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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数齐次线性微分方程的解法 基本思路:求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第八章 二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1.当042qp时,有两个相异实根,21r,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r 为待定常数),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.7.1 二阶常系数
2、齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的解法2.当042qp时,特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解(u(x)待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u=x,则得,12xrexy 因此原方程的通解为1112r xr xyC eC xe,2p.11xrey)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)
3、sin(cosxixex 利用上节定理7,得原方程的两个线性无关特解:1cos,xyex2sinxyex因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy 20rprq特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prr1112r xr xyC eC xeir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解机动 目录 上页 下页 返回 结束 求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的一般步骤：第一步,写出方程的特征方程；第二步,求出特征根；第三步,根据特征根的形式按上述三种情况写出其通解
4、.例例1.032 yyy求方程的通解.解解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2.求解0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解:特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为12ttsC eC te利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求微分方程250yyy的通解。解解 其特征方程为2250,rr 特征根为一对共轭复根1,21 3,ri 所以通解为12cos3sin3.xyeCxCx例例4.求以3cos2xyex为一个特解的二阶常系数齐次线性微
5、分方程。解解 有特解形式知12i是特征根，由韦达定理可得特征方程为2250,rr故所求微分方程为250.yyy若特征方程含 k 重复根,ri若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)(121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC8.7.2 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法阶常系数齐次线性微分方程的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：例例5.052)
6、4(yyy求方程的通解.解解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例6.0)4()5(yy解方程解解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),132xexxx推广 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxreCeCy212121rr(2)当时,通解为xrexCCy1)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(21xCxCeyxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P340 1(1),(3),(5),(7);2(1),(3);3;4 第九节 目录 上页 下页 返回 结束
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