《高等数学教学课件：11-8 周期为2l 的周期函数傅里叶级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学课件：11-8 周期为2l 的周期函数傅里叶级数（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、1周期为周期为2l 的周期函数的周期函数的的 傅里叶级数傅里叶级数典型例题典型例题小结小结 思考题思考题 作业作业第八节第八节 周期为周期为2l 的周期函数的的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数2,2lT T 2定理定理)sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏级数中代入傅氏级数中 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数l 一、以一、以2l为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f(x)满足收敛满足收敛定理的条件定理的条件,则它的傅里叶级
2、数展开式为则它的傅里叶级数展开式为3为为其中系数其中系数nnba,xlxnxflallndcos)(1 xlxnxflbllndsin)(1 则有则有 1sin)(nnlxnbxf).,3,2,1(n),2,1,0(n),2,1(nxlxnxflblndsin)(20 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数奇函数奇函数,(1)如果如果 f(x)为为其中系数其中系数 4则有则有 10cos2)(nnlxnaaxf),2,1,0(nxlxnxflalndcos)(20 注注改改为为只只是是把把 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数偶函数偶函数,.l(2
3、)如果如果 f(x)为为其中系数其中系数以以2l为周期的函数的傅里叶级数有一样为周期的函数的傅里叶级数有一样的收敛定理的收敛定理,5二、典型例题二、典型例题解解1 l lxxfla00d)(232d2102 xxxlxnxflalndcos)(20 102dcos2xxnx 2)(4)1(nn ),3,2,1(n得得xnnxnn cos)1(4311222 1,1 x周周期期延延拓拓将将)(xf周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数例例偶函数偶函数,余弦级数余弦级数展开为展开为 f(x)为为.)(1,12展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数上把上把在在xxf 6解解.,2 满
4、足狄氏充分条件满足狄氏充分条件 l 0ak dxlxnxflalln cos)(12 l 02d021x 20d21xk周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数例例将其展成傅氏级数将其展成傅氏级数.20,02,0)(xkxxf上上它在它在)2,2 的的图图形形)(xfkOxy2 244 和函数的图形和函数的图形kOxy2 244 设设 f(x)是是周期为周期为4的周期函数的周期函数,的表达式为的表达式为7 20d2cos21xxnk,0 20d2sin21xxnkbn)cos1(nnk )25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf ),4,2,0;(xx
5、na),2,1(n,5,3,1 n nk2,6,4,2 n0周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数和函数的图形和函数的图形kOxy2 244 8例例 函数函数 lxlxllxxxf2,20,)(试将试将f(x)分别展成分别展成以以2l为周期的为周期的正弦级数正弦级数和和余弦级数余弦级数.解解(1)求正弦级数求正弦级数.lnxxlnxflb0dsin)(2 0 na 20dsin2lxxlnxl xxlnxlllldsin)(22 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数奇延拓奇延拓.Oxy2l2ll2l l 对对f(x)进行进行92sin422 nnl
6、bn xlnbxfnn sin)(1 122sin2sin14nxlnnnl xlxlxll 5sin513sin31sin1142222lx 00 na周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数Oxy2l2ll2l l 10(2)求余弦级数求余弦级数.0 nb lxxfla00d)(2 lxlxllxxxf2,20,)(20d2lxxl llxxll2d)(2周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数偶延拓偶延拓.na )1(1 2cos2222nnnl llxxlnxll2dcos)(2 xxlnxlldcos220 2l Oxy2l2ll2l l 对对
7、f(x)进行进行11 )1(12cos2222nnnnla xlnaaxfnn 10cos2)(xlnnnllnn cos)1(1 2cos2124122 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数,20la xlkkkllk 2cos2cos2)2(124122 xlkkllkk 2cos1)1(4224122 lx 012xlkkllkk 2cos1)1(4224122 lxmmllm )12(2cos)2()12(14122 xlnnllxfn )12(2cos)12(124)(122 lx 0周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数13例例 将函数
8、将函数 展开成以展开成以 为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数,并画和函数的图形并画和函数的图形.)20(,)(2 xxxf解解,2 2 2 xoy的图形的图形)(xf 2 2 xoy和和函函数数的的图图形形 2周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数上无从谈奇偶上无从谈奇偶在在2,0)(2 xxf 将函数将函数 f(x)作周期延拓作周期延拓,延拓后的函数的延拓后的函数的周期为周期为它满足收敛定理的条件它满足收敛定理的条件.14 1222sin4cos434nnxnnxnx )20(x 0a 202dcos1xnxxanxnxxbndsin202 238 24n),2,1(nn
9、 4 ).2,1(nxx d12 0 2 2 2 xoy和和函函数数的的图图形形周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数)20(,)(2 xxxf15(1989 研究生考题研究生考题,选择选择,3分分),sin)(1 xxnbxSnn 设设,10,)(,dsin)(2210 xxxfxxnxfbn,3,2,1 n).(21 S则则21)(A41)(B41)(C21)(DB分析分析2周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数其中其中bn是将是将 f(x)进行进行奇延拓奇延拓后的函数按后的函数按 为为周期展开的傅里叶系数周期展开的傅里叶系数,S(x)是其相应的
10、傅里叶是其相应的傅里叶级数级数.16 )(xF10 x,2x01 x,)(2x 21 x现在现在处的和为处的和为此级数在此级数在21 x 21S 21F.41 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数于是将于是将 f(x)进行进行奇延拓奇延拓,则得则得 而而S(x)就是就是F(x)的傅里叶级数的和函数的傅里叶级数的和函数.是是F(x)的连续点的连续点,故由狄利克雷定理故由狄利克雷定理,sin)(1 xxnbxSnn 设设,10,)(,dsin)(2210 xxxfxxnxfbn,3,2,1 n).(21 S则则其中其中17 注注如果如果 f(x)是以是以T为周期的连续函数为
11、周期的连续函数,则有则有 TaaTxxfxxf0d)(d)(其中其中a为任意实数为任意实数.因此因此,在求傅里叶的系数时在求傅里叶的系数时,上上的的定定积积分分在在,.2,0上上的的定定积积分分可可转转化化为为 积分只要在一个周期上进行即可积分只要在一个周期上进行即可,不一定要从不一定要从).2(Tlll 积积到到周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数18 155d5cos)10(51xxnxan 155d5cos2xxn 0 1550d)10(51xxa0),2,1(n解解102 Tl 155d5cos51xxnx 周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里
12、叶级数周期延拓周期延拓.例例.)105(10)(展成傅氏级数展成傅氏级数将函数将函数 xxxf将函数将函数 f(x)作作19 15sin)1(1010)(nnxnnxxf 故故)155(x 155d5sin)10(51xxnxbn nn10)1(),2,1(n周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数20或解或解155 x55 z)10(10)10()(zzfxfz )(zF,)55()(的定义的定义补充函数补充函数 zzzF5)5(F令令)10()(TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将).()5,5(zF内收敛于内收敛于且展开式在且展开式在 周期为周期为2l的周期函数的傅
13、里叶级数的周期函数的傅里叶级数10 xz这拓广的周期函数满足收敛定理的条件这拓广的周期函数满足收敛定理的条件,.)105(10)(展成傅氏级数展成傅氏级数将函数将函数 xxxfxyO10 xz515105 255 515 10 10 15Oz)(Fz作变量代换作变量代换21),2,1,0(,0 nan 50d2sin)(52zznzbn nn10)1(),2,1(n 15sin)1(10)(nnznnzF )55(z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx 15sin)1(10nnxnn )155(x周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数xyO10 xz515105
14、 255 515 10 10 15Oz)(Fz22求傅里叶展开式的步骤求傅里叶展开式的步骤:周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数三、小结三、小结1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于奇偶性奇偶性);f(x).23思考题思考题(1988 研究生考题研究生考题,填空填空,3分分),10012)(23 xxxxf的函数的函数设周期为设周期为).(1)(处处收收敛敛于于的的傅傅里里叶叶级级数数在在则则 xxf23周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数处处收收敛敛于于的的傅傅里里叶叶级级数数在在1)(xxf解答解答 2)01()01(ff232123 24作作 业（信）业（信）习题习题11-8(p25611-8(p256）1.(2)2.(1)周期为周期为2l的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数25作作 业业(工工)习题习题11-9(p314):1.(2)2.(1)
高等数学教学课件：11-8 周期为2l 的周期函数傅里叶级数
