方向导数偏导数与全微分

《方向导数偏导数与全微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方向导数偏导数与全微分（27页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 7.3 方向导数、偏导数与全微分一、方向导数与偏导数二、全微分三、梯 度一、方向导数与偏导数,)1(,222121 vvxOyvvv平面上的一个单位向量平面上的一个单位向量是是设设,),(),(000yxPlvyxP上上任任取取一一点点的的直直线线平平行行且且与与方方向向在在经经过过点点,000yyxxPP 则则有有向向量量,0vPP平行于平行于且且,R0tvPPt 使使得得从从而而必必存存在在,20102010 tvyytvxxtvyytvxx或或写写成成即即.的的参参数数方方程程直直线线l.),(),(,),(2010的的一一元元函函数数就就变变成成了了变变量量二二元元函函数数变变动动时

2、时沿沿着着直直线线当当点点ttvytvxfyxflyxP ,),()(2010tvytvxftg 令令.),()0(00yxfg 则则tgtgtgtt)0()(limdd00 如如果果导导数数,),(),(lim0020100存在存在tyxftvytvxft ,),(),(000的方向导数的方向导数向向处沿方处沿方在点在点则称此导数值为函数则称此导数值为函数vyxPyxf.),(000yxPvfvf 或或记记为为例例1解解.014,3)21(,),(22的的方方向向导导数数，与与方方向向沿沿方方向向，函函数数在在点点分分别别计计算算此此设设二二元元函函数数 uwyxyxftttvft2lim2

3、02,1 ）（从从而而,54,53,wwvw得得单单位位向向量量单单位位化化将将向向量量),(),(002010yxftvytvxf 则则)2,1(542,531fttf ,22tt .2 tttt2lim20 的的方方向向导导数数为为沿沿方方向向可可求求得得在在点点类类似似地地u)2,1(,tftfuft)2,1()2,1(lim0)2,1(.2 定义定义7.4,),(,),(),(),(),(0000000的的偏偏导导数数的的偏偏导导数数和和关关于于关关于于分分别别称称为为则则他他们们存存在在和和若若方方向向导导数数内内有有定定义义的的某某邻邻域域在在设设二二元元函函数数yxyxfjfif

4、yxPyxfzyxyx .),(),(),(),(,00000000),(),(),(),(00000000yxzyxzyxfyxfyzxzyfxfyxyxyxyxyxyx 及及或或及及或或及及或或及及分别记为分别记为例例21)1,1(e)1sin(dd yyyyyz解解1)1sin()1cos(e xxxx1)1,1(e)1sin(dd xxxxxz1)1cos()1sin(e yyyy.)1,1(e)sin()1,1()1,1(yzxzyxzxy及及处偏导数处偏导数在点在点求求,e1 .e1 例例3 解解.)0,0()ln()2,1()2,1(yxyxyzzzzyxxyxz 与与以以及及与

5、与数数的的偏偏导导求求函函数数xyyyxzyx 1可可得得看看作作常常数数将将时时求求,yzx xyxy11 ;3)2,1(xz从从而而可可得得看看作作常常数数将将时时求求类类似似地地,xzy yxxzyy1ln .21)2,1(yz从从而而解解例例4 .)ecos(22的的偏偏导导数数求求三三元元函函数数zyxu xyxxuz2)esin(22 得得看作常数看作常数和和把把,zy),esin(222zyxx )2()esin(22yyxyuz 得得看作常数看作常数和和把把,zx),esin(222zyxy )e()esin(22zzyxzu 得得看看作作常常数数和和把把,yx.)esin(e

6、22zzyx .),(:),(0000轴轴的的斜斜率率对对处处的的切切线线在在点点曲曲线线xMyyyxfzyxfx .),(:),(0000轴的斜率轴的斜率处的切线对处的切线对在点在点曲线曲线yMxxyxfzyxfy 偏导数的几何意义偏导数的几何意义0 x0yO例例5 5 解解.)0,0(0,00,),(222222关系关系点的偏导数与连续性的点的偏导数与连续性的在在讨论函数讨论函数 yxyxyxxyyxf由偏导数的定义知道由偏导数的定义知道0)0,0(),0(lim)0,0(0 yfyffyy0)0,0()0,(lim)0,0(0 xfxffxx.)0,0(),(,72.7不不连连续续在在点

7、点函函数数知知道道例例但但由由yxf,)0,0(),(的偏导数都存在的偏导数都存在在点在点从而从而yxf性质性质7.3.)(),(),(,)(),(),(000000连续连续点点或或点点在在或或则则偏导数存在偏导数存在的的或或处关于处关于在在设设yyxxyxfyxfyxyxyxfz 二、全微分定义定义7.5(*)(oyBxA 改改变变量量可可以以表表示示成成的的如如果果和和一一个个改改变变量量给给有有定定义义的的某某一一邻邻域域内内在在设设zyxyxyxPyxfz,),(),(00000 ),(),(0000yxfyyxxfz ,)0,0(),()(,),(,),(,22000的高阶无穷小量的

8、高阶无穷小量时时表示表示无关的常数无关的常数有关、与有关、与是只与是只与其中其中 yxoyxyxyxfyxPBA)57(d),(00 yBxAzyx即即或或,dd),(),(0000yxyxfz记记为为处处的的全全微微分分在在为为且且称称处处可可微微在在点点则则称称,),(),(,),(),(000000yxPyxfyBxAyxPyxf )47(d),(00 yBxAzyx从从而而得得到到近近似似公公式式的的主主部部是是很很小小时时当当,d,),(00zyBxAzyxyx ),(),(0000yxfyyxxfz .),(,),(内内的的可可微微函函数数是是称称内内处处处处可可微微时时在在区区域

9、域当当DyxfDyxf定理定理7.1则则处处可可微微在在若若,),(),(000yxPyxfz ),(,),(,(*),),()1(00000yxfByxfABAPyxfyx 分分别别为为中中的的式式且且处处的的偏偏导导数数都都存存在在在在点点)67(),(),(,)1(,),(),()2(200100),(2221210000 vyxfvyxfvfvvvvvyxyxfyxyx且且的的方方向向导导数数存存在在处处沿沿任任意意方方向向在在点点)(),(),(0000 xoxAyxfyxxfz 由此即得由此即得Axzx 0lim.),(00yxfAx 因因此此.),(00yxfBy 同同理理可可证

10、证),(),()1()2(0000yxfyyxxfz 可得可得由由)(),(),(0000 oyyxfxyxfyx 证明证明,(*),),(),()1(00式式成成立立有有可可微微时时在在点点当当yxyxf,0 xy 得得在在其其中中令令tyxftvytvxfvftyx),(),(lim0020100),(00 ttotvyxftvyxfyxt)(),(),(lim2001000 .1.7证证毕毕定定理理200100),(),(vyxfvyxfyx ,21ttvytvx 则则令令上的变化率为上的变化率为在方向在方向,),(21vvvyxfz ,),(内处处可微时内处处可微时在区域在区域当当Dy

11、xfz 内内的的全全微微分分函函数数为为在在则则Dyxfz),()77(d),(d),(d yyxfxyxfzyx它它的的全全微微分分公公式式为为元元函函数数对对,),(21nxxxfun)87(dddd2121 nxxxxfxfxfun可写成可写成则全微分则全微分处可微处可微在点在点若若,),(),(000yxPyxfz yyxfxyxfzyxyxd),(d),(d0000),(00 二元函数的可微性、偏导数存在及连续性之间二元函数的可微性、偏导数存在及连续性之间的关系为的关系为偏导数存在且连续偏导数存在且连续可微可微连续连续偏导数存在偏导数存在定理定理7.2.),(),(,),(),(,)

12、,(),(000000处可微处可微在点在点则则连续连续在点在点的偏导数的偏导数若若yxPyxfzyxPyxfyxfyxfzyx 例例6求下列函数的全微分：求下列函数的全微分：;)1(33yxxyz .)2()2(zyxu 解解因此因此yzxzzyxddd ,323yxyzx .,)1(yxzz 先求先求.332xxyzy .d)3(d)3(3223yxxyxyxy 因此因此.,)2(zyxuuu 先先求求,)2(1 zxyxzu,)2(21 zyyxzu),2ln()2(yxyxuzz zuyuxuuzyxdddd .d)2lnd22d2)2(zyxyyxzxyxzyxz（定义定义7.6),(

13、,),(grad000000yxfyxfffyxpp 三、梯度即即或或或或记记为为处处的的梯梯度度在在点点为为函函数数则则称称向向量量和和数数导导处处存存在在偏偏在在点点设设,)grad,(grad,),(),(,),(,),(),(),(),(00000000ppppyxyxzzffPyxfyxfyxfyxfyxfyxPyxfz .)(),(),(,),(,),(函数函数内的梯度内的梯度在在为为则称则称内处处存在偏导数内处处存在偏导数在区域在区域若若DyxfyxfyxffDyxfyx 22),(),(,yxfyxfffyx 其其长长度度为为是是一一个个向向量量梯梯度度.,0的方向为梯度方向的

14、方向为梯度方向称称时时当当ff ,),(),(000处可微处可微在在设设yxPyxfz ,)1(,21是任一给定的方向是任一给定的方向 vvvv)97(cos0 pf200100),(),(0vyxfvyxfvfyxp 的的标标量量积积形形式式与与写写成成梯梯度度可可将将方方向向导导数数vfvfPP00 vfp 0.之间的夹角之间的夹角表示梯度与表示梯度与其中其中v 性质性质7.4梯度的几何意义：梯度的几何意义：梯度方向是函数变化率最大的方向梯度方向是函数变化率最大的方向.,),(),(,),(),(0000000pfyxPyxfyxPyxfz 并且等于梯度的长并且等于梯度的长方向的方向导数最

15、大方向的方向导数最大沿梯度沿梯度点的所有方向导数中点的所有方向导数中在在则则处可微处可微在点在点设设例例7解解由于沿梯度方向的方向导数最大，由于沿梯度方向的方向导数最大，.,)ln()2(;,)1(,)1,1(),(,),()1(222212uuzyxuvvvvyxfxyyxf 及及求求设设大值方向的单位向量大值方向的单位向量导数的最大值和取得最导数的最大值和取得最并指出方向并指出方向的方向导数的方向导数任意方向任意方向处沿处沿在点在点求求设设,2),(,),()1(2xyyxfyyxfyx 由由于于21)1,1()1,1()1,1(vfvfvfyx 212vv 且最大方向导数为梯度的长度，而且最大方向导数为梯度的长度，而21 ，)1,1()1,1(ffv)1,1(,)1,1()1,1(yxfff5)1,1(f,5)1,1(),(点点方方向向导导数数的的最最大大值值为为在在因因此此 yxf向量为向量为取得最大值方向的单位取得最大值方向的单位 52,51（2）由于由于因此因此,2222zyxxux ,2222zyxyuy ,2222zyxzuz ,zyxuuuu ,2222zyxzyx .2222zyx 222)()()(zyxuuuu