函数的连续性与函数的间断点

《函数的连续性与函数的间断点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的连续性与函数的间断点（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、蚌埠学院 高等数学2023-3-111一、问题的提出一、问题的提出二、函数的连续性二、函数的连续性三、函数的间断点三、函数的间断点四、小结与思考判断题四、小结与思考判断题 第一章 蚌埠学院 高等数学2023-3-112一、问题的提出一、问题的提出 0T(时间）时间）温度温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。蚌埠学院 高等数学2023-3-113二、函数的连续性二、函数的连续性 1.函数的增量设设函函数数在在内内有有定定义义,称称为为自自变变量量在在点点的的增增量量.0000f(x)

2、U(x,)xU(x,)xxx,x.的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xf(x),f(xf(x)y0 xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx00 xx y y)(xfy 蚌埠学院 高等数学2023-3-1142、函数在一点连续的定义、函数在一点连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是00()().yf xf x 就是蚌埠学院 高等数学2023-3-115:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfx

3、fxx 蚌埠学院 高等数学2023-3-116例例1 1.0,0,0,0,1sin)(2处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证,01sinlim20 xxx,0)0(f又又由定义知，.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx”定定义义“.)()(,0,000 xfxfxx时时，恒恒有有当当蚌埠学院 高等数学2023-3-1173、单侧连续性、单侧连续性;)(),()0(,()(0000处左连续在点则称且内有定义在若xxfxfxfxaxf.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,

4、),)(0000处右连续在点则称且内有定义在若xxfxfxfbxxf左连续右连续结论蚌埠学院 高等数学2023-3-118例例2.0,0,2,0,2)(22连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解)2(lim)(lim200 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim200 xxfxx2),0(f 右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf蚌埠学院 高等数学2023-3-1194 4、区间上的连续函数、区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。(,)(),(),.a bxaxbf xa bf

5、 xC a b()如如果果在在开开区区间间内内连连续续,且且在在左左端端点点处处右右连连续续,在在右右端端点点处处左左连连续续,则则称称函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续,记记f x注:连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。有理整函数在区间(-,+)内是连续的。有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。蚌埠学院 高等数学2023-3-1110例例3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任任取取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin20 xxy

6、故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy(夹逼准则）夹逼准则）蚌埠学院 高等数学2023-3-1111在在三、函数的间断点三、函数的间断点(1)函数)(xf0 x(2)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在,但)()(lim00 xfxfxx 不连续:0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点0 x之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;蚌埠学院 高等数学2023-3-1112间断点分类:第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存

7、在,)()(00 xfxf若称0 x,)()(00 xfxf若称0 x第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为为振荡间断点.蚌埠学院 高等数学2023-3-1113xytan)1(2x为其无穷间断点.0 x为其振荡间断点.xy1sin)2(1x为可去间断点.11)3(2xxyxoy1例例4.xytan2xyoxyxy1sin0蚌埠学院 高等数学2023-3-11141)1(1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点.1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5)0,10,0

8、0,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点.蚌埠学院 高等数学2023-3-1115例例5.01,2,()11,1,1,1.xxf xxxxx讨论函数在处的连续性oxy112xy 1xy2 解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 为函数的可去间断点注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.蚌埠学院 高等数学2023-3-1116例例6.0,0,0,sin)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxbxxxfb解0sinlim)(lim00 xxfxxbxbxfxx )(lim

9、)(lim00,)0(bf),()()(fff必须必须,0时时故故当当且且仅仅当当 b.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf,0 b,)(处连续处连续在在要使要使 xxf蚌埠学院 高等数学2023-3-1117内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(.2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(.1xf0 x在点连续的等价形式蚌埠学院 高等数学2023-3-1118思考与练习思考与练习1.讨论函数231)(22x

10、xxxfx=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa03.P64 题 2,P65 题 5)(xf为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,蚌埠学院 高等数学2023-3-1119P65 题5 提示:xxxfsin1sin1)()1()()2(xf有理点x,1无理点x,1)()3(xf有理点x,x无理点x,x 作业作业 P64 3;4 xyo11xyo仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且且都是第二类间断点都是第二类间断点.