差分方程建模PPT课件

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1、一、差分方程简介一、差分方程简介以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的取值，则时的取值，则称称 为为yt 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。类似地，可以定义。类似地，可以定义yt的的n阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt的差分给出的方程称的差分给出的方程称 为为yt差分方程，其中含的最差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的高阶差分的阶数称为该差分方程的阶阶。差分方程也可以写成。差分方程也可以写成不显含差分的形

2、式。例如，二阶差分方程不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 tttyyy 1tttttttyyyyyyy 12122)(02 tttyyy012 tttyyy满足一差分方程的序满足一差分方程的序 列列yt称为此差分方程的解。类似于微分称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程数时，称此解为该差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初值条件的 特解特解，例如，考察两阶差，例如，考察两阶差分

3、方程分方程 02 ttyy易见易见2sintyt 与与2costyt 均是它的特解，而均是它的特解，而 tctcyt2sin2sin21 则为它的通解，其则为它的通解，其 中中c1，c2为两个任为两个任 意常数。类似于微分方程，称差分方程意常数。类似于微分方程，称差分方程)()()()(110tbytaytaytatnntnt 为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程，当当 0时称其为时称其为n阶非齐次线性差阶非齐次线性差分方程，而分方程，而)(tb0)()()(110 tnntntytaytayta则被称为方程对应的则被称为方程对应的 齐次线性差分方程齐次线性差分方程。若所有的若所有的 ai(t

4、)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成)(110tbyayayatntntn （）（）的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为0110 tntntnyayaya（）（）)2(2)1(1tttycycy )1(ty)2(ty容易证明，若序列容易证明，若序列与与均为方程（均为方程（4.16）的解，则）的解，则也是方程（）的解，其也是方程（）的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空

5、间）。此规律对于（）也成立。此规律对于（）也成立。方程（）可用如下的代数方法求其通解：方程（）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 0110 tnnnyaaa （）（）（步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征根的不同情况，求齐次方 程程(4.16)的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（4.17）有）有n个互不相同的实根个互不相同的实根1,n，则齐次方程（，则齐次方程（4.16）的通解为）的通解为tnntCC 11 (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的k重根，通解中

6、对应重根，通解中对应 于于的项为的项为tkktCC)(11 为任意常数，为任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（4.17）有单重复根）有单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 tttt sinCcosC21 22 为为的模，的模，arctan 为为的幅角。的幅角。情况情况4 若若ia 为特征方程（为特征方程（4.17）的）的k重复根，则通重复根，则通 解对应于它们的项为解对应于它们的项为tttttktk sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC为任意常数，为任意常数，i=1,2k。ty .若若yt为方程为方程(4.16)的通解的通解,则非齐次方程

7、则非齐次方程(4.15)的通解为的通解为（步三步三）求非齐次方程求非齐次方程(4.15)的一个特解的一个特解ttyy 求非齐次方程（求非齐次方程（4.15）的特解一）的特解一般要用到般要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数法。例例4.13 求解两阶差分方程求解两阶差分方程tyytt 2解解 对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为012 ，其特征根为，其特征根为i 2,1，对应齐次方程的通解为，对应齐次方程的通解为 tCtCyt2sin2cos21 原方程有形如原方程有形如bat 的特解。代入原方程求得

8、的特解。代入原方程求得21 a，21 b，故原方程的通解为，故原方程的通解为21212sin2cos21 ttCtC 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用在给定初值后，通常可用 计算机迭代计算机迭代求解，但我们常常需要求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对讨论解的稳定性。对 差分方程差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程若不论其对应齐次方程的通解中任意常的通解中任意常 数数C1,Cn如何取值如何取值,在在 时总时总有有 ,则称方程则称方程(7.14)的解是稳定的解是稳定 的的,否则称其解为不否则称其解

9、为不稳定稳定 的的.根据通解的结构不难看出根据通解的结构不难看出,非齐次方程非齐次方程(4.15)稳定的稳定的充要条件为其所有特征根的模均小充要条件为其所有特征根的模均小 于于1。t0ty例例4.14（市场经济的蛛网模市场经济的蛛网模 型型）在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致决定的，价格上升将刺激生产者的生产积

10、极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。积极性，导致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：函数：（1）供应函数）供应函数x=f(P)，它是价格它是价格P的单增函数，其曲的单增函数，其曲线称为供应曲线。线称为供应曲线。（2）需求函数）需求函数x=g(P)，它是价格它是价格P的单降函数，其的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示。形状如图所示。记记t时段初市场上的供应

11、量时段初市场上的供应量(即上即上 一时段的生产一时段的生产 量量)为为xt，市场上，市场上该商品的价格该商品的价格 为为Pt。商品成交的。商品成交的价格是由需求曲线决定的，价格是由需求曲线决定的，即即)(1ttxgP 随着随着t ,Mt将趋于平衡点将趋于平衡点M*,即商品量将趋于平衡即商品量将趋于平衡 量量x*,价格价格将趋于平衡价将趋于平衡价 格格P*。图中的箭线图中的箭线反映了在市场经济下该商品的供反映了在市场经济下该商品的供应量与价格的发展趋势。应量与价格的发展趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0 x*需求曲线需求曲线供应曲线供应曲线M0M2M1M*PoM3M2M1但是，如果供应曲

12、线和需求曲但是，如果供应曲线和需求曲线呈图线呈图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远将越来越远离平衡点。离平衡点。图图和图和图的区别在哪里，的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定如何判定平衡点的稳定 性呢？性呢？但是，如果供应曲线和需求曲线呈但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市

13、场经济稳定性求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型蛛网模型。不难看出，在不难看出，在 图图中平衡点中平衡点M*处供应曲线的切线斜率大于处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，需求曲线切线斜率的绝对值，而在图而在图中情况恰好相反。中情况恰好相反。现在利用差现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡否正确。我们知道，平衡 点点M*是否稳定取决于是否稳定取决于 在在M*附近供、附近供、需曲线的局部性态。为此，需曲线的局部性态。为

14、此，用用M*处供、需曲线的线性近似处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型来代替它们，并讨论此线性近似模型 中中M*的稳定性。的稳定性。设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为 )(*xxaPP 和和)(*xxbPP 式中，式中，a、b分别为供分别为供应曲线在应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线处的切线斜率与需求曲线 在在M*处切线斜率的绝对值。处切线斜率的绝对值。根据市场经济的规律，当供应量根据市场经济的规律，当供应量 为为xt时，现时段的价格时，现时段的价格)(*1xxbPPtt ，又对价格，又对价格1 tP，由供应曲线，由供应曲线)(*1*1x

15、xaPPtt 解得下一时段的商品量解得下一时段的商品量)(1)(1*1*1PxxbPaxPPaxxttt )(*xxabxt 由此导出一阶差分方程：由此导出一阶差分方程：*11xabxabxtt （4.18）此差分方程的解在此差分方程的解在(b/a)b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之，于稳定；反之，若若ab（商品紧缺易引起顾客抢购），该商（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品供售市场易造成混乱品供售市场易造成混乱 .如果生产者对市场经济的蛛

16、网模型有所了解，为了减少因价如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若若t 时段的商品量为时段的商品量为 xt 时，仍有时，仍有 （）（）将（）式、（）式代入（）式，整理得将（）式、（）式代入（）式，整理得)(*1xxbPPtt （4.19）但但t+1时段的商品量则不再为

17、时段的商品量则不再为)(1*1*1PPaxxtt 而被修正为而被修正为)2(1*1*1PPPaxxttt （4.20）由（由（4.19）式得）式得)(*1*xxbPPtt *11)1(2xabxabxabxttt （）（）（）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为（）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为022 abab 其特征根为其特征根为482ababab 记记abr 。若。若082 rr，则，则 24,max221 r 此时差分方程（）是不稳定的。此时差分方程（）是不稳定的。，若若082 rr，此时特征根，此时特征根2,1 为一对共轭复数，为一对共轭复数，)8(4122,1irr

18、r 22,1r 。由线性差分方程稳定的条件，由线性差分方程稳定的条件，当当r2即即b2a时（）式是稳时（）式是稳定的，从定的，从 而而M*是稳定的平衡点。是稳定的平衡点。不难发现，生产者管理方式的不难发现，生产者管理方式的这一更动不仅使自己减少了因这一更动不仅使自己减少了因价格波动而带来的损失，而且价格波动而带来的损失，而且大大消除了市场的不稳定性。大大消除了市场的不稳定性。生产者在采取上述方式来确定生产者在采取上述方式来确定各时段的生产量后，如发现市各时段的生产量后，如发现市场仍不稳定（场仍不稳定（b2a），可按类），可按类似方法试图再改变确定生产量似方法试图再改变确定生产量的方式，此时可得

19、到更高阶的的方式，此时可得到更高阶的差分方程。对这些方程稳定性差分方程。对这些方程稳定性条件的研究很可能会导出进一条件的研究很可能会导出进一步稳定市场经济的新措施。步稳定市场经济的新措施。例例4.15 国民经济的稳定性国民经济的稳定性 国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国民经济的稳定性问题。一下国民经济的稳定性问题。

20、再生产的投资水再生产的投资水 平平It取决于消费水平的变化量，设取决于消费水平的变化量，设0),(1 bCCbIttt政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设为常数为常数G。故由。故由GICyttt 可得出可得出GCCbayytttt )(11。将。将1 ttayC及及21 ttayC代入代入10,1 aayCtt。记记yt为第为第t周期的国民收入，周期的国民收入，Ct为第为第t周期的消费资金。周期的消费资金。Ct的值决的值决定于前一周期的国民收入，设定于前一周期的国民收入，设10,1 aayCttGabyybayttt 21

21、)1(（4.23）（4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为0)1(2 abba ，相应特征根为，相应特征根为1)1(4122 abba （4.24）成立时才是稳定的。成立时才是稳定的。（4.24）式可用于预报经济发展趋势。）式可用于预报经济发展趋势。现用待定系数法求方程现用待定系数法求方程（4.23）的一个特解）的一个特解ty。令。令Cyt 代入（代入（4.23）式，得）式，得aGC 1故当（故当（4.24）式成立时，差分方程）式成立时，差分方程（4.23）的通解为）的通解为aGtCtCytt 1)sincos(21 其中其中为为2,1 的

22、模，的模，为其幅角。为其幅角。例如，若取例如，若取41 a，21 b 易见，此时关系式易见，此时关系式（）成立，又若（）成立，又若 取取y0=1600，y1=1700，G=550，则由迭代公式，则由迭代公式Gabyybayttt 21)1(550838921 ttyy求得求得 y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,。易见易见22001 aGyt例例4.16 商品销售量预测商品销售量预测(实例实例)某商品前某商品前5年的销售量见表年的销售量见表。现希望根据。现希望根据 前

23、前5年的统年的统计数据预测计数据预测 第第6年起该商品在各季度中的销售量。年起该商品在各季度中的销售量。从表中可以看出，该商品在从表中可以看出，该商品在 前前5年相同季节里的销售量呈增年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应一种办法是应 用用最小二乘法最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以据的特征，可以按季度建

24、立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量大体按线性增长，可设销售量 batyt )1(由由2515125151515151 tttttttttyttya15253217152430151320271512182614111625121234第五年第五年第四年第四年第三年第三年第二年第二年第一年第一年销售量销售量季度季度 年份年份 515151,51 tttttyytayb 求得求得 a=1.3，b=9.5。根据根据 预测第六年起第一季度的销售量预测第六年起第一季度的销售量 为

25、为 =17.3，=18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第第t年第一年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：节季度的销售量，建立形式如下的差分方程：5.93.1)1(tyt)1(6y)1(7y110 ttyaay或或22110 tttyayaay等等。等等。上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合上述

26、差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立理的办法是用最小二乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立二阶差分方程二阶差分方程 22110 tttyayaay为例，为选取为例，为选取a0,a1,a2使使2211053)(ttttyyaay最小，解线性方程组：最小，解线性方程组：5322532115321053253125321153210531532532153103ttttttttttttttttttttttttttyyayayyayyyayyayayyayaya即求解即求解 531434483365914835384044364032

27、10210210aaaaaaaaa得得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶差分方程为。即所求二阶差分方程为2138 tttyyy 虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值的预测值 y6=21，y7=19，等。等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测年第一季度的统计数据完全吻合，但

28、用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异差异 应当应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。分方程。为此，将季度编号为此，将季度编号 为为t=1,2,20，

29、令，令410 ttyaay或或82410 tttyayaay 等，利用全体数等，利用全体数 据来拟合，求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例，为据来拟合，求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例，为 求求a0、a1、a2使得使得 282410209210)(),(ttttyayaayaaaf最小最小求解线性方程组求解线性方程组 2098220928120948020982094220984120924020942092209812094012ttttttttttttttttttttttttttyyayayyayyyayyayayyayaya即求解三元一次方程组即求解三元一次方程组 4747400

30、9437620951934376478922924920922912210210210aaaaaaaaa解得解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2,故求得二阶差分方程故求得二阶差分方程841941.08737.06937.0 tttyyy（t21）根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为测值为y21，y25还是较为可信的。还是较为可信的。例例4.16 人口问题的差分方程模型人口问题的差分方程模型 在在3.2中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模中，我们已经讨论了人口问题的两个常微分方程模型型Malthus模型

31、模型和和Verhulst模型模型（又称（又称Logistic模型）。模型）。前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时前者可用于人口增长的短期预测，后者在作中、长期预测时 效果较好。效果较好。1、离散时间离散时间 的的Logistic模型模型在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的的时间变量更为方便。例如，有些种群具有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。繁殖期，按时段统计种群数量更接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征，但人口普查不可

32、能连续统计，任何人口增长虽无这种特征，但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范方式的普查都只能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十围的普查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题十分自然地提了出来。分自然地提了出来。建立离散模型的一条直接途径是建立离散模型的一条直接途径是 用用差分代替微分差分代替微分。从人口问。从人口问题的题的Logistic模型模型 NPaPPaaPdtdP1)(aaN 可导出一阶差分方程可导出一阶差分方程)1(1NPaPPPtttt （）（）(4.25)式中右端的因子式中右端的

33、因子 常被称为常被称为阻尼因子阻尼因子。当当PtN时，种群增长接时，种群增长接 近近Malthus模型；当模型；当Pt接近接近N时，这一因子时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，将越来越明显地发挥阻尼作用，若若PtN，它将使种群增长，它将使种群增长速度速度 在在Pt接近接近N时变得越来越慢，若时变得越来越慢，若 PN，它将使种群呈负，它将使种群呈负增长。增长。)1(NPt（）式可改写为（）式可改写为 tttPNaaPaP)1(1)1(1（）（）记记 tttPNaaxaP)1(1),1(1,于是于是()式又可改写为式又可改写为,2,1,0 ),()1(1 txfxbxxtttt（）（）虽然，（

34、虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（差分方程（4.27）有两个平衡点，）有两个平衡点，即即x*=0和和 。类。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（到确定（时不能确定除外）。例如，对时不能确定除外）。例如，对 ，讨论讨论 在在x*处的线性近似方程处的线性近似方程bbx1*1 bbx1*)(1ttxfx )(*1xxxfxxtt 可知，当可知，当12)(*bxf（即（即31 b）时平衡点）时平衡点bb1 是稳定的，此时是稳定的，此时NxaNaPtt )1(（11*aabbxxt）若当若当 ，则平稳点，则平稳点 是不稳定的，（这与对是不稳定的，（这与对 一切一切a，p*=N均为均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。方程的稳定平衡点不同）。12 b bb1