复变函数与积分变换IV

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1、1一、复数项无穷级数二、复变函数项级数第一节第一节 幂级数幂级数三、小结复数列及其极限复数项级数的概念及其收敛性的判定复数函数项级数的概念幂级数及其收敛性2一、复数列的极限一、复数列的极限 ,0 数相应地都能找到一个正如果任意给定称那么时成立在使 ,),(NnNn记作时的极限当为复数列 ,nn.lim nn .收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n ,),2,1(其中为一复数列设nn,nnniba ,为一确定的复数又设iba 3 ),2,1(1的充要条件是收敛于复数列定理nn.lim,limbbaannnn 此定理说明此定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两

2、个实数列的敛散性个实数列的敛散性.4nienn)11()1(因因为为下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(ninen.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所所以以而而0lim,1lim nnnnba解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn ;1)1()2(niznn5)2(解解 nna)1(由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.,)11(收敛收敛所以数列所以数列nienn .1lim nn 且且,极限不存在na6二、复数项二、复数项(无穷无穷)级数的概念级数的概念,),2,1(为为一一复复数数列列设设 nbann

3、n nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和7收敛与发散收敛与发散,收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns,1收收敛敛那那末末级级数数 nn.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不不收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 8:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs

4、 ,1时时由于当由于当 z,)1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z9 )(11收收敛敛的的充充要要条条件件级级数数 nnnnniba .11都收敛都收敛和和 nnnnba定理定理2说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理2)10 )1(1 1是是否否收收敛敛？级级数数 nnin解解;1 11发发散散因因为为 nnnna .1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习11 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项

5、项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:.0lim1发发散散级级数数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn 12:,1 nine级级数数例例如如,0limlim innnne 因因为为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim nn?,0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.,0lim nn 133.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 .,11也也收收敛敛那

6、那末末收收敛敛如如果果 nnnn 定理定理3条件收敛条件收敛.如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.1nn 1nn 定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来，11却不一定收敛。收敛，如果nnnn为不收敛，则称级数而收敛，若111 nnnnnn14证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根据实数项正项级数的比较审敛法根据实数项正项级数的比较审敛法,知知 ,11都都收收敛敛及及 nnnnba .11也都收敛也都收敛及及故故 nnnnba由定理由定理2可得可得.1是收敛的是收敛的 nn 证毕证毕（实数项）（实数项）正项级数

7、正项级数 .,11也收敛那末收敛如果nnnn15说明说明,22nnnnbaba由于.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba所以.1绝对收敛绝对收敛也也 nn，由正项级数的比较审敛法知16都收敛都收敛,故原级数收敛故原级数收敛.但是级数但是级数条件收敛条件收敛,所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的是条件收敛的.解解 因为因为例例2 2(1)(1)级数级数 是否绝对收敛是否绝对收敛?1(1)1 2nnnin 11(1)1,2nnnnn 1(1)nnn (2)(2)级数级数 是否绝对收敛呢是否绝对收敛呢?1(34)6

8、nnni 17 !)8(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni例例3 3,!81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解18为复变函数项级数为复变函数项级数.121()()()()nnnfzf zfzfz )()()()(21zfzfzfzSnn 为该级数前为该级数前n项的项的部分和部分和.设设 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数列上的复变函数列,()nfz称称三、复变函数项级数三、复变函数项级数19 )()()()(21zfzfzfzSnS(z)称为该级数

9、在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 级数级数 收敛收敛,即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 则称级数则称级数 在在 点收敛点收敛,且且 是级数的和是级数的和.1()nnfz 0z0()S z如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛,则称其在则称其在 1()nnfz 区域区域D内收敛内收敛.此时级数的和是此时级数的和是D内的函数内的函数2.2.收敛概念及和函数收敛概念及和函数2020120()()()nnnc zacc zac za 20121,nnnnnc zcc zc zc z 这类函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.或

10、或 的特殊情形的特殊情形0 函数项级数函数项级数(),nncza 三、幂级数三、幂级数21定理定理4 (Abel定理定理)若级数若级数 在在 0nnnc z 10z 处收敛，则当处收敛，则当 时时,级数级数 绝对收敛绝对收敛;0nnnc z 1zz 若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时,级数级数 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 发散发散.2.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性22收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1)级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.(2)级数仅在级数仅在 z=0(即原点处即原点处)收敛，除原点外处收敛，除原点外处处发散处发散.(3)

11、在复平面内既存在使级数发散的点在复平面内既存在使级数发散的点,也存在也存在使级数收敛的点。使级数收敛的点。由由 ,幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:0nnnc z 23xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.1 1.设设 时时,级数收敛级数收敛;时时,级数发散级数发散.如图如图:z z 24 幂级数幂级数00()nnnczz 的收敛范围是的收敛范围是因此，因此，事实上事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如

12、何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形,分别分别,0,.R规定为规定为论比较复杂论比较复杂,没有一般的结论没有一般的结论,要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.25收敛半径的求法收敛半径的求法1lim,nnncc 设级数设级数0.nnnc z (比值法比值法)如果如果则收敛半径则收敛半径 .1 Rlim,nnnc (根值法根值法)如果如果则收敛半径则收敛半径 .1 R;R 当当 时时,收敛半径收敛半径 0 0;R 当当 时时,收敛半径收敛半径 26解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz

13、级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.绝对收敛绝对收敛,且有且有在在 内内,级数级数1z 0nnz例例4 4 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径所以收敛半径1,R 11.1nnzz 27例例5求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径：21nnzn 1(2)nnzn (1)(2)28由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质：可得出下面几个性质：(1)设级数设级数 和和 的收敛半径分别的收敛半径分别0nnna z 0nnnb z 为为 和和 1R2,R则在则在

14、 内内,12min(,)zRR R 000(),nnnnnnnnnnab za zb z 0110000.nnnnnnnnnnna zb za ba ba bz 3.3.幂级数的性质幂级数的性质29(2)幂级数幂级数 的和函数的和函数0nnnc z 在收敛圆在收敛圆()s z内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。求导和逐项积分。30(3)设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为 r.0()nnnf zc z 如果在如果在 内内,函数函数 解析解析,并且并且Rz )(zg,)(rzg 则当则当 时时,Rz 0()().nnnf g zc

15、 g z 31例例6 6 求求 的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.11)12(nnnz112111(21).121(12)(1)2nnnzzzzzz 解解 因为因为 所以所以1121limlim2,21nnnnnncc 1.2R 111112222.12nnnnnnzzz 当当 时时,12z 又因为又因为 从而从而,111 1,1nnzzz 32例例7 7 把函数把函数 表示成形如表示成形如bz 1 0)(nnnazc的幂级数的幂级数,其中其中a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数.bz1)()(1abaz 11.1zababa 代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑

16、出凑出)(11zg 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:bz 133211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 当当 即即 时时,1,zaba zaRba所以所以34三、小结三、小结1.1.复数项无穷级数复数项无穷级数 ),2,1(收敛于复数列nn.lim,limbbaannnn )(11收敛复数项级数nnnnniba .11都收敛和nnnnba35非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.复级数的绝对收敛与条件收敛如果 收敛,那末称级数 为绝对收敛绝对收敛.1nn 1nn.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛36方法方法1 1:比值法比值法方法方法2:根值法根值法收敛半径的求法收敛半径的求法,0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R .,0;0,;0,1 R即即,0lim nnnc如如果果那末收敛半径那末收敛半径.1 R2.2.幂级数幂级数37幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质