完整版热力学统计物理试题

《完整版热力学统计物理试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版热力学统计物理试题（26页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、简述题1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在牢固平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即F 0。2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在牢固平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即G 0。3. 写出系统处在平衡态的熵判据。一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在牢固平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即S 04. 熵的统计讲解。由波耳兹曼关系Skgln可知，系统熵的大小反响出系统在该宏观状态下所拥有的可

2、能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反响出在该宏观平衡态下系统的 凌乱度的大小。故，熵是系统内部凌乱度的量度。5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献不考虑能级的精巧结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为11 eV，相应的特点45温度为1010 K。在常温或低温下，电子经过热运动获得这样大的能量而跃迁到激发态的概 率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略由于双原子分子的振动特点温度0 10 K，在常温或低温下kT k 0v，振子经过v热运动获得能量h k 0v从而跃迁到激发态的概率极小，

3、因此对热容量的贡献可以忽 略。7. 能量均分定理。对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量 的表达式中的每一1个独立平方项的平均值为-kT 。2 。8等概率原理。对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。9.概率密度(q, p,t )的物理意义、代表点密度D ( q, p,t )的物理意义及两者的关系。(q, p,t ):在t时辰，系统的微观运动状态代表点出现在相点(q, p)邻域，单位相空间体积内的概率。D( q, p, t ):在t时辰，在相点(q, P)邻域单位相空间体积内，系统的微观运动状态代表点数。D( q, p,t )它们的关系是： (q，

4、p，t )。其中，n是系综中系统总数N填空题11a 1 e；玻耳兹曼11 时，玻色分布和费米分布111.玻色分布表为 ai e费米分布表为1分布表为d e 1 。当满足条件 e均过渡到玻耳兹曼分布。2玻色系统和费米系统粒子配分函数用N表示，系统平均粒子数为InlnU 内能表为 1 ln，广义力表为ylnlnS k (ln )熵表为3. 平均系的平衡条件是 T T0 且_Z ；平衡牢固性条件是卫 0CV 0 且 V T。4. 平均开系的克劳修斯方程组包含以下四个微分方程：dU TdS pdV dndH TdS Vdp dndG SdT Vdp dndF SdT pdV dn5. 对于含N个分子的

5、双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量7Cv - Nk无贡献；温度大大于振动特点温度时, 2；温度小小于转动特点温度时,3cv Nk2。温度大大于转动特点温度而小小于动特点温度时,5CVNk26准静态过程是指 过程进行中的每一其中间态均可视为平衡态的过程；无摩擦准静态过程的特点是外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。7绝热过程是指，系统状态的改变， 完好部是机械或电磁作用的结果，而没有碰到其他任何影也 的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功与详尽的过程 没关，仅由 初终两态决定。8. 费米分布是指，处在 平衡态、孤立 的费米系统，粒子在 能级上 的 最概然 分

6、 布。9. 弱简并理想玻色气体分子间存在统计吸引作用；弱简并理想费米气体分子间存在统计排斥作用。10玻色分布是指，处在平衡态、孤立的玻色系统，粒子在能级上的最概然分 布。11. 对于一单元复相系，未达到热平衡时，热量从高温相 传至 低温相；未达到相变平衡时，物质从高化学势相向低化学势相作宏观迁移。12. 微正则系综是大量的结构完好相同的且处于平衡态的故土系统的会集；微正则分布是指 在微正则系综中，系统按可能的微观态的分布；微正则分布是平衡态统计物理学的基本假设，它与等概率原理 等价。In ZU N -13. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用Z表示，内能统计表达式为，N In Z1广义力统计表达式为，

7、熵的统计表达式为S Nk ( in Z 1ln Z )1丿F，自由能的统计表达式为NkT ln Z1 。 al 1 ! lL-14.与分布J相应的,玻色系统微观状态数为l al !l 1 !；费米系统的微观状态数l f ! S !；玻耳兹曼系统微观状态数为ai !。当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间的关系为Bz F D N ! ME15.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为P_T16.设一多元复相系有个相，每相有个k组元,组元之间不起化学反响。此系统平P衡时必同时满足条件:(i 1,2，L k )选择题1.系综理论所涉及三种系综有：微正则系综、正则系综、巨正则系

8、综，它们分别适合的系统是(A) 孤立系、闭系、开系(B) 闭系、孤立系、开系(C )孤立系、开系、闭系(D)开系、孤立系、闭系2. 封闭系统指（A）与外界无物质和能量交换的系统（B）能量守衡的系统（C） 与外界无物质交换但可能有能量交换的系统（D）孤立的系统3. 有关系统与系综关系的表述是正确的选项是（A）系综是大量的结构相同，外界条件相同，且互相独立的系统的会集。（B）系综是大量的结构不相同，外界条件相同，且互相独立的系统的会集。（C ）系综是大量的结构相同，外界条件不相同，且互相独立的系统的会集。（D）系综是大量的结构不相同，外界也条件不相同的系统的会集。4. 气体的非简并条件是（A） 气

9、体分子平均动能远远大于kT（B）气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长（C ）气体分子数密度远远小于1（D）气体分子间平均距离极大于它的尺度5.由热力学基本方程dGSdT Vdp可得麦克斯韦关系P(A)-TVT(C)VSSVTPSV(D)TPSVTpV$pS6. 孤立系统指（A）与外界有能量交换但无物质交换的系统（B）与外界既无物质交换也无能量交换的系统（C ）能量守恒的系统（D）温度和体积均保持不变的任意系统7. 吉布斯函数作为特点函数应采用的独立态参量是（A）温度和体积（B）温度和压强（C）熵和体积（D）熵和压强8. 自由能作为特点函数应采用的独立态参量是（A）温度和体积（B

10、）温度和压强（C）熵和体积（D）熵和压强9.以下各式中不正确的选项是HF（A）（B）nnS, PT,VUG（C ）（D）nnP ,VT, P10.当经典极限条件建马上，玻色分布和费米分布均过渡到（A）麦克斯韦分布（B）微正则分布（C ）正则分布（D）玻尔兹曼分布11.以下说法正确的选项是（A）所有与热现象有关的本质宏观物理过程都是不可以逆的。（B）热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。（C ）第一类永动机违犯热力学第二定律。（D）第二类永动机不违犯热力学第二定律。12.由热力学方程dFSdTTP（A）-V SSSVVS（C）TpPTpdV可得麦克斯韦关系（B）TVpSSp（D）pST v

11、VT13.已知粒子能量表达式为1（Px22mpy2 pz2 ） ax 2 bx其中a、b为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为3（A）_ kT（B）2kT（ c）2kT 也24a5（D） _ kT214.拥有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足（A）微正则分布 （B）正则分布 （C）巨正则分布（D）以上都不对15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1表示的内能是 ln Zln Z（A） UZ1（B） UN（C） U1 ln Z（D）UN ln Zr16.不考虑粒子自旋,在长度L内，动量处在PxPx dpx范围的一维自由粒子的可能的量L(B)_ dPxh2L(C) dph2L(D) d

12、pxh17.平均开系的热力学基本方程是(A) dFSdT pdV dn(b) dG SdT Vdp dn(C) dU TdS pdV dn(d) dH TdS Vdp dn推导与证明PV1.证明：CpCVTT VTPSS证：C P C vTT PTT VS(T , p)S(T,V (T , p)SSSVTpTVV TTp（2）代入（1)SVCPCvT VVTpSP代入将麦氏关系：VTTVPVCPCvTT VTp3 )得(1)(2)32.证明，OK时电子气体中电子的平均速率为PF （ PF为费米动量）。4m证明：1(0 )0K时，f0(0 )8在单位体积内，动量在ppdp范围内的电子的量子态数为

13、：3 p lph在此范围内的电子数为-82dNpf h3 p dp1 p N8h3 p dNj_8h3pfp3dp0PF3PF3. 一容积为V的巨大容器器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通其他部分与外界绝热开始时，内部空气的温度、压强与外界相同为To , Po。假设空气可视为理想气体，且定压证明，所需热量为in-T0证明：系统经历准静态过程,每一中间态均可视为平衡态对于容器内的气体，初态Tn0(T )TQ PV即：Qno，Qoc lnTp tRTo:Po VT (T )nTon 0 RT，任一中间态dT To 氯0 n c cpppT dTTo4.将空窖辐射视为平衡态光子气系通通，光子是能量为

14、子态上平均光子数f eh/ kTU ( ,T ) dc2 3p解：在体积V内，动量在由圆频率与波矢关系:Po V n( T )RTTt_0 n c Inp的玻色子,1，试导出普朗克黑体辐射公式:1范围的光子的量子态数为:=ck及德布罗意关系，可得： P =故，在体积V内，能量在8 V h3h2d3cTo由玻色分布，每个量V厂p dp hh+d 范围内的光子的量子态数为:V23c2d摩尔热容量c p为常量。给容器内的空气以极其缓慢的速率平均加热，使其温度升至T。在此范围内的光子数为:N d f D ( )d故，在此范围内的辐射能量为:1ec 3 h /kT2/ kTU（t, ） dH5.证明焓态

15、方程：VPt证：选T、p作为状态参量时，有UuSdUdTdV（1）dSdTTVT “VTV而，dUTdSpdVSdV （ 2）VT（3）（2 ）代入（3 ）得：dUTS dT TVUS比较（1 ）、（ 4）得:T（5）TTVVSp将麦氏关系代入（6 ），即得V TTVS（4）VTp dVuTSp （ 6）VTV THHSSdHdTdp（1）dSdTdp（ 2）TpP TTppT而，dHTdSVdp（3）SdT V TS（2）代入（3）得：dH Tdp（4）TppTHSHS比较（1 ）、（4）得：.T -（5）V T（6）TpTpVTpT将麦氏关系SV代入（6），即得p TTpHV TVTVTp

16、Up6.证明能态方程：T _pVTTV证：选T、V作为状态参量时，有UTVT7.证明，对于一维自由粒子，在长度L内，能量在 d的范围内，可能的量子态数为Ddl(2 m) d1/2 1/2h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系,dxdp内的可能的量子态数为 X。h对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdp因此，在长度L内，动量大小在dp范围内粒子的可能的量子态数为2Ldph1 p2 ， dp2mL故，在长度 内，能量在而,范围内，可能的量子态数为d 丄（2 m）i/2 1/2 dh8.证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，能量在 d范围内，可能的量子态数为D d 2 mL2 d。h2证：由量子

17、态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元dxdydpdpdxdydp % dpy内的可能的量子态数为xy。h 2因此，在面积L2内，动量大小在 ppdp范围内粒子的可能的量子态数为1而， p2，卩 md2m故，在面积L2内，能量在 2 L2 pdph2d范围内，可能的量子态数为2 mL2h2 d。9 导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:CV 3Nk 解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为 3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为:(n 1/ 2) h (n 0,1,2L则，振子的配分函数为:Zie h ( n 1/2)h /2

18、(e hn 0h /2ln Zi 1 h ln(1 e h )23. U 3N In Z_ N h 3N h e h21 e3N h3N h2e h1U1Uh2 e hCv3NkT VkT2kTV(e h1)2h引入爱因斯坦特点温度E : hk E，即得：Cv3Nk丄T2 e / tE2e e / T 110.对于给定系统，若已知态方程。T =2a v - b ，求此系统的物v p v - bRv3解：设物态方程为P p（T , v），则dpdTvdvpJTTvvpp_pJT将_pTv=Rv - b和T = Tv pv- b2a v - b代入（2 ）得Rv3ppTRT2a v - b2aRT

19、vTTvv pv - b v -bRv3(3)v3v - b 2vT vTvp将和（3）代入（1 ）得RRT2aRTa_RT a2 dvdv dddv - bv3v - bv2v - b vRdpdTv - b2积分得:RT a一，即:p v - b V2ar - b RTv211.将空窖辐射视为平衡态光子气系通通，导出普朗克黑体辐射公式:U ( ,T ) d7kT解：在体积v内，动量在v2C eh23p p+dp范围的光子的量子态数为p2dp由于，光子气体是玻色系统依照玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为eh / kT hp = _=_因此，在体积 V内，圆频率在+d

20、范围内的光子的量子态数为8 V h3D ( ) d 3-2d1ec 3 h /kT2h c在此范围内的光子数为Nd f D()d故，在此范围内的辐射能量为：U ( T, ) dh N d2c3eh12.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为：3NE2E(E)，其中NV(2 mE)3 N /2。由此导出系统熵的表达式：h3N !(3 N / 2)!V3/25SNk In4 mENkN3h22V3N解: InInEN In 子N ln(2 mE) 3/2ln( N !)ln2Eh3N12N1，ln( N !)N In N N，In!3N ln 3N3N2 2 223N3/2.lnlnE

21、N ln V4 mE5N2EN3Nh22t 3N.Eh，N10 23，kT 1021 Em，lne10 13 02ElnVN ln3/24 mE5NN3Nh223/2S Nk ln V 4 mE5Nk由玻耳兹曼关系：S k ln ，得:N 3Nh2213.试用麦克斯韦关系，导出方程TdSCV dT TdV，假设Cv可视为常量，由此解：J dSSdTSTVVTdS tSdTTSTVV由麦氏关系SP，VTTV绝热过程dS0，理想气体pdTdV5 nR0积分得CVTV导出理想气体的绝热过程方程TV 1C （常量）。dV，TdVCv dTTSdVTVTTdSCV dT TpdVT VnRPtnRT,V

22、VTVTVln T nR ln V C(常量) Cp / Cv ，nR C p CV Cv ( 1)故：ln TV 1 C，即：TV 1 C （常量）14.证明，理想气体的摩尔自由能为:du c V dTTpp dv,TV理想气体的物态方程为：pv RTR-p-，ducV dT ，Tvv证明：选T, V 为独立变量，则dscv dTTp dvTVds cdT R _dVTvcV dT u0 , s0cV dT Rin v s0Tu Tscv dT T 一dT RT in v u0 Ts0T15.证明：P T ,nVn T，P证明：选T, V 为独立变量，则Q dGSdTVdpdnGGn t,p

23、p nT ,npT ,n T, pG 而_V，故-pVT , pPT nT ,nn3Nkhhln 1 e hh16.导出爱因斯坦固体的熵表达式:Se1N个原子，按爱因斯坦假设，解：设固系通通含有 将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为:1h (n - )，( n 0, 1, 2 丄)2则，振子的配分函数为：h (n 2 )e1 he21 ehln11hlnln(1 e3Nk ( ln 1ln1)3Nk ln(1ehe 117.已知处在平衡态的孤立的玻耳兹曼系统，其可能的微观运动状态数由麦克斯韦-玻耳兹曼S Nk ln Z 1ln Z1导出玻耳兹曼关系S k ln，系统计公式给出：al l试由玻耳兹曼系统的熵的统计表达式 al ! ll18.平衡态的玻色系统可能的微观运动状态数由玻-爱统计公式(1ia】!(lnal1)!给出：试由此和玻色系统的熵的统计表达式,Sl1)!导出玻耳k lnln兹曼关系S k lno19.平衡态的费米系统可能的微观运动状态数由费狄统计公式l !给ial !(laj!出：试由此和玻色系统的熵的统计表达式Sklnlnln导出玻耳，兹曼关系S k In