4高一数学函数的单调性和奇偶性教案!

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1、4高一数学函数的单调性和奇偶性教案! 函数的单调性和奇偶性 一、目标认知 学习目标： 1.理解函数的单调性、奇偶性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 重点、难点： 1.对于函数单调性的理解； 2.函数性质的应用. 二、知识要点梳理 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数； 如果对于M内的任意两个自变量的值x1

2、、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数. 如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释： 1“任意”和“都”； 2单调区间与定义域的关系-局部性质； 3单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； 4不能随意合并两个单调区间. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义. 2.函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意

3、一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： 1奇偶性是整体性质； 2x在定义域中，那么-x在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； 3f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； 4由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； 5若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0； 6 ， . 三、规律方法指导 1.证明函数单调性的步骤： (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形.作差变形或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论

4、. 2.函数单调性的判断方法： (1)定义法； (2)图象法； (3)对于复合函数在区间 同，则为 减函数. 为增函数；若与单调性相反，则或者上是单调函数；若与单调性相，若在区间上是单调函数，则3.常见结论: (1)若 (2)若是增函数，则和为减函数；若和是减函数，则为增函数； 均为增函数，则在的公共定义域上为增（或减) 函数； (3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. (4)若奇函数数，且有最小值 在上是增函数，且有最大值，则在是增函；若偶函数在是减函数，则在是增函数. 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明：

5、在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)， 令x=x2-x10 则 x10，x20， 上式0，y=f(x2)-f(x1)0 上递减. 总结升华： 1证明函数单调性要求使用定义； 2如何比较两个量的大小？(作差) 3如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则 0x1x21 x1-x20，0x1x21 0x1x21 故 x1x2时有f(x1)f(x2) ，即f(x1)-f(x2)0 上是减函数. 上是增函数；在今后的学习中经常 总

6、结升华：可以用同样的方法证明此函数在会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 f(x)在增. 上递减，在上递减，在上递 (2) 图象为 f(x)在 举一反三： 求下列函数的单调区间： 上递增. (1)y=|x+1|； (2) (3). 解：(1) 函数的减区间为画出函数图象， ，函数的增区间为(-1，+)； (2)定义域为， 其中u=2x-1为增函数，在(-，0)与(0，+)为减函数， 则上为减函数； (3)定义域为(-，0)(0，+)，单

7、调增区间为：(-，0)，单调减区间为(0，+). 总结升华： 1数形结合利用图象判断函数单调区间； 2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. 3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解： 又f(x)在(0，+)上是减函数，则 4. 求下列函数值域： . (1)； 1)x5，10； 2)

8、x(-3，-2)(-2，1)； (2)y=x2-2x+3； 1)x-1，1； 2)x-2，2. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)位得到，如图 2个单位，再上移2个单 1)f(x)在5，10上单增，； 2) (2)画出草图 ； 1)yf(1)，f(-1)即2，6； 2) 举一反三： . 已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x1，3时，求函数f(x)的值域. 思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.域. ，第二问即是利用单调性求函数值 解：(1) 上单调递增，在上单调递增； (2)故函

9、数f(x)在1，3上单调递增 x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值 x1，3时f(x)的值域为 . 5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需； (2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4 f(2)=-2a+11-4+11=7 . 类型四、判断函数的奇偶性 6. 判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5) (6) (

10、7) 思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解：(1)f(x)的定义域为 (2)x-10，f(x)定义域，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； 不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数； (5) ，f(x)为奇函数； (6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数； (7) 举一反三：

11、 判断下列函数的奇偶性： (1)，f(x)为奇函数. ； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1； (4). 思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断. 解：(1)； (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x)为奇函数； (3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) f(x)为非奇非偶函数； (4)任取x0则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x0，则-x0 f(-x)=-(-x)2+2(-

12、x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) xR时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数. 举一反三： 已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数. 证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x) f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数. 类型五、函数奇偶性的应用(求值，

13、求解析式，与单调性结合) 7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2-x，求当x0时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图

14、象关于原点对称， x0时，-y=(-x)2-(-x) 即y=-x2-x又f(0)=0，如图 9. 设定义在-3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a-1)f(a)时，求a的取值范围. 解：f(a-1)f(a) f(|a-1|)f(|a|) 而|a-1|，|a|0，3 . 类型六、综合问题 10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象重合， 设ab0，给出下列不等式，其中成立的是_. f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)； f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).

15、答案：. (1)11. 求下列函数的值域： (2) (3)的图象与f(x) 思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围. 解：(1)； (2)经观察知，； (3)令. 12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围； (2)当x-1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 解：(1)f(x)=(x-a)2-1 a0或a2 (2)1当a-1时，如图1

16、，g(a)=f(-1)=a2+2a 2当-1a1时，如图2，g(a)=f(a)=-1 3当a1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a ，如图 13. 已知函数f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)3. 解：令x=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令x=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2)3可转化为：fx(x-2)f(8) . 14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明：任取0x1x2， 0x1x2，x1

17、-x20，x1x20 (1)当时 0x1x21，x1x2-10 f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2) (2)当x1，x2(1，+)时， 上是减函数. 上是增函数. 难点：x1x2-1的符号的确定，如何分段. 15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当xa时， 1 且 2 上单调递增， 上的最小值为f(a)=a2+1. (2)当xa时， 1 上单调递减， 上的最小值为f(a)=a2+1 2

18、上的最小值为 综上：. 学习成果测评 基础达标 一、选择题 1下面说法正确的选项( ) A函数的单调区间就是函数的定义域 B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2在区间上为增函数的是( ) A C B D 3已知函数 A. B. 4若偶函数在 C. D. 为偶函数，则的值是( ) 上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A B C 5如果奇函数上是( ) A增函数且最小值是 C减函数且最大值是 6设是定义在在区间 D 上是增函数且最大值为，那么在区间 B增函数且最大值是 D减函数且最小值是上的一个函数，

19、则函数，在上一定是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数. 7下列函数中，在区间上是增函数的是( ) A B C D 8函数f(x)是定义在-6，6上的偶函数，且在-6，0上是减函数，则( ) A. f(3)+f(4)0 B. f(-3)-f(2)0 C. f(-2)+f(-5)0 D. f(4)-f(-1)0 二、填空题 1设奇函数的定义域为，若当的解是_. 时， 的图象 如右图，则不等式 2函数 3已知 4若函数_. 5函数_. 三、解答题 ，则函数的值域是_. 的值域是_. 是偶函数，则的递减区间是在R上为奇函数，且，则当， 1判断一次函数 2已知函数(2)在

20、定义域上 反比例函数，二次函数的单调性. 的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数； 单调递减；(3) 3利用函数的单调性求函数 4已知函数求的取值范围. 的值域； . 当时，求函数的最大值和最小值； 在区间上是单调函数. 求实数的取值范围，使 能力提升 一、选择题 1下列判断正确的是( ) A函数数 C函数函数 2若函数 A C 3函数 A C 4已知函数围是( ) A B是奇函数 B函数是偶函是非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶在上是单调函数，则的取值范围是( ) B D的值域为( ) B D在区间上是减函数，则实数的取值范 C D 5下列四个命题：(1)函数增函数；(2)若 函数

21、的递增区间 在时是增函数，也是增函数，所以是与轴没有交点，则且；(3) 为；(4) 和表示相等函数. 其中正确命题的个数是( ) A B C D 6定义在R上的偶函数则( ) A C 二、填空题 1函数 2已知定义在_. 上的奇函数，当时，那么时，的单调递减区间是_. B D，满足，且在区间上为递增， 3若函数 4奇函数 则 5若函数三、解答题 1判断下列函数的奇偶性 在区间在上是奇函数，则的解析式为_. 上是增函数，在区间_. 上的最大值为8，最小值为-1， 在上是减函数，则的取值范围为_. (1) 2已知函数且当时， (2) 的定义域为，且对任意是，都有上的减函数；(2)函数，恒成立，证明

22、：(1)函数是奇函数. 3设函数与的定义域是且，是偶函数， 是奇函数，且 4设为实数，函数 (1)讨论 ，求和的解析式. ，的最小值. . 的奇偶性；(2)求综合探究 1已知函数，的奇偶性依次 为( ) A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数 C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数 2若是偶函数，其定义域为，且在，则上是减函数，则的 大小关系是( ) A B C D 3已知_. ，那么 4若 在区间上是增函数，则的取值范围是_. 5已知函数果对于 6当 7已知 的定义域是，且满足，(1)求；(2)解不等式，如. ，都有时，求函数的最小值. 在区间内有一最大值，求的值. 8已知函数的值. 的最大值不大于

23、，又当，求答案与解析 基础达标 一、选择题 1.C. 2.B. 3.B. 奇次项系数为 4.D. 5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性 6.A. 7.A. 8.D. 二、填空题 1. 2. 3.值最大 4. . 在上递减，在上递减，在上递减 . 奇函数关于原点对称，补足左边的图象 是的增函数，当时，. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数 5. 三、解答题 1解：当. ，在是增函数，当，在是减函数； 当，在是减函数， 当，在是增函数； 当，在是减函数，在是增函数， 当 ，在是增函数，在是减函数. 2解： ，则， 3解：，显然是的增函数， 4解：对称轴 (

24、2)对称轴 或当. 或时，在上单调 能力提升 一、选择题 1.C. 选项A中的 而而有意义，非关于原点对称，选项B中的 有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数； 2.C. 对称轴，则，或，得，或 3.B. 4.A. 对称轴，是的减函数，当 5.A. (1)反例；(2)不一定和，开口向下也可；(3)画出图象 ；(4)对应法则不同 可知，递增区间有 6.A. 二、填空题 1 2. . 设. 画出图象 ，则， 3. . 即 4. . 在区间上也为递增函数，即 5. 三、解答题 . . 1解：(1)定义域为，则， (2) 2证明：(1)设 函数 (2)由 即 3解：是偶函数， ，则且为奇函数

25、. 既是奇函数又是偶函数. ，而 是上的减函数; 得，而是奇函数. ，即函数是奇函数，且 而，得， 即， 4解：(1)当 当时，时，. 为偶函数， 为非奇非偶函数； (2)当时， 当时， 当时，不存在； 当时， 当时， 当 时，. 综合探究 1.D. 画出 则 当 时， ，则的图象可观察到它关于原点对称或当， 时， 2.C. ， 3. . ， 4. 设则，而 ，则 5.解：(1)令，则 (2) ， 则 6.解：对称轴. 当，即时，是的递增区间，； 当，即； 时，是的递减区间， 当 ，即时，. 7解：对称轴 则，当即时，得是或的递减区间， ，而，即； 当即， 时，是的递增区间，则 得或，而，即不存在；当即时， 则 ，即；或 . 8解：， 对称轴，当时，是的递减区间，而， 即与矛盾，即不存在； 当时，对称轴，而，且 即 . ，而，即