lnc，从而可求出回归方程.【详解】 解：(1).0 r1 1，- y =更适合作为y关于x的回归方程类型.(2)由 y = cedx 得 ln y = ln c + dx ,_ = 1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +

11、8 = 36 = 45x = 8 =.，X (x - x )(w -w)即 w = ln c + dx ,贝 g d =云二i=0.15则 X(x -1)242i所以 y = cedx = e0.14+0.15x = e0.14e0.15x = 1.15e0.15x.i=1ln c = w dx = 0.84 - x 4.5 0.14 , 84【点睛】关键点睛：本题考查了回归方程的求解，本题第二问的关键是对回归方程，结合对数的运算性质进行变形，结合最小 二乘法求线性回归方程的系数公式进行求解.感悟升华(核心秘籍)1、根据题目提供的参考数据，明显提示如何换元：w, = In y,根据题意换元；2

12、、题目提供了很多数据，对于X(x -x)(y -y) Xxy -nxy人iii ib=w=专代入的变量不能X V - xrX x2 - nx2iij=1i=1再直接选择x, y的数据，而应该选择换元后的变量的 数据，字母w = ln y字母w，替换了字母y，而字 母x没有换元，所以公式修改为X(x - x)(v - w) Xxw -nxw入iii ib = i=1项(_)二寸 _ ，修改后，在X(x - x rX x 2 - nx2iij=1i=1从参考数据总选择需要的数据代入计算。三、实战练习1. (2021山东荷泽高三二模)“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后， 乘

13、势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为 2021年到2025年.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了 解年研发资金投入额x (单位：亿元)对年盈利额)(单位：亿元)的影响，通过对“十二五”和“十三五” 规划发展10年期间年研发资金投入额七和年盈利额七(i = 1,2,.,10 )数据进行分析，建立了两个函数模型： y = a +阮；y =如,，其中侦，P，入，t均为常数，e为自然对数的底数V = 5.36，旧(X - X) = 100，i=1冲.顼)(.V)= 18，问:i=1令七二x2,vi = In

14、y, (i = 1,2, ,10)，经计算得如下数据：X = 26， = 215，U = 680 史。厂 U)= 22500，史(ui - u )(y-y )= 260，旧(y - ) = 4，旧.-V)= 4 i=1i=1i=1i=1(1) 请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？(2) 根据(1)的选择及表中数据，建立，y关于尤的回归方程(系数精确到0.01)(3) 若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额尤为多少亿元？(结果精确到 0.01)乙(x - x)(y - y)ii附：相关系数r=，1:JZ (xx )2JzL (y - y )2i =1i

15、=1项 - 一乙(x - x)(y - y)ii 人回归直线y = bx + a中：b =宜， a = y -bx2L (x -如)2i i=1参考数据：ln2 = 0.693，ln5 = 1.609.【答案】(1)模型 y = e 入 x+t 的拟合程度更好；(2) y = e0.18x+0.68 ； (3) 30.74亿元.【分析】(1) 分别计算两个函数模型的相关系数匕和匕，比较匕和七的大小关系即可判断；(2) 由y = ex x+t得ln y = X x +1，即v = Ax +1，根据最小二乘法求入和t的值，即可求解；(3) 将y = 500代入(2)中的回归方程即可求解.【详解】(

16、1)为了判断两个函数模型：y = + Px2 ； y = e兀+t，拟合程度，只需要判断两个函数模型y = a + p u，v = Ax +1 拟合程度即可.设uj和yj的相关系数为r1，xj和电的相关系数为r， 由题意(u - u )(y. - y )E( -u)2 JE(y, -y)2150 x 2i=1i=1-x)2E (v - V)2i=118= 0.9， ,0，因此从相关系数的角度，模型y = et的拟合程度更好. (x x )( v ) 18（2）先建立V关于x的线性回归方程，由y = e得，lny = xx +1，即v = x +1，人=K17V = = 0.18 , (x -

17、x )100i=1t = V -人x = 5.36 - 0.18 x 26 = 0.68，所以v关于x的线性回归方程为v = 0.18x + 0.68，即lny = 0.18x + 0.68，所求回归方程为：y = e0.18x+0.68，（3）若2021年盈利额为500亿元，即为500 =e.18x+0.68，ln500 = 0.18x + 0.68，6.213 = 0.18x + 0.68，解得：x - 30.74，所以2021年的研发资金投入量约为30.74亿元.2. （2021 -重庆高三三模）近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈某快递网点需了解一天 中收发一件快递的平均成本

18、 （单位：元）与当天揽收的快递件数x （单位：千件）之间的关系，对该网点近5 天的每日揽件量x （单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本y （单位；元）（i=1，2, 3, 4, 5）数据进行ii了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.梯件平均&10每日揽件教里WF件xywE(x -x) w .ii=1(1) 根据散点图判断，y = a + bx与y = c + -哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及x表中数据求出y关于x的回归方程；(2) 各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量提高时效保障外，价格优惠也 是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的

19、件数x (单位：千件)与单件快递的平均价格n单位；元)之间 的关系是x = 25-2t(5 t 0, b 0），对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值X = 6 , y = 603.09 , A*ln七=5.98 ,习 x i=1i=1 G -Un y -In y)=35.10, e 4.06 7.97 , e 4.07 58.56, e 4.08 59.15，根据相关数据，确定该函数关系 iii=1式(参数a , b的取值精确到0.01)； (x - x )(y - y)人;Il八 八b = i=1 /, a = y - bx ;（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系

20、，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人， 30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比， 求这2人中至少有一人是老年人的概率.02ii=1参考公式：线性回归方程y = bx + a中，4【答案】（1） y = 58.56e0.32x ；（2）-【分析】（1）由已知函数y = aebx（a,b 0），两边到自然对数可得lny = bx + lna，再计算b , lna，可得函数方程.（2）先由分层抽样的方法求得老年、中年、青年分别抽取的人数，运用列举法和古典概率公式可求得答案.【详解】（1）因为 y = aebx （a, b

21、 0），所以 ln y = bx + In a ,尤(x - x )ln (y - In j )/、35.10由已知得b = 尤(x - X )2i110=0.319i=1lna = In y 0.32x = 5.98 0.319 x6 4.07 , a = e4.07 58.56 ,.L所求函数方程为y = 58.56e0.32x.(2)从90人中按照分层抽样的方法随机抽取6人，老年、中年、青年分别抽取的人数为3人，2人，1人，记3个老年人为A , A , A , 2个中年人为B , B ,1个青年人为C , 123121抽取的全部结果为(A , A ), (A, A ), (A ,B ),

22、 (A,B ), (a ,C ) , (A , A ), (A ,B ) , (A ,B ) , (a ,C ),121311121123212221(A , B ) ,(A , B ) ,(A , C ) ,(B , B ) ,(b , C ) , (b , c)共 15 种.313231121121至少 1 人是老年人的有(A , A ) , (A , A ) , (A ,B ) , (A,B ) , (a ,C ) , (A , A ) , (A ,B ) , (A ,B ) , (a ,C ),121311121123212221(A , B ) , (A , B ) , (A , C

23、 ),共 12 种.313231一 ，一. 12 4所以至少1人是老年人的概率为p = 15=5.【点睛】关键点睛：本题考查线性回归方程的应用，分层抽样，古典概率的求解，关键在于正确地理解线性回归方 程的意义，准确地运用古典概率公式.4. （2021 贵州（理）某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的 频率分布直方图和散点图.用x表示该车的使用时间（单位：年），y表示其相应的平均交易价格（单位：（II）由散点图分析后，可用y = ebx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程.xyz冲xyi i i=1E xzi i i=1E x

24、2 i=5.59230080385表中中=my，互=土史气.根据上述相关数据，求 关于-的回归方程. i=1附：对于一组数据( ,v) , (u , v), (u , v),其回归直线V =a + p u的斜率和截距的最小二乘估计分别1122n nyu v nuv为：E=, ot = v _ Bu .，u 2 nu 2ii=1【答案】(I) 16 ;(II) y =厂*+4.【分析】(I)由频率和为1可构造方程求得a，根据112,20对应的频率可计算求得频数;,_.、一、.、， .4(II)将回归方程变为z = ln y = bx + a，利用最小二乘法可求得回归直线z = x + 4,由此可

25、得所求回归方程.【详解】(I)(0.05 + 0.09 + 0.07 + a + 0.01)x 4 = 1,解得：a = 0.03 ,使用时间在112,20的车辆对应频率为：(0.03 + 0.01)x4 = 0.16 ,使用时间在112,20的车辆数为：100x0.16 = 16 ；E xizi -1080 110(II)由 y = ebx+a 得：z = ln y = bx + a ,4 c 4 l , a = z _ bx = 2 + x5.5 = 4 ,385 302.51111x 2 10 x 2ii=1 z = -141x + 4， y 关于x 的回归方程为：y = e：x+4.【

26、点睛】关键点点睛：本题求解回归方程的关键是能够通过取对数的方式将非线性的回归方程转化为线性回归方程， 利用最小二乘法求得线性回归方程后，再变形得到所求回归方程.5. (2021 -河南洛阳市高三二模(理)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的一, . ,. L . (e e 品质量与尺寸的比在区间-,-V 9 7 7质量y (g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y = c xb (b、c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产(0.302,0.388 )内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下:尺寸x (mm)384858687888质量y (g)16.818.82

27、0.722.42425.5质量与尺寸的比yx0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记&为取到优等品的件数，试求随机变量&的期望;（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表: (ln x - ln y )iii=16 (ln x )i=1 (ln y )i=1 (ln x i=175.324.618.3101.4（i）根据所给统计量，求丁关于x的回归方程;（ii）已知优等品的收益z （单位：千元）与叭丁的关系为乙=2y-0.32x，则当优等品的尺寸为何值时，收益z的预报值最大？其回归直线u = b - V + Q的斜率和截

28、距的最小二乘估计公式分别为:附：对于样本。,u）（i = 1,2, .,n ），(v -V)U -U) vu 一 nvuiiv 2 - nV 2a = u 一 bv，e 牝 2.7182.i=1i i=1【答案】（1）（2）（i） y = ex0.5 ； （ii）当优等品的尺寸x为72mm时，收益z的预报值最大.【分析】（1）分析可知随机变量&的可能取值有0、1、2、3,计算随机变量&在不同取值下的概率，进一步可计算得出E0的值;（2）（i）在等式y = c-xb两边取自然对数可得lny = lnc + blnx，利用表格中的数据可求得b、a的值，由此可得出y关于x的回归方程;. 八，L 八

29、2。2 一 .（ii）由（i）可得出z = -0.32 Vx+，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的0.32） 0.32x的值，即可得出结论.【详解】（1）由表可知，抽取的6件合格产品中有3件优等品，所以，&的所有可能取值为0、1、2、3，p(g= 0)=C ，p(e=1)= CC ，p(& = 2)=CC ，C 20C3320C3320所以，随机变量&的期望为E（。= 0x土 + 1x% + 2x三+ 3x土 3乙(2) (i)y = c xb， :.In y = In c + b In x， (ln x )=24.6，定(lny ) = 18.3,iii=1i=1/. Inx =

30、【(lnx )= 4.1，Iny = 1E (ln y.) =3.05，E (ln x - In y )-6 x In x x In yi i b = i=175.3 - 6 x 4.1x3.05 0.5，101.4 - 6 x 4.12=1i=1E (ln x 一 6 x (ln x) i i=1a lny一binx = 3.05一0.5x4.1 1，-lny = 1 + 0.5lnx，所以，c = e，故y关于*的回归方程为y = ex0.5 ； (ii)由(i)知，y = exo.5,Ye2+，0.32Z = 2y - 0.32x = 2ex0.5 - 0.32x = -0.321 忐-

31、0.32 /,Ie（ e 2”人一，一一.，当去土，即x -72时，z取得最大值，0.3210.32 ）故当优等品的尺寸x为72mm时，收益z的预报值最大.【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X的期望、方差，求aX + b（a,b g R）的期望与方差，利用期望和方差的性质（E（aX + b）= aE（X）+ b，D（aX + b）= a2D（X）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列 的期望和方差公式进行计算.6. （2021 全

32、国（文）2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物 资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协 调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情.我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日 开始投入呼吸机生产，该公司9月1目9月9日连续9天的呼吸机日生产量为（单位:百台，i = 1,2,夕），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图.yzt 12i i=1 tzi i i=12.731952851095II生产量y12345678 9日期代码t注：图中日期代码1 9分别对应9月1日9月9日；表中乙=eyii=1(1

33、) 从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率;求y关于t的方程y = ln(bt +。)，并估计该(2)由散点图分析，样本点都集中在曲线y = ln(bt +。)的附近，公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台.参考公式：回归直线方程是v = +& ； P =日v n日viii=1-7=1 日2 n(日)2ii=13一【答案】(1)5 ； (2) y = ln(41-1) ； 38.【分析】(1)由散点图读出不高于300台的点有5个其中高于200台的点有4个，从而计算出所求概率;(2) 将对数表达式变成z = e

34、y = bt + a，根据回归方程系数求解公式求得参数a，b，从而求得回归方程，并估算y5对应的t值即可.【详解】(1) 由散点图知，不高于300台的点有5个，其中高于200台的点有4个，则在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，C 232个样本点都高于200台的概率为P = C2 = 5 .(2) y = ln(bt + a) 0 z = ey = bt + a则由回归方程系数求解公式知，b = w工T -z -ntzi i1095 - 9 x 5 x19 ”=412 - n(t)2 ,=i 285 - 9 x 52a = Z bt = 19 一 4 x 5 = -1,y = ln（4

35、1 -1） 5 n 4t -1 e5 * 148.5 n t 37.375需要38天呼吸机日生产量可超过500台.【点睛】方法点睛：非线性回归方程，可以先转化为线性的数据，利用线性回归方程系数求解公式求解，从而求得 非线性回归方程.7. （2021 -全国高三专题练习）某公司为了了解年研发资金投人量工（单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量X和年销售额y的数据，进行了对比分析，建立了两个函 ii数模型：y = a + 0x2，y = e2x+t，其中a、&、人、t均为常数，e为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令七=X2，v i =ln yi （i

36、 = 1,2/-,12），经计算得如下数据：Xy2( X - X )2 i=12( y厂 y )2 i=1uv20667724604.202 (u 一 u )2i=12(u u)(y 一 y)iii=12(v ,一 v )2i=12(x X )(v v)iii=1312502153.0814（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于尤的回归方程;若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量尤是多少亿元?VnA（X -X）（y 一y）乙（X X）（y y）附：相关系数：r =；，回归直线y=a+bx中公式分别为：b=卞一-，也

37、（X厂X）22（y（ - y）2Z（xi -x）2a = y - bX ；参考数据：308 = 4 x 77，两0 *9.4868， e4499& 90.【答案】（1）模型 y = exx+t ； （2）&y = e018X+0.56 21.89亿元.【分析】（1）分别设J和y,的相关系数为r1，电和电的相关系数为r2，利用公式求解比较下结论；（2）（ i）由y = ex x+t，两边取对数ln y = t + X x，即v = t + X X，再利用公式分别求得人,t即可；（ii）根据(i)的模型，由y = 90求解.【详解】(1)设u )和七的相关系数为r1, 土和电的相关系数为r2，由题

38、意，巨(u -U)(y -y)ii215r1 =企。厂U炬(厂y)=250 X2i=143 =0.8650，i=114=怎卜)月，.一 v)=10 - 0.91,11，则Irl 0)对两个变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程 (条数精确到0.01).参考数据：x = 3.5，y = 4.1，Y x2 = 91 ；设t = In y ,t = 1.16,Z xt = 31.89 .iiii ii=1i=1参考公式：回归直线v=a+&u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：qi i6 =5-Ju2 - nu 2ii=1【答案】(1) 15 ;(2) y = 0.70e0.4

39、3x.【分析】（1）利用古典概型概率的计算公式可求概率；（2）设t = lny，可利用公式求出t关于x的线性回归方程，从而可得所求的与指数函数有关的回归方程.【详解】解：（1）设6年中任意选取两年，仅有1年的新能源汽车保有量大于4 （万辆）为事件A，P( A)=CiCi42C 26_8_15 .所以，仅有1年的新能源汽车保有量大于4 （万辆）的概率为185.(2)对 y = cedx(c 0)两边取自然对数得：lny = lnc + dx，设t = Iny， t = In c + cdxV ，一 -乙 xt 6 x -1ii31.89 6 x 3.5 x1.16 91 6 x 3.52r 0.

40、43，i=1. t = In c + 0.43X,ln c = t 0.43x = 1.16 0.43 x 3.5 r 0.35 .*.* e 0.35 r 0.7047，二 c r 0.70， y = 0.70e0.43x .9. （2021 陕西高三二模（理）为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和 微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人 开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出 的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：x123

41、4567y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.码支付的人次y关于活动推出天数1的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y与i的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付 的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知， 每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使 用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客

42、随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中.1 一1 _有6的概率享受7折优惠，有3的概率享受8折优惠，有2的概率享受9折优惠预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利?参考数据:yVy iyi i i=1y *i i i=1100.5462.141.54253550.123.47其中其中七=lg y.，V =-乙匕，i=1参考公式：对于一组数据（u , V ），（u , V），（u , V），其回归直线V =& + Bu的斜率和截距的最小二乘112

43、2n nyu v 一 nu - v i i估计公式分力别为：P = f=1, a = V - 3u 乙u 2 nu 2【答案】(1) y = c -dx ( c,d均为大于零的常数)适宜；(2) y = 3.47 x 100.25x ；活动推出第8天使用扫码 支付的人次为3470人；(3)需要3年才能盈利.【分析】(1) 根据散点图可直接判断得到结论；(2) 对y = c-dx两边取对数得lgy = lgc + lgd -x，转化为回归直线的求解问题，利用最小二乘法可求得 lgy = 0.54 + 0.25x，进而得到回归方程；将x = 8代入回归方程即可得到结果；(3) 设一名乘客一次乘车的

44、费用为&元，可求得&可能的取值对应的概率，由此计算得到E (&)，构造不等式 1.66x 2x12x n 90 + 0.66x12x n，由此求得结果.【详解】(1) 根据散点图判断，在推广期内，y = c - dx (c, d均为大于零的常数)，适宜作为扫码支付的人次y关 于活动推出天数x的回归方程类型；Ex v = 50.12，x - 4，i=1Ex 2 140，ii=1(2) 根据(1)的判断结果y = c-dx，两边取对数得：lgy = lgc + lgd -x，1 X? ,其中v = lg y，v =一旗 v 1.54i =1E -x v - nx - vi iP = lg d =

45、-t- 0.25，ci = lg c = v - 3 x = 0.54，乙x 2 - nx 2ii =1. lg y = 0.54 + 0.25x，y 100.54+0.25-x = 3.47 x 100.25x.当 x 8 时，y = 100.54+0.25.8 3.47x 102 347，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470人；(3) 设一名乘客一次乘车的费用为&元，由题意知：&所有可能取值为：1.4，1.6，1.8，2，P(&=1.8)= 0.3x1 0.15，P(&= 2)= 0.1，211 P(& =1.4)= 0.3x1 0.05，P(& =1.6)= 0.6 + 0.3x1

46、 0.763E(& )=1.4x0.05 +1.6x0.7 +1.8x0.15 + 2x0.1 1.66，假设这批车需要n(n E N*)年才能开始盈利，则1.66x 2x12xn 90 + 0.66x12xn，解得：n 2.82，.需要3年才能盈利.【点睛】关键点点睛：本题考查非线性回归相关问题的求解，解题关键是能够通过对指数型回归方程左右同时取对 数，转化为线性回归的类型，从而利用最小二乘法求得线性回归方程，进而得到非线性回归方程10. (2021 吉林高三模拟预测(文)全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业 呢？由人民日报社指导，中国经济周刊主办的第十八届中国经济论坛在

47、人民日报社举行，就中国企业 如何提升全球行业竞争力进行了研讨.数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x (百万元）与收益y （百万元）的数据统计如下:科技投入x1234567收益y19202231405070根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y = 2妇的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：zE x 2i i=1E xyi ii =1E xzi i i=1E ( y - y )2 ii=1E (y - y )2 ii=1514012391492134130其中 z = log y，z =1Z z .i 2 i7 ii=1（1）请根据表中数据，建立y关于x的回

48、归方程（系数b精确到0.1 ）；（2）乙认为样本点分布在直线y = mx + n的周围，并计算得回归方程为y = 8.25x + 3，以及该回归模型的决定系数（即相关指数）R乙=0.893，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？由所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）附：对于一组数据（u，v ）,（u ,?）,.,（u ,v ），其回归直线方程分=Bu +dt的斜率和截距的最小二乘法估计分1122n nE (u 一 u )(v - v ) E u v - npV别为p = vZ(u - u)2iit=r E (v - v )2ii=1

49、Eu2 顶2ii=1，& =v-，决定系数：R2 = 1 -弋l.参考数据: E （v - v ）2i=1log 5 2.3 .【答案】（1）y = 20.3x+3.8 ；（2）&甲建立的回归模型拟合效果更好；科技投入的费用至少要9.3百万元.【分析】（1）两边取对数得log2 y = bx + a，令z = log2 y，利用最小二乘法可求得Z = 0.3x + 3.8,由此可得回归方程;（2）根据公式计算可得相关指数R甲2 a 0.939 R乙2 = 0.893，由此可得结论；由20.3x+3.8 100，解不等式可求得x范围，由此可得结果.【详解】E Lx z 一 / xzizi149

50、一 7 x 5 x 4 .a 0.3，（1）将 y = 2 bx+a 两边取对数得：log2 y = bx + a，令 z = log2 y，则 z = bx + a， ?x = 4，.，根据最小二乘估计可知：b =号7）140 一 7 x 42七 x 2 一 7 x 2 i=1二 a = z bx = 5 0.3x 4 = 3.8 ，.回归方程为z = 0.3x + 3.8， 即 y = 20.3x+3.8 .(2)甲建立的回归模型的R 2 =1 一史0总0.939 R 2 = 0.893.甲 2134乙甲建立的回归模型拟合效果更好.由知，甲建立的回归模型拟合效果更好.设20.3X+3.8

51、100，解得：0.3% + 3.8 log00 = 2 + 2log25，解得：x 9.3.科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿.11. (2021 -江西(文)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书 和版权日”.从进入大数据时代以来，人们阅读方式发生了改变，数字媒体阅读方式因为便携，容量大等 优点越来越被大众接受，下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量(单 位：ZB )及相关统计量的值：年份201520162017201820192020序号%123456年数据量y7917223443xyz (x 一 x )2ii=1 (z - z )2ii=1 (z - z )2ii=1 (%, - % Xz, - z ) i=13.522218141249表中 z = In y，z = g乙z .i=1(1) 根据上表数据信息判断，方程y = cec/ 3是自然对数的底数)更适宜作为该公司