2022-2023学年山西省运城市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

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1、2022-2023学年山西省运城市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知直线，互相平行，则a等于（）A2B1C0D【答案】D【分析】利用两直线平行的必要条件求得实数a的值，进而检验即可.【详解】两直线平行，解得,此时，两直线方程为，两直线互相平行，符合题意.故选：D.2已知函数，则（）ABC1D2【答案】B【分析】先求，再求的值.【详解】解：因为，所以，所以，解得故选：B.3已知是等差数列的前项和，且，则（）A数列为递增数列BC的最大值为D【答案】B【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解.【详解】由且，所以，故B正确；所以公差，数列为递减数列，A错误；由，所以，时，的最

2、大值为，故C错误；，故D错误.故选：B4已知空间向量，且与垂直，则与的夹角为（）ABCD【答案】D【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.【详解】因为与垂直，所以，即，所以.又，所以.故选：D.5曲线在P0处的切线垂直于直线，则P0的坐标为（）ABC或D或【答案】C【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】曲线在P0处的切线垂直于直线，所以切线的斜率为4，依题意，令，解得，故点的坐标为和，故选：C6我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意

3、思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（）ABCD【答案】C【分析】设大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，分析可知两数列均为等比数列，确定这两个数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式以及数列的单调性可求得结果.【详解】设大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，则数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，设数列的前项和为，则，因为，故数列单调递增，因为，故两鼠相遇至少需要天.故选：C.7若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围

4、是（）ABCD【答案】D【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围【详解】曲线即，即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分，直线即恒过定点，作出直线与半圆的图象，如图，考查临界情况：当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且，即，解得：，舍去）据此可得，实数的取值范围是故选：D8已知曲线的抛物线及抛物线组成，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】根据，是曲线上关于轴对称的两点，

5、结合抛物线的对称性建立四边形周长模型，再由抛物线的定义得到，然后由直线段最短求解.【详解】设抛物线的焦点为，则四边形的周长:，当共线时取等号，故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质以及四边形周长最值问题，属于中档题.二、多选题9已知空间中三点，则下列结论正确的有（）AB与共线的单位向量是C与夹角的余弦值是D平面的一个法向量是【答案】AD【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.【详解】，故，A正确；不是单位向量，且与不共线，B错误；，C错误；设，则，所以，又

6、，所以平面的一个法向量是，D正确.故选：AD10设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（）ABC是数列中的最大项D【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质， 则或，所以，推得公比，即可依次求解【详解】，则或，和同号，且同为正，且一个大于1，一个小于1，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，对于A，公比，故A正确，对于B，即，故B正确，对于C，等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，故是数列中的最大项，故C错误，对于D，即，故D正确故选：ABD11已知双曲线的左、右焦点分别为、，且，点

7、是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点，垂直于交于，则以下结论正确的是（）A当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为B当时，点的坐标为C当时，三角形的面积D若，则双曲线的渐近线方程为【答案】AB【分析】利用点到直线的距离公式求出的值，可求得双曲线的离心率，可判断A选项；利用角平分线的性质求出点的坐标，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积公式可判断C选项；利用双曲线的定义求出的值，进而可求得的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断D选项.【详解】对于A选项，双曲线的渐近线方程为，即，点到渐近线的距离为，且，故，所以，此时，双曲线的离心率为，A对；对于B选项，若，由双曲线的

8、定义可得，则，设点，由可得，解得，即点，B对；对于C选项，当时，由题意可得，所以，可得，此时，C错；对于D选项，设直线交直线于点，如下图所示：由已知，所以，为等腰三角形，且，为的中点，又因为为的中点，则，且，故，则，此时，双曲线的渐近线方程为，D错.故选：AB.12已知函数，是其导函数，恒成立，则（）ABCD【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，依次判断各个选项，进而得解.【详解】设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，所以，故A正确；因为，所以，又，所以，故B正确；因为，所以，即，因为，所以，故C错误，D正确故选：ABD三、填空题13已知空间三

9、点，设，且，则_.【答案】或【分析】先求得，然后根据向量共线以及向量的模求得.【详解】，由于，所以，所以，所以为或.故答案为：或14已知数列的前n项和满足，则数列的前2022项的和为_【答案】【分析】利用求得，再结合裂项求和法，即可求得结果.【详解】当时，又满足，故，则数列的前2022项的和.故答案为：.15已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为_【答案】【分析】由与为直径所对的圆周角得出为线段的垂直平分线，再结合已知条件中的角与椭圆的定义得出且，列式即可得出答案.【详解】，点A是

10、线段的中点，为直径所对的圆周角，为线段的垂直平分线，过的直线的倾斜角为，为椭圆C的焦点，且，点B在椭圆C上，即，故答案为：.16设函数，则满足的的取值范围是_.【答案】【分析】设函数，判断的单调性与奇偶性，把不等式变形为转化为的不等式解决.【详解】设,因为的定义域为关于原点对称.又因为，即所以是定义在上的奇函数.又又因为当且仅当时取等号所以所以在上单调递增.又即，又因为是定义在上的奇函数，所以所以又因为在上单调递增所以，即所以所以所以满足的的取值范围是故答案为：四、解答题17等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据等

11、比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】解：（1）设数列的公比为，则，由得：，所以.由，得到所以数列的通项公式为.（2）由条件知，又将以上两式相减得所以.18已知函数(1)求的极值；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围【答案】(1)极小值为，无极大值(2)【分析】（1）求出，分别令、，解不等式可得答案；（2）可转化为与的图象有两个不同的交点，结合图象可得答案.【详解】（1），令，解得；令，解得，的单调递增区间为，单调递减区间为，在x1处取得极小值，无极大值；（2）在上有两个不同的零点，可转化为与的图象有两个不同的交点，由（

12、1）易知，又，当时，显然，19已知为坐标原点，过点的圆与直线：相切，设圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的直线交曲线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）设点为曲线上任意一点，依题意可得与点到直线的距离相等，即，整理即可；（2）首先分析直线的斜率存在且不为，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，依题意可得直线与直线垂直，即可求出，再由弦长公式求出，求出原点到直线的距离，即可得解.【详解】（1）解：设点为曲线上任意一点，因为圆过点且与直线：相切，所以与点到直线的距离相等，故，整理得，所以曲线的方程为；（

13、2）解：过点的斜率为的直线与抛物线只有1个交点，不满足要求，过点的斜率不存在的直线为，直线与抛物线的交点为，此时线段的垂直平分线为，不满足要求，所以直线斜率存在且不为，设直线方程为，由得，方程的判别式，设，则，设线段中点，因为线段的垂直平分线交轴于点，所以直线与直线垂直，故，解得.又因为，原点到直线的距离，故的面积.20如图，在圆柱中，CE是圆柱的一条母线，ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，.(1)若，求证：平面CEO；(2)若，求直线BE与平面ADE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知得四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定定理可得答案；（2）

14、以O为坐标原点，分别以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）因为所以因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）以O为坐标原点，分别以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则点，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，设直线BE与平面ADE所成角为，所以直线BE与平面ADE所成角的正弦值为.21已知椭圆：，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且P在轴上的投影为点Q.(1)求椭圆的方程；(2)若过点Q且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两

15、点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由题意列方程组求解，（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理与斜率公式化简求解，【详解】（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为，（2）由题意得，设直线方程为，代入得，设，则，而化简得当为定值时，故，存在使得直线TM，TN斜率之积为定值22已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)的递增区间为，无递减区间；(2)【分析】(1)对求导，得，令，对求导，利用 的正负确定的单调性及最小值，从而确实的正负及的单调区间；(2)由(1)可得，然后分a2和a2两种情况讨论的单调性及最值，即可得答案.【详解】（1）解：当时，求导，设，则，令 ，解得： ；， 在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，则，在（0，+）上恒成立，的递增区间为（0，+），无递减区间；（2）解：，由（1）知：，又因为在（1，+）单调递增，则g（x）g（1）2，当a2时，在1，+）单调递增，满足题意当a2时，设，则，当时，在1，+）递增， ，使，在1，+）单调递增，当时，0，即0，所以在上单调递减，又，当时，不满足题意的取值范围为，综上可知：实数的取值范围（ ，2