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1、2010 年四年级秋季班第九讲操作类问题程雪四年级秋季班（七级下）9.1第九讲 操作类问题 一、总述 操作类问题常与生活中的一些场景结合，但最后都转化为对图形的操作 或对数字的操作。解决这类问题的最重要的思想就是“找本质、找规律”。找规律时我们往往从简单的入手，慢慢过渡到复杂的。找规律的过程中，千万别忽视了题目中的隐含条件及不变量。二、倒推法思想 例 1 有 6 个杯子放成一排，前三个杯子中盛了一些水，而后三个杯子是空的，要使得盛水的杯子和空杯子相互交叉排成一排，（1）最少要移动几个杯子？（2）最少要动几个杯子？解析：对于奥数的题，有时候我们不得不“咬文嚼字”一番，呵呵。“移动”和“动”有什么
2、区别呢？同学们自己想想。然后 从结果出发 考虑，要使盛水的与空杯子交叉，那么2 号杯子与5 号杯子的位置就不对。那么方法就出来啦（1）2 号与 5 号交换（2）将 2 号杯子的水倒入5 号杯子（提高）学案1 下图中有 3 行棋子，请你移动3 次，使每行均为8 粒。要求棋子移入某一行的数，要与该行原有的棋子数相同。你能做到吗？A B C 解析：要求棋子移入某一行的数，要与该行原有的棋子数相同，那么最后一定有一行是4 个棋子，这样别人给它4 个才能得到8 个。再看 ABC三行，A移走 7 个就剩下4 个，7 个给谁呢？只能给 B。逐次操作下去，就得到答案啦。具体步骤：（1）A 移 7 个给 B；（
3、2）B 移 6 个给 C；（3）C 移 4 个给 A。三、剪绳子 本质：找线头，2个线头对应1 根绳子 铺：将一根绳系成一个圈，然后对折，对折，再从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？解析：一个圈是2 层，对折，再对折，现在的层数是：222=8（层）剪 1 刀，每层都有2 个线头，对应1 段绳子。那么8 层对应就是8 段 例 2 把一根线绳对折，对折，然后从对折后的中间处剪开，这个线绳被剪成了多少段？解析：现在的层数：122=4（层）剪 1 刀，每层都被剪出2 个线头，对应1 段绳子，所以有几层就被“剪”出了几段，但线绳本身还有2 个线头，还对应1 段绳子，所以最后的段数就是层数+1，
4、即4+1=5（段）。2010 年四年级秋季班第九讲操作类问题程雪四年级秋季班（七级下）9.2拓展：把一根线绳对折，对折，再三折，然后把折后的绳子平均剪成3 段，即剪2 刀，这个线绳被剪成了多少段？解析：现在的层数：1223=12（层）剪 2 刀，每层都被剪出4 个线头，对应2 段绳子，即每层都被“剪”出了2 段。那么12 层就被“剪”出了122=24（段），再加上线绳本身2 个线头对应1 段，所以最后的段数就是 24+1=25（段）。总结：通过上面的题同学们学习自己总结，看你能总结出下面的规律吗？圈绳剪 1 刀：有几层就几段 线绳剪 1 刀：段数=层数+1 圈绳剪几刀：段数=层数刀数 线绳剪几
5、刀：段数=层数刀数+1 四、空间/面/直线/点（一）n 条直线最多有多少交点 方法：每条直线都与之前的直线逐条相交（交点不要重复）找规律：直线 新增交点 共计交点 1 条 0 0 2 条 1 1 3 条 2 1+2 4 条 3 1+2+3 5 条 4 1+2+3+4 n 条 n-1 1+2+3+（n-1）=n（n-1）/2（二）切饼（n 条直线 最多能将一个平面 分成多少块）方法：直线尽可能多地有交点（画图时保证每一刀与前面的几刀都有不重复的交点）公式：切n 刀，最多切出 1+1+2+3+4+n（块）例 3 用 3 条直线，最多能把长方形分成几块？4条呢？10 条呢？解析：找规律，图略，同学们
6、自己尝试画一画 总刀数 0 刀 1 刀 2 刀 3 刀 4 刀 总块数 1 2 4 7 11 增加的块数-1 2 3 4 总块数算式 1 1+1 1+1+2 1+1+2+3 1+1+2+3+4 4 条直线时：1+1+2+3+4=11（块）10 条直线时：1+1+2+3+9+10=56（块）（三）、切西瓜（n 个平面 最多能将一个空间 分成多少块）方法：新增平面尽可能多地与前面的平面有交线 公式：切n刀，最多切出 n3+5n+6 块 6 注：不要求同学们掌握递推过程，记住结论就可以。2010 年四年级秋季班第九讲操作类问题程雪四年级秋季班（七级下）9.3五、图形操作 例 4 一个长方体木块，锯去
7、一个角，还剩几个角？解析：找到规律，全面考虑问题。注意沿着棱切就会新增角。8-1+3=10（个）8-1+2=9（个）8-1+1=8（个）8-1=7（个）（提高）学案2 有六条铁链，每条有4 个环，已知打开一个环要用5 分钟，闭封一个打开的环要用 7 分钟，现在要把六条铁链连成一条长铁链，至少要用多少时间？解析：找本质，本质就是要把六段连成一条线，那么中间衔接的肯定有5 处，即五个环，打开一个环最终就要封闭一个环，所以对一个环操作的时间为5+7=12（分），那么你一定需要125=60（分钟）。怎么才能使时间再少点呢？那就破坏掉一段，即打开其中的一组4 个环，那么现在就只剩下五段了，只需要4 个连
8、接处，正好把打开的4 个环连在这些连接处，就ok 啦！共计（5+7）4=48（分钟）（尖子）学案1 略，同学们自己动手操作一下，找找图形规律。最终是1444=64（个）洞孔（尖子）学案2 桌上放有10 枚正面朝下的硬币，第1 次翻动其中1 枚，第 2 次翻动其中2枚，第 3 次翻动其中3 枚第10 次翻动 10 枚，经过10 次翻动后，能否使这10 枚硬币都正面朝上？解析：对于翻硬币或者翻杯子，开关灯等题，都是从其奇偶性入手找规律 针对一个硬币找规律：翻奇数次，情况改变翻偶数次，情况不改变（结果等于没翻）10 个硬币要都正面朝上，每个硬币都要翻动奇数次，10 个奇数相加，总计为偶数次。而实际翻
9、的总次数为1+2+3+10=55（次），是奇数次。故不能完成要求。六、倒油/水问题方法：用加减法得到目标量。例 5 涛涛带了两个桶去河边打水，大桶能装9 升水，小桶能装4 升水，要想恰好从河中打上6 升水带回去，他该怎么办？2010 年四年级秋季班第九讲操作类问题程雪四年级秋季班（七级下）9.4思路：9 3=6，要有 3 升的空间 4 1=3 4升桶里要先有1 升水 9-4-4=1操作：次数 9 千克桶 5 千克桶说明 0 0 0 初始状态，都是空桶 1 9 0 将 9 千克桶装满 2 5 4 用 9 千克桶里的水将4 千克桶倒满 3 5 0 再把 4 千克桶的水倒掉 4 1 4 再用 9 千
10、克桶里的水将4 千克桶倒满 5 1 0 再把 4 千克桶的水倒掉 6 0 1 将 1 千克倒入4千克桶里 7 9 1 将 9 千克桶装满 8 6 4 用 9 千克桶里的水将4 千克桶补满 七、数字操作问题 例 6 在 1、2 两个数之间，做这样的操作，每次在相邻两数之间，写上这两个相邻数的和。如第一次写上3，即 1,3,2；第二次写上了4,5，即 1,4,3,5,2；操作了5 次，那么这时所有数的和是多少？解析：对于次数比较少的题，同学们可以用“笨”方法一次一次操作即可。但对于次数多，我们就要找找本质的规律了！本题是求和，每次操作都要多写上一些数，所以这个和肯定是越来越大，只要找到它增加的规律就可以了。原来：1,2 和：3 一次：1,3,2 和：在原来的基础上，增加了1+2 二次：1,4,3,5,2 和：在一次的基础上，增加了1+3+3+2，发现两头的1，2 只加 1 遍，而 中间的数要加2 遍 三次：和：在二次的基础上，增加了两头的1，2 加 1 遍，中间的数加2遍 总结规律：每次增加的都是原有的数2-1-2，那么每次的和都是上一次的3 倍-3 检验及计算：原来：1,2 和：3 一次：1,3,2 和：33-3=6 二次：1,4,3,5,2 和：63-3=15 三次：和：153-3=42 四次：和：423-3=123 五次：和：1233-3=366
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