专题06 染色问题(解析版)

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1、专题 6 染色问题例1.如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC- AxB1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几B. 9种A. 6种何体的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）C. 12 种D. 36 种解析】 先涂三棱锥p - abc的三个侧面，有C3C2C11 - 6种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有qCiC1 - 2种情况，共有6 x 2 = 12种不同的涂法.故选：C.例2.如图，用四种不同的颜色给图中的A, B, C, D, E, F, G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色,解析】由题意，点E, F, G分别有4, 3, 2种涂法,

2、(1) 当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法， 若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法； 若C与F不同，则D有2种涂色方法.故此时共有4 x 3 x 2 xlx 2 X(1x 3 + 1x 2)= 240种涂色方法.(2) 当A与G相同时，A有1种涂色方法， 若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法； 若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法.故此时共有4 x 3 x 2 xlx(lx 2 x 2 + 2 x 2 xl)= 192种涂色方法.(3) 当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法.

3、若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法； 若B与F不同，则B有1种涂色方法，(?)若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；(ii)若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法.故此时共有 4 x 3 x 2 x lx lx (lx 2 + lx 1)+ 1x(1x 2 + lx 2 ) = 168 种涂色方法.综上，共有240+192+168 = 600种涂色方法.故选：C.例 3现有 6种不同的颜色，给图中的 6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有()A. 720种B1440 种C. 288

4、0 种D. 4320 种【解析】根据题意分步完成任务 第一步：完成 3号区域：从6 种颜色中选 1种涂色，有 6种不同方法； 第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有 5种不同方法； 第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有 4种不同方法； 第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的 3种颜色后剩下的 3种颜色中选 1种涂色，有3种不同方 法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有 4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的 3种颜色后剩下的 3种

5、颜色中选 1种涂色，有3种不同方 法；所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3 = 4320种.故选： D.例 4将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则 不同的种植方法种数是（ ）CA420B180C64D25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有5种涂法，B有4种涂法，A, D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5 x 4 x 3 x 2 = 120种，A，D同色，D有1种涂法，C有3种涂法，有5x4x3 = 60种，共有 180种不同的涂色方案例5.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5

6、块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）A. 120 种B. 720 种C. 840 种D. 960 种【解析】法一：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，若CA同色，E有4种颜色可选；若CB同色，E有4种颜色可选；若C与A、B都不同色，则C有2种颜色可选，此时E有4种颜色可选，故共有5 x 4 x 3 x（4 + 4 + 2 x 4）= 960 种.法二：当使用5种颜色时，有A| = 120种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC， BC， AE， BE， CE，共有5A4 = 600种涂色方5

7、法；当使用3种颜色时，只能是AC同色且BE同色，AE同色且BC同色，ACE同色，BCE同色，共有 4 A3 = 240 种涂色方法，5共有120 + 600+240 = 960种涂色方法.故选： D.例6.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内， 且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.A. 40320种B5040 种C. 20160 种D. 2520 种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有Ci = 7种方法，7再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有A6种方法，6由于图形是轴对称图形，

8、所以上述方法正好重复一次，7 X A6所以不同的涂色方法，共有&二2520种不同的涂法.2故选：D.例7.如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5A. 240B. 360C. 420D. 960【解析】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5X4X3 = 60种染色方法.设5种颜色为1，2，3，4，5,当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法；若C染4,则D可染3或5,有2种染法，若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见，当S、4、B已染好时，C D还有7种染

9、法，故不同的染色方法有60X7 = 420 (种).故选：C例8.如图所示，将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为()161733A33B56C64D78解析】 记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边,1617t33此时共有56条分隔边，即L = 56,其次证明：L56，B33，行A中方格出现的颜33i将将方格的行从上至下依次记为A?，a33，列从左至右依次记为B B2，色数记为n(A )，列B中方格出现的颜色个数记为n(B )，三种

10、颜色分别记为C ,c ,c，对于一种颜色c.,iii123. 设n(c )为含有c.色方格的行数与列数之和，定义当A行含有C色方格时，5 (A ,c )=1，否则.i.5 (A，c )= 0，类似的定义5 (B , c )，i .i .所以为(n (A )+n (B )=为工(5(4 , c )+5(B , c )=右 C )，iii ji J 丿Ji=1i=1 i=1丿 j=1由于染c.色的格有3X 332=363个，设含有色方格的行有a个列有“个，则c.色的方格一定再这个a行和 b 列的交叉方格中，从而 ab 363,所以 n (c )= a + b 2、：ab 2363 38 n n (

11、c ) 39( j = 1,2,3)，由于在行A中有n (A)种颜色的方格，于是至少有n (A)-1条分隔边，i i i类似的，在列B中有n(B)种颜色的方格，于是至少有n(B)-1条分隔边,i i i艺 C (A )-1)+艺(n (b )-1)=艺(n (A )+ n (b )- 66 i i i ii =1i =1i=1仝 n (c )j- 66 j=1面分两种情形讨论，(1) 有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为c1色，则方格的33列均含有C的方格，又C色的方格有363个，故至少有11行有C色方 格，于是 n () 11 + 33 = 44 由得Ln(C )+n(C )+n(C

12、)-66 44+39+39-66=56，123(2) 没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意19 J 33均有n (A) 2, n (B ) 2，ii从而，由式知：L (n (A )+ n (B )- 66 33 x 4 - 66 = 66 56，iii=1综上，分隔边条数的最小值为56.故选： B.例9.如图给三棱柱ABC-DEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的染色方法有.首先先给顶点A，B，C染色，有A3二24种方法，再给顶点D染色，若它和点B染同一种颜色，点E和点4C染相同颜色，点F就有2种方法，若点

13、E和点C染不同颜色，则点E有2种方法，点F也有1种方法， 则D,E,F的染色方法一共有2 + 2x 1 = 4种方法，若点D和点B染不同颜色，且与点C颜色不同，则点 D有1种方法，点E与点C颜色不同，则点E有1种方法，则点F有1种方法，此时有1种方法；若最后E与C相同，则F有2种方法，则共有2种方法；点D与点C颜色相同，则点D有1种方法，则点E有2 种方法，则点F有2种方法，共有2x2 = 4种方法，所以点D和点B染不同，颜色共有1 + 2 + 4 = 7种方 法，所以点D, E, F的染色方法一共有4 + 7 = 11种，所以共有24 x11 = 264种方法.故答案为：264例 10现用五

14、种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有种不同着色方法解析】先排I，有5 种方法;然后排 II,IV ，最后排 III ： 当II,IV相同时，方法有4 X 4种，故方法数有5 X 4 X 4 = 80种. 当II,IV不同时，方法有4 x 3 x 3种，故方法数有5x 4 x 3x 3 = 180种.综上所述，不同的着色方法数有80 +180 = 260种.故答案为：260例11.如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为【解析】分三

15、种情况(1) 用四种颜色涂色，有A4二24种涂法；4(2) 用三种颜色涂色，有2A3二48种涂法;4(3) 用两种颜色涂色，有A2 = 12种涂法；4所以共有涂色方法24 + 48 +12 = 84.故答案为：84 例 12从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是.【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类： 一类是，前三个圆用3种颜色，有A3二6种方法，后3个圆也有3种颜色，有Ci。二4种方法，此时不同322

16、方法有6x4=24方法；二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有C1C1二6方法.32综上可知，所有的涂法共有4 x（24 + 6）= 120种方法.故答案为： 120例 13如图一个正方形花圃被分成5份若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有种【解析】先对E部分种植，有4种不同的种植方法；再对A部分种植，又3种不同的种植方法；对 C 部分种植进行分类： 若与A相同，D有2种不同的种植方法，B有2种不同的种植方法，共有4x3x2x2 = 48 （种）， 若与A不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，B

17、有1种不同的种植方法，共有4x3x2xlxl = 24 （种），综上所述，共有72种种植方法故答案为：72.例 14现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色不同的涂色方法有种【解析】依题意，I、II、III区域有共同边颜色互不相同，按 I 、 II 、 III 、 IV 顺序着色，则区域 I 有 5 种着色方法，区域II有4种着色方法，区域III有3种着色方法，IV只与II、III相邻，因此区域IV有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为5 x 4 x 3x 3 二 180.故答案为：180例15现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄

18、两种颜色，其中3个涂红色， 2 个涂黄色，若恰有两个相 邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有种（用数字作答）.【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有Ai A2 = 4,22当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有A；二2，则不同的涂法种数共有4 + 2二6种.故答案为：6例 16四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为设五个区域分别为A，B，C，D，E ,依题意由公共边的两个区域颜

19、色不同， 用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同， 可以是A与C , A与E , B与E同色，有涂色方法3A4二72；4或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为A与C同色，B与E同色，有涂色方法A3二24,4根据分类加法原理，共有涂色方法72+24 = 96.故答案为：96.例 17如图，将标号为 1， 2， 3， 4， 5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域（ 有公共边） 的颜色不同，则不同的染色方法有种.【解析】对于 1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有3x2x2x 1 = 12 ；若2和3颜色不同，则2有两种， 3

20、有一种.当5和2相同时， 4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时 共有3x2x（2 +1） = 18，综上可知，共有12 +18 = 30种染色方法.故答案为：30.例18某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.（用数字作答）【解析】由题意， 6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花若 2、5 同色，则3、6同色或 4、6同色，所以共有2A4 = 48种栽种方法；4若 2、4同色，则3、6同色，所以共有A4 = 24种栽种方法；若 3 、 5 同色，则 2 、 4 同色或 4

21、、 6 同色，所以共有2A4二48种栽种方法；4所以共有48 + 24 + 48 = 120种栽种方法.故答案为：120例 19给图中 A，B，C，D，E，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若 有 4 种颜色可供选择，则共有_种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色， 即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有C 3 = 4种取法，三种颜色染三个区域有4A3二6种染法，共4 x 6 = 24种染法；3第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种

22、方案（AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有A2 =12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共 4有3 x12 x 2 = 72种染法.-由分类加法原理得总的染色种数为24+72 = 96种.故答案为： 96.20.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例 21给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4 种颜色染色的方案有_种，用 5 种颜色染色的方案共有_种.(1) 根据题意，若用4种颜色染色时，先对A、B区域

23、染色有Ci。种，再对C染色:43 当C同B时，有Ci Ci种；22 当C同A时，有C1 + C1 C1种；322 当C不同A、B时，有C1(C1 + C1)种；232综合共有 C1C1 C1 C1 + C1 + C1 C1 + C1 (C1 + C1) = 252 种；4322322232(2) 根据题意，若用5种颜色染色时，先对A、B区域染色有Ci Ci种，再对C染色:54AcDE 当C同B时，有Ci Ci种；33 当C同A时，有Ci + Ci Ci种；433 当C不同A、B时，有Ci(Ci + CiCi)种；3423综合，共有Ci CiCi Ci + Ci + Ci Ci + Ci(Ci

24、+ CiCi) = i040种.54334333423故答案为：252；1040.例22.如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC- ABC的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色.若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有种【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有A3A3 = 576；44（2）若B，A，A，C用四种颜色，则有A4二24 ；4若 B，A，A，C 用三种颜色，则有 A3 x 2 x 2 + A3 x 2 x 2 二 192 ； 44若B，A，A，C用两种颜色，则有A2 x 2 x 2二48 .4所以共有24 +192 + 48 = 264种.故答案为：576 :264.