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1、第7节 导数的综合应用【基础知识】1方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点2求极值的步骤： 先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）； 分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.3求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.4函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.5利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题
2、的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答6不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题7方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数8.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往
3、往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理：【规律技巧】1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.3.含参数的不等式恒成立、有解、无解的处理方法：的图象和图象特点考考虑；构造函数法，一般构造，转化为的最值处理；参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.【典例讲解】例1、已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2lnxb，其中ayf(x)，yg(x)有公共点
4、，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)【方法技巧】利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式【变式探究】证明：当x0,1时，xsinxx.例2、已知函数f(x)x2xsinxcosx.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围【方法技巧】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况
5、，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一【变式探究】已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围例3、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【方法技巧】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变
6、量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点【变式探究】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试
7、问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【针对训练】【1-1】方程x33xk有3个不等的实根, 则常数k的取值范围是【答案】. 【1-2】已知函数有且仅有两个不同的零点，则（）A当时，B当时， C当时， D当时，【答案】B【解析】【1-3】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 【答案】 综合点评：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题已知函数,若|,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
8、D.【2-2】已知是自然对数的底数，若函数的图象始终在轴的上方，则实数的取值范围 .ABCD【答案】C【2-3】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 【答案】【2-4】若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】 综合点评：恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理【3-1】若的定义域为，恒成立，则解集为（ ） A B C D【答案】B【3-2】已知是可导的函数，且对于恒成立，则( )A BC D【答案】D综合点评：利用导数求解不等式问题，往往需要构造函数，通过导数研究函数的性质，从而求解不等式【练习巩固】1、函数在区间上恰有一个零点，则
9、实数的取值范围是_.【答案】2、已知是函数的零点,则:；;，其中正确的命题是（ ）A B C D【答案】B 【综合点评】借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解3、若函数存在与直线平行的切线,则实数取值范围是 A BC D【答案】C4、若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是（ ）A B C. D.【答案】A.【综合点评】恒成立问题的两种常见解题思路：参变分离；构造函数5、已知函数.（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围易错分析：（）忽视定义域致误；（）对全称量词和特称量词理解不深刻致误温馨提醒：(1)研究函数问题应竖立定义域优先原则；(2) 任意，指的是区间内的任意一个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的组合.
高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分：第7节导数的综合应用
