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1、抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质(2)2023年年3月月8日星期三日星期三方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0 yRxRy0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）复习回顾：复习回顾：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断、根据几何
2、图形判断的直接判断2、直线与圆、直线与圆锥曲线的公锥曲线的公共点的个数共点的个数 Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程二次方程)解的个数解的个数形形数数判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00=00)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，求证：求证：OAOB.OAOB.2y证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),
3、B(2p,-2p)A(2p,2p),B(2p,-2p)所以所以 =1=1，=-1=-1因此因此OAOBOAOBOAKOBKxyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)变式变式1:1:若直线若直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)且与抛物线且与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.2yxyOy2=2pxABlP(2p,0)2:22l xmypypx设代如得22240ypmyp1122,A x yB xy设、122yypm+=2124y yp=-1 212(2)(2)xxmyp m
4、yp=+2212122()4m y ypm yyp=+222(4)2(2)4mppmpmp=-+24p=1212OA OBx xy y=+224(4)pp=+-0=OAOB OAOB变式变式1:1:若直线若直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)且与抛物线且与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，求证：两点，求证：OAOB.OAOB.2yxyOy2=2pxABlP(2p,0)2:22l xmypypx设代如得22240ypmyp1122,A x yB xy设、122yypm+=2124y yp=-1212OA OBx xy y=+224(4)pp=+-0=O
5、AOB OAOB2112yxp=2222yxp=22121222yyx xpp=2122()4yyp=222(4)4pp-=24p=变式变式2 2：若直线若直线l l与抛物线与抛物线 =2px(p0)=2px(p0)交于交于A A、B B两点，两点，且且OAOB OAOB，则，则_ _ _.2y直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)xyOy2=2pxABlP2:2l xmyaypx设代如得2220ypmypa1122,A x yB xy设、22121212222yyy ypaxxpp 又、212x xaOAOBOAOB 0OA OB=12120 x xy y+=220apa-=0,
6、2aap=或由题，取由题，取 a=2p:2l xmyp=+直线直线l过定点过定点(2p,0)高考链接：过定点高考链接：过定点Q Q（2p,0)2p,0)的直线的直线与与y2=2px（p0）交于相异两点交于相异两点A、B，以，以线段线段AB为直径作圆为直径作圆C(C为圆为圆心心），试），试证明抛物线顶点在圆证明抛物线顶点在圆C上。上。xyOy2=2pxABlQ(2p,0)即证即证 OAOB2:22l xmypypx设代如得1122,A x yB xy设、22240ypmyp122yypm+=2124y yp=-1 212(2)(2)xxmyp myp=+2212122()4m y ypm yyp=+222(4)2(2)4mppmpmp=-+24p=1212OA OBx xy y=+224(4)pp=+-0=OAOB OAOB抛物线顶点抛物线顶点O在圆在圆C上上
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