工程电磁场：第三章恒定磁场

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1、第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场第三章 恒定磁场Steady Magnetic Field恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件序磁感应强度磁通连续性原理安培环路定律磁矢位及边值问题磁位及边值问题镜像法电感磁场能量与力磁路下 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场Introduction3.0序 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。恒定磁场的知识结构。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场磁矢位（A）边值问题解析法数值法有

2、限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律(安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥沙伐定律)H 的旋度基本方程B 的散度磁位()m分界面衔接条件下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场本章要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。了解磁路及其计算方法。下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.1.1 安培力定律(Amperes Force Law)l lRRII20)d(d4ellF 两个载流回路之间的作用力 F3.1 磁感

3、应强度Magnetic Flux Density图3.1.1 两载流回路间的相互作用力下 页上 页返 回式中，为真空中的磁导率 0第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场lI30)(d4rrrrl磁场力BlellFlllRIRIId)d4(d20电场力EeFqRVqRV)d41(20定义：磁感应强度lRRI20d4elB单位 T（Wb/m2）3.1.2 毕奥沙伐定律、磁感应强度 (Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density)力=受力电荷 电场强度下 页上 页返 回力=受力电流 磁感应强度第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。VVd)

4、()(430rrrrrJB体电流SSd)()(430rrrrrKB面电流下 页上 页返 回lI30)(d4rrrrllRRI20d4elB线电流第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场zzIBLLd)(412232204222221210LLLLI)sinsin(4210I当 时，21LL ,eB20IRel dezsindesindzezRd例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。解:采用圆柱坐标系，取电流 I dz，LRRI20d4elB式中222zR下 页上 页返 回图3.1.2 长直导线的磁场第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环，试

5、求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B。根据圆环电流对 P 点的对称性，0d sinddyxBBBrR/sin)(42sindd220 xRIBl解：元电流 在 P 点产生的 为 IdlB204ddrIrelB)d(rIel图3.1.3 圆形载流回路下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场xlxRIeldsin)(4220图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布xRxRRxRIe2)(422220 xxRIRe2/32220)(2sin)(42sindd220 xRlIBxxxB eB 下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 根据对称性,By=0)(2d2dcos2dd2

6、2000yxxKyyxKxKBx解：取宽度 dx 的一条无限长线电流xB)(d2220yxxKy020yKxe020yKxe B 例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流 ,试求磁感应强度 B 分布。zK eK K下 页上 页返 回图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布x00yxarctg2Ke第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.2 磁通连续性原理 安培环路定律 表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。VRzyxzyxVRd),(4),(20eJB3.2.1 磁通连续性原理(Magnetic Flux Continue Theorem)1.恒定磁场的散度 可作为判断一个矢量场是否为恒

7、定磁场的必要条件。0 BMagnetic Flux Continue Theorem&Amperes Circuital Law进行散度运算后0 B图3.2.1 计算体电流的磁场下 页上 页返 回SCCSSRdSRIdldSRRIdldSB303044上式中，上式中，故可将其改写为，故可将其改写为 RRR13SSCdSRIdldSB140由矢量恒定式由矢量恒定式 VSdSAAdV则有则有 dVRIdldSBVSC140而而梯度场梯度场是是无旋无旋的，的，01R所以所以 SdSB0第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场2.磁通连续性原理 表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。直角坐标系zByB

8、xBzyxddd3.磁感应线磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通SSB d单位：Wb(韦伯)0 B根据VVdB有0d lB磁感应线方程散度定理0d SBs图3.2.2 B 的通量下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场磁感应线的性质：图3.2.3 导线位于铁板上方图3.2.4 长直螺线管的磁场磁感应线是闭合的曲线;磁感应线不能相交；磁感应强处，磁感应线稠密，反之，稀疏。闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场图3.2.5 一对反向电流传输线图3.2.6 一对同向电流传输线图3.2.7 两对反相电流传输线图3.2.8 两对同向电流传输线下

9、 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.2.2 安培环路定律(Aperes Circuital Law)1.恒定磁场的旋度zxyyzxxyzzyxzyxyBxBxBzBzByBBBBzyxeeeeeeB)()()(在直角坐标系中 VVzyxd)(),(430rrrrJB（毕奥沙伐定律）恒定磁场是有旋场0 )(0JrB（有电流区）（无电流区）旋度运算后，得到下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场03034()4CCIdlRB dldlRIRdldlR 3()()dldlRdR CCdIdlB404Cd0CdC和C相交链相交链C和C不相交链相交链交链交链第第 三三 章章恒定

10、磁场恒定磁场CCdSBdlB)(SdSJI 根据斯托克斯定理，可以导出根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律安培回路定律的的微分形式微分形式：当穿过积分回路当穿过积分回路C C的电流是几个电流时，的电流是几个电流时，可以得到可以得到为一般形式：为一般形式：IdlBC01.1.安培环路定律（真空）安培环路定律（真空）以长直导线的磁场为例以长直导线的磁场为例eB2I0（1 1）安培环路与磁力线重合）安培环路与磁力线重合Id2Id0200LlB（2 2）安培环路与磁力线不重合）安培环路与磁力线不重合Id2IdlBCosdL2000LlBcosdld 圆弧为（3 3）安培环路不交链电流）安培环路不交链

11、电流L000L0d2IdlBCosdlB（4 4）安培环路与若干根电流交链）安培环路与若干根电流交链k0LIdlB该结论适用于其它任何带电体情况。该结论适用于其它任何带电体情况。强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场2.真空中的安培环路定律用斯托克斯定理nkklI10dlB 环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？真空中的安培环路定律Il0dlBJB0 B 的旋度SJSBdd)(0SS等式两边取面积分思考当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正值，否则取负；下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定

12、磁场恒定磁场LKLBLBl021dlB根据对称性BBB21ByKe20yKe200 x0 x例3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。解：定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺旋下 页上 页返 回图3.2.9 无限大载流导板第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场例例半径为半径为a a的无限长直导线，载有电流的无限长直导线，载有电流I I，计算导体，计算导体内、外的磁感应强度。内、外的磁感应强度。解解:SCdSJrBdlB02在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，02aIeJz r a ra 当ra时，2022022aIrBaIrrB当ra时，rIBIrB2200第第 三三 章章恒定磁场

13、恒定磁场解：平行平面磁场,eBB)(212221III例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。21202dIBllBeB2102I故10)1图3.2.11 安培定律示意图安培环路定律Il0dSB下 页上 页返 回图3.2.10 同轴电缆第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场22232230)(2dIBllBeB222322302I得到21)2IBl02dlB得到e20IB B22232232223222IIII,32)3下 页上 页返 回图3.2.12 同轴电缆的磁场分布第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.介质的磁化（magnetization）2）介质的磁化 无外磁场作用时，介质对

14、外不显磁性，nii10m1）磁偶极子(magnetic dipole)nii10m 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，SmdIAm2 磁偶极矩(magnetic dipole moment)图3.2.14 介质的磁化下 页上 页返 回图3.2.13 磁偶极子m=IdSdS第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 转矩为 Ti=miB，旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。磁化强度（magnetization Intensity）VniiV10limmM（A/m）图3.2.15 磁偶极子受磁 场力而转动下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3）磁化电流体磁化电流

15、MJmnmeMK面磁化电流例 3.2.3 判断磁化电流的方向。有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化电流共同作用，在真空中产生的。磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场4）磁偶极子与电偶极子对比下 页上 页返 回模 型极化与磁化 电场与磁场电偶极子磁偶极子dp qSmdIMJmnmeMKnePpP-p第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场4.有磁介质时的环量与旋度00()dSu I MSIl0dlB)(m0II SJdm00sI00dlu I Ml移项后IllMBd)(0定义：磁场强度MBH-0 A/m则有IllH d安培环路定律下 页上 页返

16、回图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？图3.2.17 H 的分布与磁介质有关图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？有磁介质存在时，重答上问。IllH d安培环路定律思考下 页上 页返 回图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场说明说明:H的环量仅与环路交链的自由电流有关。的环量仅与环路交链的自由电流有关。环路上任一点的环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。是由系统全部载流体产生的。电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否电流的正、负仅取决于环路与电

17、流的交链是否满足右手满足右手 螺旋关系，是为正，否为负。螺旋关系，是为正，否为负。第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场5.B 与 H 的关系实验证明，在各向同性的线性磁介质中积分式对任意曲面 S 都成立，则JH 恒定磁场是有旋场6.H 的旋度B即r相对磁导率。)(0MHB)1(m0HHHr0SlISJlHddSSSJSHdd)(斯托克斯定律斯托克斯定律 磁化率。mr0 H/m磁导率下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 解:在镯环中,为有限值，故H=0。HBNIllH dNIrH,eHrNIeBrNI0 例3.2.4 一矩形截面的镯环，镯环上绕有 N 匝线圈，电流为 I，如图示，试求气

18、隙中的 B 和 H。取安培环路的半径,且环路与 I 交链，21RrR 图3.2.18 镯环磁场分布忽略边缘效应下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 解:平行平面磁场，且轴对称，故IHl2dl 例 3.2.5 有一磁导率为，半径为 a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气，磁导率为 0，试求 B，H 与 M 的分布。磁场强度02eHI下 页上 页返 回图3.2.19 磁场分布第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场HBM0aIe200BaI02e=aIe20a0下 页上 页返 回图3.2.20 场量分布第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场1111000rzrzmrzrr

19、rrJMrzrzMMMM eeeeee磁化体电流密度为第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场00()(1)(1)22msrrIIJMnMkaa eee00(1)2(1)2mmsIIJdlaIa 故总磁化面电流为磁化面电流在圆柱表面，其方向与I 相反。磁化面电流密度为ImIm第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场例：一长直圆柱体导线由内外两种导电材料构成，其截面如图所示，求内外的导体磁场强度。同轴线横截面 R1R22211 解:平行平面磁场，且轴对称，故22211221()IJRJRR1122JJ1122JJ112222121()IJRR 222222121()IJRR 第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场11

20、)0 rR 122)RrR 21d21lrHJr 1l2221121d2()2lrHJRJrR 2l1111221J rJ rHB2221121()22J RJrRHr222112122()2J RJrRBr第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.3.1 基本方程(Basic Equations)构成方程HB恒定磁场的基本方程表示为S0dSB（磁通连续原理）0 BIllH d（安培环路定律）JH 恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。3.3 基本方程、分界面衔接条件Basic Equations and Boundary Condition下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定

21、磁场3.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)1.B 的衔接条件nnBB21B 的法向分量连续2.H 的衔接条件 H 的切向分量不连续KHH2t1t(K=0时)2t1tHH 根据02l,dIllH得112t11tlKlHlH0dSBs,由 可得0l根据下 页上 页返 回图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场例.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。图3.3.3 铁磁媒质与空气分界面解：0 0tantan12201得由3.折射定律媒质均匀、各向同性，分界面 K=02121tantan折射定律 表

22、明只要 ，空气侧的B 与分界面近似垂直，铁磁媒质表面近似为等磁面。902下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场m磁位 A（安培）3.4 磁位及其边值问题Magnetic Potential and Boundary Value Problemm3.4.1 磁位 (Definition Magnetic Potential )m无电流区0HmHlH dml磁位 仅适合于无自由电流区域;m等磁位面（线)方程为 常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直;m的多值性。m下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场,dmAlBAlH则 证明:设 B 点为参考磁位，AlBmAllHlH

23、ddIAA mm推论 kIAA mm 规定:积分路径不得穿过磁屏障面。AmBAlH dmlHlHddBmAAlB图3.5.1 磁位 与积分路径的关系m下 页上 页返 回积分路径不得穿过从电积分路径不得穿过从电流回路为周界的流回路为周界的 S S 面面第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场图3.5.2 等磁位线与等电位线的类比图3.5.3 线电流 I 位于两铁板之间的磁场图3.5.4 线电荷 位于两导板之间的电场下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场在直角坐标系中02m22m22m2m2zyx2.分界面上的衔接条件由2n1n2t1tBBHHnn2m21m12m1m0m2（仅适用于无电流区域

24、）1.微分方程m0HH0Bmm)(mH003.4.2 磁位 的边值问题(Boundary Value Problem of )mm下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.5.1 磁矢位 A 的引出 （Definition Magnetic Vector Potential A)由ABAB00 A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。3.5 磁矢位及其边值问题Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.5.2 磁矢位 A 的边值问题 （Boundary Value Probl

25、em of A)1.微分方程及其特解JA2（矢量）泊松方程 02 A（矢量）拉普拉斯方程 当 J=0 时 0 BAB从基本方程出发01/HJBAJAJAA2)(矢量运算0 A取库仑规范（Coulombs gauge)下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场令无限远处 A=0（参考磁矢位），方程特解为VVzzyyVxxRVJARVJARVJAd4;d4;d4VRVd4JA矢量合成后，得zz2yy2xx2JA;JA;JA 在直角坐标系下，可展开为JA2 面电流元与线电流元引起的磁矢位为lRI lAd4SRSd4KA下 页上 页返 回dA方向与电流方向一致。RVdd4JA第第 三三 章章恒

26、定磁场恒定磁场2.分界面上 A 的衔接条件a)围绕 P点作一矩形回路，则lSSlASASBdd)(dm当 时,02L,0d ,0mlAl下 页上 页返 回图3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件ttAA21(1)有与ttlEE21,0dlE对比，第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场b)围绕 P点作一扁圆柱，则SV0ddVASA表明 在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。从式(1)、(2)得21AA 当 时，0L,0n2n1SASA2n1nAA(2)ttAA21(1)下 页上 页返 回图3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场由 有KHH2t1tKAAtt)(1)(1221121

27、AA KnAnA221111对于平行平面场，zzzAAeeA如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 3.5.3 磁矢位 A 的应用（Application of A)1)由磁矢位 A 求 B解:取圆柱坐标系2/2/0d4llzrzIAlzzrIAleAd40图3.4.3 位于坐标原点的短铜线 例3.4.1 空气中有一长度为空气中有一长度为l，截面积为，截面积为 S ，位于，位于 z z 轴上的短铜线，电流轴上的短铜线，电流 I I 沿沿 z z 轴方向，试求离铜线较远处（轴方向，试求离铜线较远处（r l ）的磁感应强度。）的磁感应强度。220

28、4zIlAzlr 由于下 页上 页返 回可以忽略z22rz第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场eAAAeeeABzzzAz11根据eeBsin4)(4023220rlIzlI能否用安培环路定律求解此问题?思考2204zIlAz下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场LLzzI21220)(d4ln)ln(2220LLI 例3.5.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流细导线产生的磁场。)(2ln20LLIALLrzId40 解:定性分析场分布，zAeAeeAB20IAZ磁感应强度下 页上 页返 回图3.4.4 长直载流细导线的磁场第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 解:由上例计算结果,两导

29、线在 P 点的磁矢位2021012ln2 2ln2LIALIA例 3.5.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。zeI12021ln2AAAzyxbyxbIe22220)()(ln4总的磁矢位yxxAyAeeAB磁感应强度下 页上 页返 回图3.4.5 圆截面双线输电线第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3)在平行平面场中，等 A 线就是磁感应线。lASASBdd)(dlSSWb（韦伯）下 页上 页返 回 2)由磁矢位 A 计算磁通zzxyxyzijkijB iB jxyzyx AABAAAA根据磁矢位 A 只在只在 z 轴方向由分量轴方向由分量Az，Ax=0、Ay=0 第第 三三 章章恒定磁场恒定

30、磁场yzxzxAyAee图3.4.6 等 A 线与 B 线关系磁感应 线方程0ddxByByx(1)xABzyyABzx得(2)yyxxBBee AB由下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 在轴对称场中，为等 A 线。constAconstZA0dddZzzAxxAyyA式（2）代入式（1）B 线方程0ddxByByx(1)xABzyyABzx(2)下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场即平行平面磁场中的等即平行平面磁场中的等 A 线可以代表线可以代表 B 线线。图图3.4.2 3.4.2 A 线线,等等 A 线与线与 B 线关系线关系等等 A 线不是线不是 A 线，

31、只涉及线，只涉及 A的的大小，不涉及方向。因此，等大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映线仅反映B的大小分布。的大小分布。第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场两线输电线的等A 线方程为偏心圆方程,)()(22222kbxybxy222)(ayhx相似图3.4.7 双线输电线的磁场等A线下 页上 页返 回图3.4.8 双线输电线的电场等 线021ln2zIeA22222212()()11KbKxbyKK第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场通解2112()ln4JACC432ln)(CCA2111()AAJa 4)由微分方程求 A 例3.5.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试求导体内外的磁矢

32、位 A 与 磁感应强度 B。0)(1222AAa 解:采用圆柱坐标系，且 )(fA zA eA 下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场221,4zaJAezaJaeAln41202解得通解2112()ln4JACC432ln)(CCA边界条件01aA（参考磁矢位）(1)01A(2)有限值21AA 21011AA(3)(a下 页磁感应强度2022JaAa JaeeeAB上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场m位 函 数比较内容引入位函数依据位与场的关系微分方程位与源的关系电位磁位磁矢位A A0 E0 H0 BE0dplE2mH0mdplH0m2ABSlSBlAddJA2(有源或

33、无源）(无源）(有源或无源）VrV4dVrV 4d0JA4mI3.5.4 磁位、磁矢位与电位的比较 (Comparison of 、A and ）m下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场下述两个场能进行磁电比拟吗？由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条件相同，所以可以磁电比拟。思考下 页上 页返 回图3.5.7 恒定磁场与恒定电流场的比拟第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场联立求解IIII12112122 根据惟一性定理由 ,2t1tHH 由 n2n1BB 3.6 镜像法Image Method(1)III sin2sin2sin2rIrIrI(2)III 21)(cos 2cos 2

34、cos 2211rIrIrI 图3.6.1 两种不同磁介质的镜像下 页上 页返 回021第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场空气中)(2221101eeBrIrI铁磁中磁感应强度 B2=0 吗？例3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。0解：镜像电流III 200202200 IIeHBrI22222 eerIrI2)2(02002图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像 思考下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场磁场分布的特点：解：镜像电流III2121III22211 例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？图3.6.3 线电

35、流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的2倍。)(02铁磁表面近似为等磁位面。空气中的磁感应线与其垂直。下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 基本概念 1、磁链：、磁链：一个线圈或电流回路各匝导线交链的磁通总和。2、内磁链、内磁链：磁通穿过导线界面或者完全在导线内部闭合，只与导线的部分电流交链。3、外磁链：外磁链：磁通环绕着电流在导线外部闭合，与导线的中全部电流交链。N匝线圈的磁链为：3.7 电 感InductanceN第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场1INI元内磁通交链的电流一匝的全部电流4 4、自感磁链、自感磁链内磁链外磁链5 5、分数匝数、分数匝

36、数6 6、互感磁链：在回路、互感磁链：在回路1 1中通以电流，回路中通以电流，回路2 2所环绕的磁链所环绕的磁链eB20I无限长直导线的磁感应强度第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.7.1 自感（Self-Inductance）回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。H（亨利）IL L=内自感 Li+外自感 L0求自感的一般步骤：设),(0iLLLIBHA图3.7.1 内磁链与外磁链下 页上 页返 回N第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场IllH d例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。1.内导体的内自感 )0(1解:SB dd磁通,221IH 匝数212IIN8011lIL

37、ii内自感因此，SiNd110212210d2lI80lI下 页上 页返 回图3.7.2 同轴电缆截面221I221Id2210lI与导线半径无关第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场2.外导体内自感 )(32图3.7.3 同轴电缆22232230022IIB由例3.2.2 知ddd2lBSBi)(8)()(2ln)(222232223022232302322223230lll32d12BlNILi2223223IIN匝数下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.外自感 )(21120000ln2d2121lIIIL20IB d2dd000lI总自感210iiLLLL下 页上 页返 回2

38、22220003303032222222212323232()ln()ln2822()8()llllL 第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场RDRxlxDxId)(1120RRDIlln0RRDlILln00)(2200 xDIxIBI设总自感为RRDllLLLiln4200002LLLi总自感解:内自感,80lLi解法一0LB由例 3.7.2 试求半径为R的两平行传输线自感。图3.7.4 两线传输线下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场zRDxzRxRDRIRRDIeAeAln2ln20201解法二0LA由lAlAl21dlAILRRDlI00lnRRDlILln00图3.7.5 双

39、线传输线下 页上 页返 回zeI120ln2AabbccddaAcd=Aab=0第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.7.2 互感（Mutual Inductance）互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。计算互感的一般步骤：设 d 22121111sSB BHI12121 IMA21M可以证明21212IM,12121IM12121 IMH（亨利）下 页上 页返 回图3.7.6 电流I1 产生与回路L2交链的磁链第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场图3.7.7 两对传输线的互感解：设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链导线 B

40、 作用00mmln22BCBDrBBBCBBrBDI lI lDdrD合成后0mm0d2ln2ADACrAAASrAADACI ldrI lDDBS导线 A 作用20IB例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。BDACBCADBADDDDlIln20mmmBDACBCADDDDDlMln20下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.7.3 诺依曼公式（Neumanns Formula）1.求两导线回路的互感 互感 21122112121dd4lloMRIMll设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为1110d4lRIlA穿过回路 2 的磁通为 212110d)d(4ll

41、RIll2221dllA图3.7.11 两个细导线电流回路下 页上 页返 回(由磁失位计算电感的一般表达式)第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场2.用诺依曼公式计算回路的外自感外自感 212100dd4llRILll1110d4lRIlA电流 I 在 l1 上产生的磁矢位为 2122102dd4dlllRIlllA与 l2 交链的磁通为 设电流 I I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过外表面轮廓 l2 所限定的面积。下 页上 页返 回图3.7.12 线圈的自感第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 媒质为线性；磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关

42、。假设：磁场能量的推导过程3.8.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）3.8 磁场能量与力Magnetic Energy and ForcenkkkninjjiijnkkkIIIMILW11112m212121)0(i自有能互有能下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 是回路是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。自独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。有能量始终大于零。2kkIL21 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反当两个载流线圈产生的磁通是相互增

43、加的，互有能为正；反之为负。之为负。jiijIIM 对于单一回路对于单一回路2m2mIW2LLI21W第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场由矢量恒等式AHHAAH)(3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度 (Energy Distribution and Energy Density)knkkIW1m21nkkVVk1 d21JASVd21HAlA d211nklkkIn得VVWVVd21d)(21mBHAH0SVVBHSAHd21d)(21下 页上 页返 回第一项为 02d,1,1rSrr2AH由于r所以时，第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场VVBHdd21mmVVwW J（焦耳）磁能密度22m21

44、2121BHwBH3mJ磁场能量是以密度形式储存在空间中。下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场解:由安培环路定律121022210222dlHdlH1220ln414lI自感1202mln4122lIWL 例 3.8.1 试求长度为 l,通有电流 I 的同轴电缆储存的磁场能量与自感。磁能VWVd21mBHVVH d21201211022eeHII2122eHI下 页上 页返 回图3.8.1 同轴电缆截面第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有有专家预测，专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源

45、代表的时世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。代。高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源源受控热聚变受控热聚变,磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。导磁动力船己向我们驰来。3.8.3 磁场力(Magnetic Field Force)第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场1.安培力BlFlId解:定性分析场分布B 板的磁场)(20yaIeBA A 板受力SS BKFd)(2)(d00yazaIy

46、baIee)(220 xabIe例3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。下 页上 页返 回图3.8.2 两平行导板间的磁力第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场2.虚位移法（Method of False Displacement)电源提供的能量=磁场能量的增量+磁场力所做的功 常电流系统 外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。constmddkIWgf n 个载流回路中，当仅有一个广义坐标发生位移dg，系统的功能守恒是gfWWdddm广义力constmkIgWfgfIInkkkknkkd)21(d)(d11即下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场 常磁链系统cons

47、tmddkWgf 磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量广义力constmkgWf 取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。两种假设的结果相同，即constmconstmkkgWgWfI0dmW下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场解：系统的相互作用能为21mIMIWMBmT用矢量表示为例 3.8.3 试求图中载流平面线圈的转矩。选 为广义坐标，对应的广义力是转矩，T 0表示转矩企图使 减小，使该回路包围尽可能多的磁通。cm1IMWT sin1BSIsinBm 下 页上 页返 回图3.8.3 外磁场中的电流回路121Icos1

48、BSI第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场3.法拉第观点 法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂直方向受到侧压力,其量值都等于2212122BHBHf N/m2图3.8.7 载流导体位于铁板上方 例 3.8.5 试判断物体受力情况。下 页上 页返 回图3.8.5 向量管受力图3.8.6 电磁铁第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功,过程中，外源所做的功110Ii从 A10111dIi0d1A21121IL10111dIiiL推导磁场能量表达式ttdd,dd2121111102i（1）从 1i,01I的感应电动势为t 时刻，l1、l2中111111111

49、1ddddd)(ditittiA即下 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场（2）不变，从 ,1I2i20Ittdd,dd12122222若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功2222222222ddddd)(diiLtittiA 不变，从 过程中，外源所做的功 2i1I20I 21AAA2222121ILIMI22002222121ddIIiiLiMI21121121121ddddd)(diIMtIttIA 即的感应电动势为t 时刻，l1、l2中下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场22221211 m2121ILIMIILAAW)(21)(2122211211IILM

50、IIMIIL22112121II2121kkkI总磁能jijiiiiIIijijILM 2121212121上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场矢量恒等式CAACCA)(故0 BVrzyxVd)1(),(40J取散度VrzyxzyxVrd),(4),(20eJB则)1(),(),()1()1(),(rzyxzyxrrzyxJJJ00 推导 B 的散度VrzyxzyxVrd),(4),(20eJB0返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场无感电阻下 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场无感电阻上 页返 回下 页第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场江泽民总书记乘坐高温超导磁悬浮实验车下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场世界首辆载人高温超导磁悬浮实验车下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场高温超导磁悬浮模拟实验车下 页上 页返 回第第 三三 章章恒定磁场恒定磁场常导磁悬浮实验下 页上 页返 回