2015高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第1课时教学设计新人教A版必修1

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1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值整体设计教材分析研究函数的单调性和最值是函数性质一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这

2、样就将以上两种方法统一起来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（

3、小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.课时安排：2课时第1课时 函数的单调性【教学目标】1知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念，通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数

4、单调性的步骤。 （2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。（3）理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性2过程与方法：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性3情感、态度与价值观：通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，同时对学生进行辩证唯物主义的教育培养学生分析综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象点评：教

5、学目标是一堂课的灵魂和统帅，明确教学目标是教学设计的第一个环节本节课设定的教学目标中，知识与技能目标定位比较恰当，但从后面实际的教学设计看，教师对一些定位教学目标的关键词，如“理解”、“简单”等并没有很好的理解，也没有很好地贯彻，制定教学目标这个过程成了无用的文字摆设同时，过程与方法目标，情感、态度与价值观目标显得空洞无物，存在套用新课程理念，把三维目标当作标签来贴的问题【重点难点】1教学重点：掌握函数的单调性的概念及其几何意义；2教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数具体函数的单调性点评：本节课的教学重点、难点的设定不够准确，缺乏对教学要求的细致分析，缺乏对学生学情的准确把握，比较随意

6、我觉得本节课的第一个教学重点是理解函数单调性的概念，第二个教学重点是运用函数单调性的定义进行函数单调性严格的推理论证并完成规范的书面表达函数单调性的定义是一个符号化特征很强的数学概念，这样的概念高一学生是第一次接触，如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函数单调性概念的符号化过程是本节课的第一个难点同时，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点【教学过程】（一） 情境引入，导入新课引例 右图是某市一天24小时内的气温变化图气温是关于时间t的函数，记为f(t)，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高

7、的或下降的？让学生回答气温的变化情况（只要初步描述）进一步引导：那么我们用怎样的数学语言来刻画上述时间段内“随着时间的增大气温逐渐升高或减小”这一特征呢？教师通过提示、点拨，并引出本节课题. 函数的单调性(一) 提出问题学生活动、建构数学问题1：观察学生绘制的函数的图象（如图1、2、3，实际教学中可根据学生回答定），,它们的图象有什么变化规律? 指出图象变化的趋势。这反映了相应的函数值的哪些变化规律?观察得到:函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.讨论结果：随着x值的增大，函数

8、的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势2单调函数的“直观定义”（1）结合学生通过图1与图2所获得的直观认识，给出单调函数的“直观定义”：在区间上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间上是增函数，区间称为函数的增区间；在区间上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间上是减函数，区间称为函数的减区间（2）与学生一起完成教材上的例1，并让学生独立完成教材上的练习第1题3结合图1与图2，让学生寻找函数yx2与函数y=x3+x的单调区间 学生应该能得出函数yx2的单调区间，但要得到函数y=x3+x的单

9、调区间是困难的 由此指出研究函数的单调性，仅凭“直观性定义”是不够的 以上的过程，学生对函数的单调性有了初步认识，又看到了进一步研究的必要性3让学生获得单调函数的“描述性定义”（1）让学生在函数yx2的图象（图1）上任找一点P(x,y)的坐标有什么意义？函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.（2）如何理解函数图象是上升的？按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自

10、变量的增大而增大. （3）由学生总结规律后，导出单调函数的“描述性定义”：在区间I上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间I上是增函数；在区间I上，若随着自变量x增大，函数值y减少，则称函数在区间I上是减函数因此函数yx2时，当x0时，函数值y随x的增大而增大，在（0，+）是增函数。以上的过程，可让学生自己获得“自变量x增大，则函数值y也增大（减少）”这一数量变化规律，从而完成单调函数的概念用图形语言表述到用文字语言表述的“描述性定义”的过渡，但离单调函数的定义还有距离，主要是连续的数量变化关系怎样转化为任意两量的大小定性关系 师生总结：函数图象呈上升趋势等价于函数值y随x的增大

11、而增大。函数图象呈下降趋势函数值y随x的增大而减小函数的这种性质称为函数的单调性问题继续让学生寻找函数y=x3+x的单调区间，任有困难，由此指出研究函数的单调性，仅凭“描述性性定义”还是不够的 引导学生继续寻找新的途径。4：如何从解析式的角度说明在上为增函数？学生思考回答： (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为2232，所以在上为增函数(2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数但是取遍所有值验证才能说明为增函数，学生意识到这种方法的局限性。(3) 任取,因为,即，所以在上为增函数对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量

12、不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量自变量大的函数值也大4使学生从单调函数的“描述性定义”自然过渡到教材上的单调函数的定义问题3：将上述活动中所获得的认识如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？第1步（将两个“增大”符号化）：当x1x2， y1y2， 第2步（再将“随”符号化）： 当x1x2， f(x1) f(x2)第3步（再将隐含语言“任意”符号化）对任意的x1，x2，能否通过个别数值来说明单调性？例如函数yx2（xR），取x-1，2，3，4，相应地y1，4，9，16，能不能说函数值y 随x的增大而增大？对区间I上有限个或无限个自变量满足x1x2，且f(x1)f

13、(x2)，都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质必须强调x1，x2的任意性，才能准确表述单调递增的特征对任意x1x2，都有f(x1)f(x2)第4步（再将隐含语言“区间”符号化）x1，x2在“任意”的同时，还有“不任意”，因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中x1，x2I对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2，都有 f(x1) f(x2)(二) 形成数学概念定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间上是单调增函数（increasing function），称为y=f(x)的单调增区间（

14、increasing interval）问题4：如何定义单调减函数呢？定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间上是单调减函数（decreasing function），称为的单调减区间（decreasing interval）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间第二阶段：从不同角度深入理解函数单调性的概念判断题：若函数若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数因为函数在区间上都是减函数，所以在

15、上是减函数.通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?3构造反例，让学生加深对概念的理解（1）注意定义中的“区间I”不能改成定义域上的某个数集反例：函数y=x2，x1，2，3不具备函数的单调性，单调性是对定义域内某个区间而言的（2）如何说明一个函数不具有单调性？实际上只要否定“任意”即

16、可要说明在区间上不是单调增函数，只要在区间内找到两个值，当时，有即可（3）一个函数在定义域的若干个区间上具有相同的单调性，能否说在定义域上具有相同的单调性？5引导学生讨论如何利用单调函数的定义，证明函数在区间0，+上是增函数，并由此总结证明函数是单调函数的一般步骤：（1）在给定的区间内任取两个自变量的值x1，x2，时规定x1x2；（2）判定f（x1）f（x2）的符号在给定的区间内是否不变，并由此得出f（x1）与f（x2）的大小关系；（3）得出f（x）在给定的区间上为单调函数6让学生利用单调函数的定义证明函数yx2在区间（，0）上是减函数7教师示范完成例2，学生独立完成教材上练习第3题，并让学生

17、相互评改 稍后，教师选择学生练习中较典型的练习，通过投影对学生公开讲评第三阶段：学会用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性(三) 数学运用例2 判断函数y=x3+x的单调性，并证明解：1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取, 设元 求差 变形, 断号即 定论2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再归纳结论.定义法的步骤可以总结为：设元、

18、作差、变形、断号、定论练习：证明函数在上是增函数问题：除了用定义外，如果证得对任意的，且有，能断定函数在区间上是增函数吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数通过本例，教师要向学生说明：1 判断函数单调性的主要方法：观察法：画出函数图象来观察定义法：严格按照定义进行验证分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合设计意图：单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事变式训练课

19、本P32练习1、3.归纳小结，提高认识：学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结1.本节课学习了单调函数的概念，要求同学们掌握单调函数的定义，能利用定义判定函数的单调性，并掌握以下关系：f（x）在区间I上是增函数 f（x）的图象在区间I上是上升的在区间I自变量大函数值也大；形成增函数的的定义f（x）在区间I上是减函数 f（x）的图象在区间I上是下降的在区间I自变量大函数值小形成增函数的的定义2 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性3. 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论4. 数学思想方法：数形结合11课后作业：习题23 第2题、第4题、第6（2）题；课后探究：研究函数的单调性 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!