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1、一、填空题（一、填空题（30分）分）kjixyzuzyxyxzbakjibjiadyxyxdxyxydzyxzxxyyxyxyxzxyx221,2,161121411,1,125232,44)ln()ln(,ln30)tan(lim20|),(ln122y)0,0(),(2222 ）处处的的梯梯度度为为在在点点（、函函数数）的的法法线线方方程程为为在在点点（、曲曲面面，则则、已已知知向向量量则则、函函数数、的的定定义义域域为为、函函数数 213)(00-,1-,210)1ln(90)1(35)1(2013521-,0,18)1(217111102 sxsxfxxxxfxfxnxzyxzyxed
2、xedynnyx，则则为为的的傅傅里里叶叶级级数数的的和和函函数数设设，上上的的表表达达式式，它它在在（的的函函数数、周周期期为为的的和和函函数数为为、级级数数平平行行的的平平面面方方程程）且且与与平平面面、过过点点（、二、计算题（二、计算题（56分）分）1224611,2,62,1,00,3,132232,4,1p1 zyxszyyx所所以以直直线线方方程程：解解：平平行行的的直直线线方方程程和和）且且与与平平面面（、求求过过点点2,22ln2-,ln2222 zzFFyzzxzFFxzzzyxFyzxzzzyxzyzx解解：令令求求、设设所围成的体积最小所围成的体积最小面面该点的切平面与三
3、坐标该点的切平面与三坐标的椭球面上求一点，使的椭球面上求一点，使在第一卦限在第一卦限、已知椭球面方程、已知椭球面方程,13222222 czbyax 所围成的体积最小所围成的体积最小）的切平面与三坐标面）的切平面与三坐标面即椭球面上点（即椭球面上点（解得解得及及令令化简：化简：（的切平面方程的切平面方程解：椭球面上点（解：椭球面上点（3,3,33,3,310,0,0)1(11)(),222222222222202020020020020000cbaczbyaxczbyaxFFFczbyaxxyzFzczybyxaxzzczyybyxxaxzyxzyx 221202222241,42222erd
4、reddxdyeyxyxDdxdyerDyxDyx 解：解：围成的区域围成的区域及及由由其中其中、计算、计算)1(2)(01,)(51010222222222 ezdzedxdydzedvedveyxydvxdvzyxzdveyxzzyxzzzz 得得解：由对称性及奇偶性解：由对称性及奇偶性围成的区域围成的区域及及由由其中其中、计算、计算 12sin)cos2(sin210,000,22,sin)cos2(640222222222 edxedyxexdxyeyxexQypAxyxLdyxexdxyeyxxLxxxLx，曲线积分与路径无关，曲线积分与路径无关解：解：）的上半圆周）的上半圆周（）到
5、）到（上从点上从点由由其中其中、计算、计算 表面内侧表面内侧为上半球面为上半球面其中其中、计算、计算1,272222 zyxdxdyyzdzdxzxyxzdydz 492424)1(2102)(-2)(-2021020-10112222222 dxdyyzdzdxzxyxzdydzdrrrdzdzdxdyzdvydvxdvdvyxzdxdydvyxzdxdyyzdzdxzxyxzdydzzyxyxyx，而而则则的上侧的上侧为平面为平面解：设解：设 )31()1(2141)1(2)1()1(21812)1(112)1(1181)1(21)1(21(41)1(1)3(1(41)1)(3(14113
6、218022002 xxxxxxxxxxxxxfxxxxfnnnnnnnnnn解：解：的幂级数的幂级数展开展开、将函数、将函数 收敛收敛综上所述，原级数条件综上所述，原级数条件发散发散发散，所以发散，所以调和级数调和级数而而所以原级数收敛所以原级数收敛单调减，又单调减，又）解：这是交错级数，（解：这是交错级数，（绝对收敛还是条件收敛绝对收敛还是条件收敛分）判别级数分）判别级数三、（三、（111121ln1)3(,1ln,lnln1,0lnlimln)(,0ln1lnln17nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnexxxxxnn yxuyxujyxxiyxxyyxAx,2,0724224的的梯梯度度，并并求求为为二二元元函函数数上上的的向向量量，使使在在右右半半平平面面确确定定常常数数分分四四、carctan,arctan2,1-,4242),(,2),2,d220242),0,112421241245241242242422424224 xyyxuxydyyxxdyyxxdxyxxyyxuxQyPyxxyxxxQyxxyyxxyyPyxxyxQyxxyyxPdyyxxdxyxxyyxuyyx即即从从而而解解得得条条件件，有有由由曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关（使使，解解：要要确确定定常常数数）（）（
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