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1、第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束),(0000zyxM2.对称式方程对称式方程故有说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知
2、直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量,),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.参数式方程参数式方程设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直
3、线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1.两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL02121
4、21ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求以下两直线的夹角解解:直线直线二直线夹角 的余弦为(请看P332 例2)13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与
5、平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例例3.求过点(1,2,4)且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束)1,2,1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法
6、向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积.),2,1(isi,n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线例例4.nOA2L2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L)1,2,1(Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)1()2(2)1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx
7、0000,2yzyx将代入上式,得由点法式得所求直线方程而)1,2,1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L)1,2,1(A),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面束平面束01111DzCyBxA02222DzCyBxA设有两不平行平面：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1：2：则交线方程为xyzo1 2 LL01111DzCyBxA02222DzCyBxA11112222()0,(3)A xB yC zDA xB yC zD三元方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 111222,A B CA B C与121212,AA BB CC对于
8、任意的不成比例.所以，对任意，不全为零.从而（3）表示一个平面.11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD机动 目录 上页 下页 返回 结束 在L上任取一点P，则P点的坐标同时满足(1),(2)两个平面方程，因此也满足方程(3).所以，方程是(3)通过L的平面.反之，通过直线L的任意平面(2)除外)均包含在由方程(3)所表示的平面族内.11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD通过
9、直线L的所有平面的全体称为平面束.方程（3）就是通过L的平面束方程.实际上,该平面束缺少了一个平面，就是平面(2).方程(3)可改写成：12121212()()()()0,(4)AA xBByCCzDD机动 目录 上页 下页 返回 结束 11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD12121212()()()()0,(4)AA xBByCCzDD例例5 5.求直线0 xyz0 xyz解解:过直线1010 xyzxyz 1010 xyzxyz 该平面与(1)(1)(1)(1)0,(1)xyz
10、 的平面束方程为其中是待定常数，机动 目录 上页 下页 返回 结束 在平面上的投影直线方程.垂直的条件是(1)(1)(1)0 从而=-1，将其带入到（1）式的投影方程100yzxyz 1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms)
11、,(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束,0DzCyBxACpBnAm平面 :L L/夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.4.平面束平面束机动 目录 上页 下页 返回 结束 11112222111122220,(1):0,(2)()0,(3)A xB yC zDLA xB yC zDA xB yC zDA xB yC zD12121212()()()()0,(4)AA xBByCCzDD
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