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1、13-4单调性的判别法单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在那那末末函函数数，内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（导导内内可可上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 2例例1 1.1的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx解解.1 xey).,(:D又又,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加3二、单
2、调区间求法二、单调区间求法定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:4例例2 2.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf解解).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在1,(时时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当
3、 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,25例例3 3.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf 解解).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时时，当当0 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(时，时，当当 x0,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 课堂练习课堂练习P154。3 6例例4 4证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfx
4、f可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即7例例7xxxx2tansin,20 时时证证明明 证证xxxxf2tansin)(记记2seccos)(2 xxxf则则2cos1cos2 xx2cos1cos xx0 或或xxxxftansec2sin)(2 1cos2sin3 xx0 )(xf0)0()(fxf)(xf0)0()(fxfxxx2tansin 即即课堂练习课堂练习P154。4.(1-2)8一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxy
5、o1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点9定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内内的的图图形形是是凹凹的的在在那那末末称称恒恒有有两两点点内内任任意意如如果果对对内内连连续续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内内的的图图形形是是凸凸的的在在那那末末称称恒恒有有内内任任意意两两点点如如果果对对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(
6、,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf10二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 11注注定理的结论可推广到任意区间上定理的
7、结论可推广到任意区间上例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,12三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数,则则点点 )(,00 xfx是是拐拐点点的的必必要要条条件件是是0)(0 xf.1.1.定义定义注意
8、注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法13例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(14).,32,32,0,0,(凹凹凸凸区区间间为为课堂练习课堂练习P154。6.(1)(3)15例例5 5.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy
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