连续与极限PPT课件

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1、第二章第二章 极限与连续极限与连续2.4 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的性质三、连续函数的性质四、闭区间上连续函数性质四、闭区间上连续函数性质五、小结五、小结一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量 0000()(,),(,),.f xU xxU xxxxxx设设函函数数在在内内有有定定义义称称为为自自变变量量 在在点点的的增增量量.)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 2.连续的定义连续的

2、定义设设 f(x)在在 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,当当 时时,有有0 x0 x,即即 ,则称则称 f(x)在在 点连续点连续.0y 0lim0 xy 0 x亦即亦即0000limlim ()()xxyf xxf x 000lim()()0 xxxxxf xf x00lim()()xxf xf x .)()(,0,000 xfxfxx恒恒有有时时使使当当3.连续定义说明连续定义说明(1)先有增量先有增量 ,后有增量后有增量 ,二者可正可负二者可正可负;x y(2)时的极限与时的极限与 f(x)在在 点连续的关系点连续的关系:0 xx0 x0lim()xxf xA 00(),(),Af x

3、Af x 连续连续;不连续不连续;(3)连续的连续的“”定义定义:(比较极限、连续两定义的异同比较极限、连续两定义的异同)例例1 1.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义知由定义知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx （无穷小量乘以有界量）（无穷小量乘以有界量）4.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 5.单侧连续说明单侧连续说明.)(),()0(,),)(0000处

4、右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf (1)左连续即左连续即 ;00lim()()xxf xf x (2)右连续即右连续即 ;00lim()()xxf xf x (3)不存在时不存在时,单侧连续性也不存在单侧连续性也不存在;0()f x(4)f(x)在在 连续连续 .0 x 000()()()f xf xf x 例例2 2.0,0,2,0,2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解 00lim()lim(2)xxf xx2),0(f 00lim()lim(2)xxf xx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续

5、,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf 6.函数在区间上连续函数在区间上连续在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.比如比如,等函数在等函数在(-,+)内连续内连续.,sinxex 例例3 3.)

6、,(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任任取取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx .),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy当当 x0时时,|cos()|1,2xx sin0,2x 由于无穷小量与有界量之积还是无穷小量由于无穷小量与有界量之积还是无穷小量,当当 x0时时,有有 y0.连续点处的要求连续点处的要求:Ex1:研究函数在点研究函数在点 处的连续性处的连续性:0 x201()2,(),0,1xf xxg xxx (3)成立以下等式成立以下等式:(1)在在 处有确定的函数值处有确定的函数值 ;()f x0 x0()f

7、 x(2)时时,函数函数 的极限存在的极限存在;0 xx()f x0000lim()lim()lim()()xxxxxxf xf xf xf x 当以上等式不满足时就出现间断。当以上等式不满足时就出现间断。二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果

8、果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf(以上以上3条是我们证明连续的主要依据条是我们证明连续的主要依据)例例4 4 000()()()f xf xf x f(x)在在 连续连续 0 x00lim()()xxf xf x 1.可去间断点可去间断点 000()()()f xf xf x.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解,1)1(f (1)2,f (1)2,f2)(lim1 xfx),1(f oxy112xy 1xy2 2012:(),11xExf xxx x=1为函数的可去间断点为函数的可去间断点.例例

9、5 52.跳跃间断点跳跃间断点.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf (0)0,f (0)1,f (0)(0),ffoxy0 x 是是 f(x)的跳跃间断点的跳跃间断点.解解 00()()f xf x在在 处有或者没有确定的函数值处有或者没有确定的函数值 ,但但()f x0 x0()f x 如例如例4中中,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1120|2|3:

10、(),22xExf xxx 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例6 6.0,0,0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy (0)0,f (0),f 所以，所以，x=0 为函数的第二类间断点。为函数的第二类间断点。这种情况称为这种情况称为无穷间断点无穷间断点。例例7 7.01si

11、n)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处处没没有有定定义义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间说明说明:(1)无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点无穷间断点和振荡间断点都是第二类间断点;(2)函数的间断点可能有限函数的间断点可能有限,也可能有无穷多个也可能有无穷多个.,0,1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDyDirichlet(狄利克雷狄利克雷)函数函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间

12、断点断点.,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.o1x2x3xyx xfy ,1,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例8 8.0,0,0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解00lim()lim cosxxf xx ,1 00lim()lim()xxf xax ,a,)0(af (0)(0)(0),fff

13、要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,1 aEx5:指出函数间断点类型指出函数间断点类型:Ex4:指出指出 a为何值时为何值时,函数函数 f(x)在在0,4内连续内连续:(无穷无穷,跳跃跳跃,可去间断点可去间断点)222();|(4)xxg xxx (1)1();1xxh xe 2,02();21,24axxf xxx 000()()()f xf xf x(3/4)a ():2,0,2g xx ():0,1h xx (无穷无穷,跳跃间断点跳跃间断点)。三、连续函数的性质三、连续函数的性质1.四则运算性质四则运算性质(定理定理1)2.复合函数性质复合函

14、数性质(定理定理2)3.反函数性质反函数性质(定理定理3)4.几点结论几点结论(1)连续函数的四则运算和复合函数都是连续函数连续函数的四则运算和复合函数都是连续函数;(2)严格单调的连续函数的反函数也是严格单调的严格单调的连续函数的反函数也是严格单调的 连续函数连续函数;(3)基本初等函数在其定义域内都是连续函数基本初等函数在其定义域内都是连续函数;(4)初等函数在其有定义的任何区间上连续初等函数在其有定义的任何区间上连续;例例9 9.1lim0 xexx 求求.1)1ln(lim0yyy 原原式式解解2,1yex 令令),1ln(yx 则则.0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同

15、理可得同理可得.ln1lim0axaxx (5)连续的复合函数连续的复合函数“lim”与与“f”可交换可交换:lim()lim()f g xfg x 解解1 等价无穷小代换等价无穷小代换:1(0);xex x 利用连续复合函数性质利用连续复合函数性质 例例1010.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式.1sin e例例1111.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20.0)()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx(6)函数在连续点处求极限的方法函数在连续点处求极限的方法直接代入法直接代入

16、法。四、闭区间上连续函数性质四、闭区间上连续函数性质(三个性质、一个定理三个性质、一个定理)1.最大值、最小值定义最大值、最小值定义max(),min();x Ix If xf x 2.最值性最值性(定理定理4)3.有界性有界性:闭区间上连续函数一定有界闭区间上连续函数一定有界;4.介值性介值性(定理定理5,以下说明两点以下说明两点)(1)c 介于端点值介于端点值 f(a)和和 f(b)之间时之间时,有有 使使 ;(,)a b ()fc (2)d 介于最值介于最值M和和m之间时之间时,也有也有 使使 ,a b ().fd 5.零点定理零点定理如果如果 f(x)在在a,b上连续上连续,且且 ,则

17、至则至少存在一点少存在一点 ,使得使得 .()()0f af b (,)a b ()0f 6.三点说明三点说明(1)以上性质和定理仅从理论上给出结论以上性质和定理仅从理论上给出结论,没有给出没有给出具体的取值和计算方法具体的取值和计算方法;(2)介值性中的开区间、闭区间有别介值性中的开区间、闭区间有别;(3)零点定理常用于判断方程根的存在性零点定理常用于判断方程根的存在性,但没有给但没有给出求根的具体方法出求根的具体方法.例例1212.)1,0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上上连连续续在在则则xf,01)0(f

18、又又,02)1(f由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(f,01423 即即.)1,0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx证明方法小结证明方法小结:(1)构造函数构造函数 f(x);(2)判断判断 f(x)在在a,b上连续上连续,且且 f(a)f(b)0),且且 ,证明证明:在在 内至少有一实根。内至少有一实根。()f x0,a0,a(0)()ff a()()2af xf x 五、小结五、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)4.连续函数的性质连续函数的性质(三个定理三个定理);5.闭区间上连续函数的三个性质、一个定理闭区间上连续函数的三个性质、一个定理.可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x