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1、正弦定理的三种证明ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a,b,c表示. 正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 asinA=bsinB=csinCA 证明：按照三角形的种类，分三种情形证明之. (1) 在RtDABC中，如图1-1 sinA=acbc，sinB=a=b=c asinA=bsinBCDb=asinA=csinC因此，b c sinAsinB有因为sinC=1，所以C CDaa C B 在锐角ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有sinA=因此，bsinA=asinB，即同理可证：asinA=csinCasinA，sinB=b， a sinB=b=cs
2、inCb . A c C ，故sinB在钝角ABC中，如图1-3 作CDAB，交AB的延长线于点D，则 sinA=CDbCDabsinBB D ，sinABC=sinCBD=asinA=因此，bsinA=asinB，即同理可证：b=cb a sinBsinCabc=故 sinAsinBsinCA 综上所述，在任意的三角形中，正弦定理总是成立. c B D 证明：如图所示，圆O是ABC的外接圆，半径为R 连接AO并延长，交圆O于点D，连接CD， 易知，ACD=90，B=D sinD=ACAD=b2RoA ，即sinB=b2R因此bsinB=2R O B C 同理，延长BO,CO， 可证故 asi
3、nAasinA=csinCbsinB=2R csinC=2R D rruuurruuurruuur证明：过点B作单位向量jBC，那么就有 jgAC=jgAB+jgBC oobcos(90+C)=ccos(90+B)+0-bsinC=-csinB A bsinB=acsinC=b， b同理有故asinA=sinB=。 crj c b sinAsinBsinCB a C 根据几何图形确定向量夹角的方法： 如果两个向量所在之间直线相交，或通过平移一个向量而相交，那么 向量夹角为锐角，很容易判断； 向量夹角为钝角时，可以先判断锐角，再取补角 例如： ruuur确定向量j与向量AB的夹角时，由于是钝角， ruuuroo先确定向量j与向量BA的夹角为90-B，再求补角，即为90+B uuurrroACj确定向量与向量的夹角时，先平移j，同上可得，夹角为90+C
正弦定理的三种证明
