广义积分反常积分PPT课件

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1、返回第四节第四节 广义积分（反常积分）广义积分（反常积分）一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分三、小结三、小结定理定理 （微积分基本公式）（微积分基本公式）?1112 dxx?102 xdx返回 adxxf)(babdxxf)(lim一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分)(xfy b问问:f(x)在在(-b上的反常上的反常积分如何计算？积分如何计算？返回类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b 上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在

2、无穷区间,(b 上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(.bdxxf)(baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.返回 设设函函数数)(xf在在区区间间),(上上连连续续,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),(上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极极限限存

3、存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散.?)(dxxf返回例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim.22 返回例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb.1 返回证证 apxdxe bapxbdxelim

4、bapxbpe lim pepepbpablim 0,ppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.p0时时,是是 指数衰减函数指数衰减函数pxey 0,p返回证证,1)1(p 11dxxp 11dxx 1ln x,1)2(p 11dxxp 111pxp 1,p因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.1,11 pp返回 badxxf)(badxxf )(lim0二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分)(xfy a瑕点瑕点问问:f(x)在在a b)上的反常上的反常积分如何计算？积分如何计算？badxxf

5、)(lim0 b返回当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.)(xfy b返回设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界.如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义 badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散.定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.返回例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解).0

6、(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点.axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 a返回例例 6 6 证明广义积分证明广义积分 101dxxq当当1 q时收敛，当时收敛，当1 q时发散时发散.证证,1)1(q 101dxx 10ln x,1)2(q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因因此此当当1 q时时广广义义积积分分收收敛敛，其其值值为为q 11；当当1 q时时广广义义积积分分发发散散.101dxxq返回问：问：1121dxx111 x211 是否正

7、确？是否正确？由于1)1(lim1100 1012xxdxxx 解解 解 在区间1 1上 x0 为函数21x的瑕点 即反常积分0121dxx发散 所以反常积分发散 所以反常积分1121dxx发散 01201limdxx 101limx )11(lim0 返回例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 .故原广义积分发散故原广义积分发散.返回例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032

8、)1(xdx 10313232)1()1(xdxxdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1(xdx).21(33 返回思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1,0 xx1lnlim1 xxx,11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点,101lndxxx的瑕点是的瑕点是.0 x00思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？101lndxxx返回例例9 9.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列广义积分求下列广义积分解解(1)02029

9、494xxdxxxdx原原式式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 返回(2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2120123lim xxxdx原原式式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 .123)2(:212 xxxdx求求广广义义积积分分返回无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)(bdxxf)(adxxf)(cabcbadxxfd

10、xxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点）badxxf)(三、小结三、小结返回一、一、填空题：填空题：1 1、广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛；在时收敛；在_ 时发散；时发散；4 4、广义积分、广义积分 dxxx21=_=_；练练 习习 题题1 q1 p1 p1 q返回5 5、广义积分广义积分 1021xxdx_；6 6、广义积分广义积分 xdttf)(的几何意义是的几何意义是_

11、 _.二二、判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、0coshtdtept )1(p；2 2、222xxdx ；3 3、0dxexxn（为为自自然然数数n）；4 4、202)1(xdx；返回5 5、211xxdx；6 6、022)1(lndxxxx；7 7、10ln xdxn.三三、求求当当为为何何值值时时k，广广义义积积分分)()(abaxdxbak 收收敛敛？又又为为何何值值时时k，这这广广义义积积分分发发散散？四四、已已知知 xxxxxf2,120,210,0)(，试试用用分分段段函函数数表表示示 xdttf)(.返回一、一、1 1、1,1 pp；2 2、1,1 qq；3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散；5 5、1 1；6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左边,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积.二、二、1 1、12 pp；2 2、；3 3、!n；4 4、发散；、发散；5 5、322；6 6、0 0；7 7、!)1(nn.三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11；当当1 k时发散时发散.四、四、xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.练习题答案练习题答案