浓度问题之十字交叉法

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1、浓度问题一个好玩的故事一一熊喝豆浆黑熊领着三个弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了狐狸开 的豆浆店。只见店门口张贴着广告“既甜又浓的豆浆每杯元。”黑熊便招呼弟弟们歇脚，一起来喝豆浆。黑熊从狐狸手中接过一杯豆浆，给最小的弟弟喝掉1,加满水后6给老三喝掉了 1 ,再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。3狐狸开始收钱了，他要求黑熊最小的弟弟付出X 1 =（元）；老三X 1 =（元）；63老二与黑熊付的一样多，X 1 =（元）。兄弟一共付了元。2兄弟们很惊讶，不是说，一杯豆浆元，为什么多付一=元肯定是黑熊再敲诈我们。不服气的黑熊嚷起来：“多收我们坚决不干。”“不给，休想离

2、开。”现在，说说为什么会这样呢专题简析：溶质：在溶剂中的物质。溶剂：溶解溶质的液体或气体。溶液：包含溶质溶剂的混合物。溶质质量在小升初应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶 于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变， 那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶 液=糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类 似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度 就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即， 浓度=溶质质量X100%=溶质质量+溶剂质量X100%相关演化

3、公式溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量幸溶液的重量X100%=浓度溶液的重量x浓度=溶质的重量溶质的重量幸浓度=溶液的重量解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和 问题逐一分析，也可以分步解答。例题1有含糖量为7 %的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,需要再加入 多少克糖【思路导航】根据题意，在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质 量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原 来糖水中的浓

4、度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量， 用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。解：原来糖水中水的质量：600X（1 7%）=558 （克）现在糖水的质量：558（1 10%）=620 （克）加入糖的质量 ：620 600 = 20 （克）答：需要加入20克糖。练习11、现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加 糖多少克2、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度为20%，需加盐多少千克3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200毫升清水，乙瓶里装了 200毫升纯酒精。 第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶

5、液倒回乙瓶， 此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多十字交叉法十字交叉法可用于溶液浓度的计算，例如溶液的稀释、浓缩或混合等计算题。使用此法，使解题过程简便、快速、正确。下面通过例题介绍十字交叉法的原理：同一物质的甲、乙两溶液的百分比浓度分别为a%、b%(a%b%),现用这两 种溶液配制百分比浓度为c%的溶液。问取这两种溶液的质量比应是多少 同一物质的溶液，配制前后溶质的质量相等，利用这一原理可列式求解。设甲、乙两溶液各取ml、m2克，两溶液混合后的溶液质量是(m1 + m2)克。列式 m1Xa% + m2Xb%= (m1+ m2)Xc%，把此式整理得：ml: m2= (c-b ) / (a-c

6、 )，ml: m2就是所取甲、乙两溶液的质量比。为了便于记忆和运算，若用C浓代替a，C稀代替b，C混代替C如图C浓混 稀c混/ C稀、.浓-C混C浓=C混稀c稀C浓-胰把上式写成十字交叉法的一般形式，在运用十字交叉法进行计算时要注意，斜找差数，横看结果。C浓、 /。混7稀诵c 稀、*(；浓一(；混C浓 _。混稀例题2将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克，需要20%的 盐水和5%的盐水各多少克 【思路导航】根据题意，将20%的盐水与5%的盐水混合配成15%的盐水，说 明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一 数量间的相等关系列方程解答。解：设20

7、%的盐水需x克，则5%的盐水为600 x克，那么20%x+ (600 x)X5%=600X15%X =400600 400 = 200 (克)答：需要20%的盐水400克，5%的盐水200克。方法二解：用十字交叉法：20% 盐水 20%、, 10%10%= 2： 115%、 :5 %盐水 5%5%配成15%的盐水600克，所需20%的盐水与5%的盐水比例为2： 1,艮口需要20%的盐水600X(2/3)=400克，需要 5%的盐水 600X(1/3)=200 克，(或者 600 400 = 200 克)答：需要20%的盐水400克，5%的盐水200克。练习21、两种钢分别含镍5%和40%，要得

8、到140吨含镍30%的钢，需要含镍5%的 钢和含镍40%的钢各多少吨2、甲、乙两种酒各含酒精75%和55%，要配制含酒精65%的酒3000克，应当 从这两种酒中各取多少克例题3现有浓度为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上 溶质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶 液中的溶质的量。解：20千克10%的盐水中含盐的质量20X10%=2 （千克）混合成22%时，20千克溶液中含盐的质量20X22%=404 （千克）需加30%盐水溶液的质量（-2）（30%

9、-22%）=30 （千克）答：需加入30千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水。方法二解：用十字交叉法：练习31、在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶 液就可以配制成25%的硫酸溶液2、浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克混合后所得 到的酒精溶液的浓度是多少3、在20%的盐水中加入10千克水，浓度为15%。再加入多少千克盐，浓度为25%例题4 一种35%的新农药，如稀释到时，治虫最有效。用多少千克浓度为35% 的农药加多少千克水，才能配成的农药800千克【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在

10、 这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。解：800千克的农药含纯农药的质量为800X% = 14 （千克）含14千克纯农药的35%的农药质量为14：35%=40 （千克）由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40 = 760 （千克）答：用40千克的浓度为35%的农药中添加760千克水，才能配成浓度为的 农药800千克。方法二解：用十字交叉法：练习41、用含氨的氨水进行油菜追肥。现有含氨16%的氨水30千克，配置时需加 水多少千克2、仓库运来含水量为90%的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降 低到80%。现在这批水果的质量是多少千克3、一容器内

11、装有10升纯酒精，倒出升后，用水加满；再倒出5升，再用水加 满。这时容器内溶液的浓度是多少例题5甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种质量分数 的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出 10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为。最早倒入甲管中的盐水 质量分数是多少混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20克、30克、40克。根据题意， 可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30克的水，它的盐是从10 克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐的质量。而乙管里 的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里2

12、0克盐水中盐的质 量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水 的质量分数。丙管中盐的质量：（30+10）X%=02 （克）倒入乙管后，乙管中盐的质量：X （20+10）-101=（克） 倒入甲管，甲管中盐的质量：X【（10+10）-101=（克）-10 = 12%答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12%。练习51、从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后 再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度 是多少2、甲容器中又8%的盐水300克，乙容器中有的盐水120克。往甲、乙两个 容器分别倒入等量的水，使两个容器

13、中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克 水3、甲种酒含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，丙种酒含纯酒精35%。将三 种酒混在一起得到含酒精的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么 甲种酒有多少千克十字交叉法的其他应用数学统计某班一次数学测试，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，则 女生人数是男生人数的多少倍（）A. B. 1 C. D. 2生活问题一公斤鸡蛋有18个，一公斤鸭蛋有12个，一公斤鸡蛋和鸭蛋共有15个，则一公斤鸡蛋和 鸭蛋中鸡蛋对鸭蛋个数比多大较复杂的利润问题例2、某商店花10000进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来 定价。结果只销售了商品总量

14、的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售， 这样卖完全部商品后，亏本1000元。问商店是按定价打几折销售的A、九折B、七五折C、六折 。、四八折解析：该题属于利润问题，根据条件，这批商品分两个部分出售：30%的商品按25%的利润 来定价出售，70%的商品打折后出售，最后总亏本1000元，即总利润为-10%。设打折后出 售的70%的商品的利润率为x，可用十字交叉法表示如下：，朗土 的商品 30%25%-10?Vx7睇的商品70%30% -10%-x100001-25%)得方程:，解得 x=-25%。则：、-一-x10 = 6 答案选 C。浓度问题的方法总结基本公式浓度=X 100% =X1

15、00%相关演化公式的重量+的重量=溶液的重量的重量7 的重量X100% =浓度的重量X浓度=溶质的重量 7=溶液的重量十字交叉法的方法总结浓度之十字交叉质量之十字交叉作业题“稀释”问题：特点是加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。1、要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐的盐水，须加水多少克2、现有烧碱35克，配制成浓度为28%的烧碱溶液，须加多少水“浓缩”问题：特点是减少溶剂，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。2、在含盐的盐水中蒸去了 236千克水，就变成了含盐30%的盐水，问原来的 盐水是多少千克4、要从含盐的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水“加浓”问题：特点是

16、增加溶质，解题关键是找到始终不变的量（溶剂）。5、有含盐8%的盐水40千克，要配制成含盐20%的盐水，须加盐多少千克配制问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品）， 解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到 两个等量关系。6、把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克，分 别应取两种食盐水各多少千克7、在浓度为50%的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶 液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液含水量问题8、仓库运来含水量为90%的水果100千克，1星期后再测发现含水量降低了， 变为80%，现在这批水果的总重量是多少千克重复操作问题（牢记浓度公式，灵活运用浓度变化规律，浓度问题的难点）% 从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将 杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐 水的浓度是多少