6-3-1-工程问题.题库教师版

《6-3-1-工程问题.题库教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6-3-1-工程问题.题库教师版（32页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、-1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处理;3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用 工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一 工程问题的基本概念 定义:工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量

2、:一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式:工作总量=工作效率工作时间，工作效率=工作总量工作时间，工作时间=工作总量工作效率;二、为了学好分数、百分数应用题,必须做到以下几方面:具备整数应用题的解题能力,解决整数应用题的基本知识,如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；知识精讲 教学目标 工程问题-学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路,正确地进行分析、综合、判断和推理；学会多角度、多侧面思考问题的方

3、法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端,单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此,在解题过程中,要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路 三、利用常见的数学思想方法:如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”,求得问题答案.一般情况下,工程问题求的是时间.模块一、工程问题基本题型 【例 1】（难度等级)一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间,如果甲、乙合作需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“”个单

4、位,那么甲每天完成总量的128,乙每天完成总量的121,两人合作每天能完成总量的111282112,所以两人合作的话，需要111212天能够完成 【例 2】(难度等级)一项工程,甲单独做需要30天时间,甲、乙合作需要12天时间,如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“”个单位,那么甲每天完成总量的130,甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111123020，所以乙单独做112020天能完成.【巩固】(难度等级)一项工程，甲单独做需要21天时间,甲、乙合作需要12天时间,如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位,那么甲每天完成总

5、量的121,甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111122128，所以乙单独做 28 天能完成.例题精讲-【例 3】（难度等级)甲、乙两人共同加工一批零件，8 小时可以完成任务.如果甲单独加工，便需要 1小时完成.现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了 40 个零件才完成任务.问乙一共加工零件多少个?【解析】乙单独加工,每小时加工11181224 甲调出后，剩下工作乙需做21184(12)58245时所以乙每小时加工零件84420255（个),则225小时加工225 2605(个),所以乙一共加工零件 406040（个)【巩固】（难度等级

6、）一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成,共同做了 6 天后,甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?【解析】共做了 6 天后，原来，甲做 24 天,乙做 24 天,现在,甲做 0 天，乙做(+16）天这说明原来甲 24 天做的工作,可由乙做 1天来代替 因此甲的工作效率是乙的工作效率的 12=2/。如果甲独做,所需时间是33030752天如果乙独做,所需时间是23030503天;甲或乙独做所需时间分别是 75 天和0 天 【巩固】（难度等级）某工程先由甲独做天，再由乙单独做8 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需8 天完成.现在甲先单独做 4天,

7、然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?【解析】先对比如下:甲做 63 天,乙做8 天;甲做 48 天,乙做天就知道甲少做 63-8=15(天）,乙要多做8-28=20（天)，由此得出乙的工作效率是甲的34,甲先单独做 42 天，比 63 天少做了3-42=21(天），相当于乙要做421283天因此，乙还要做 28+28=6（天），乙还需要做 56天.【例 4】(难度等级）一项工程，甲、乙合作需要20天完成,乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成,那么如果甲、乙、丙合作,完成这项工程需要多少天?【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出：甲乙120，乙

8、丙115,乙130因此不难得到丙的工作效率为111153030，因此三个人的工作效率之和为111203012，也就是说,三个人合作需要 1天可以完成。本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效.但是-这样做比较麻烦,事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了.【巩固】（难度等级）一项工程，甲、乙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要12天,由丙单独做需要36天完成,那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【解析】法一:和上题类似，我们可以有：甲乙19，乙丙112,丙136不难求得，乙的工作效率为111123618,因此甲的工作效率为11191818,从而

9、甲丙合作的工作效率为111361812，即甲丙合作 12 天能完成。法二:仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率,而同过整体的运算直接得到“甲+丙”的值呢？不难发现,我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：2甲 乙 丙乙 丙甲 丙，也就是说：111129361212甲 丙,所以甲丙合作12天能完成。【巩固】(难度等级)一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？【解析】设这件工作的工作量是。甲乙两人合作每天完成136,甲丙两人合作每天完成160,乙丙两人合作每天完成145,甲、乙、丙三人合作每天

10、完成11161()236456018030减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成111304590，甲独做需要119090天 答:甲一人独做需要 90天完成.【巩固】（难度等级)一件工程，甲、乙两人合作 8 天可以完成,乙、丙两人合作 6 天可以完成,丙、丁两人合作2 天可以完成.那么甲、丁两人合作多少天可以完成?【解析】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是18、16、112.对于工作效率有（甲,乙)+(丙,丁)-(乙，丙）(甲,丁).即18+112-16=124，甲、丁合作的工作效率为124.所以，甲、丁两人合作 24 天可以完成这件工程.【巩固】（难度等级)一项工作,甲、乙两人合

11、做 8 天完成，乙、丙两人合做 9 天完成,丙、甲两人合做 18 天完成那么丙一个人来做,完成这项工作需要多少天？【解析】方法一：对于工作效率有：(甲,乙）(乙,丙)-(丙,甲)2 乙，即18+19-118=1372为两倍乙的工作-效率,所以乙的工作效率为13144.而对于工作效率有,(乙,丙）-乙=丙,那么丙的工作效率为1913144148那么丙一个人来做,完成这项工作需 1148=48 天。方法二：(甲，乙，丙）（甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)1819+118=2172，所以(甲,乙,丙)=2172221144,即甲、乙、丙 3 人合作的工作效率为21144.那么丙单独工作的工作效率为2

12、114418148,那么丙一个人来做，完成这项工作需8 天.【例 5】(难度等级）一池水，甲、乙两管同时开,5 小时灌满；乙、丙两管同时开,4 小时灌满.现在先开乙管小时，还需甲、丙两管同时开小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满?【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了,根据“现在先开乙管 6 小时,还需甲、丙两管同时开 2 小时灌满”，我们可以把乙管的小时分成 3 个 2 小时,第一个 2 小时和甲同时开，第二个 2小时和丙同时开,第三个 2 小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开 2 小时，乙、丙同时开 2小时，乙单独开 2 小时,正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为11

13、11225410,所以乙的工作效率为:11(622)1020，所以整池水由乙管单独灌水，需要112020（小时）【例 6】(难度等级)(0年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需 12小时注满，单开乙管需小时注满,若要求小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少,那么甲、乙最少要同时开放 小时【解析】要想同时开的时间最小,则根据工效,让甲“满负荷”地做,才可能使得同时开放的时间最小所以，乙开放的时间为1111041224(小时)，即甲、乙最少要同时开放 4 小时 【例 7】（难度等级)一个蓄水池,每分钟流入 4 立方米水如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空,如果打

14、开 8 个水龙头，小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能把水放空?【解析】先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多0 分钟，多流入水 4 6=40（立方米).时间都用分钟作单位,个水龙头每分钟放水量是 (5 150-8 90)=（立方米）,8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 8 90，其中 90 分钟内流入水量是 4 0,因此原来水池中存有水 8 -4 9=5400(立方米).打开 1个水龙头-每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4,其余将放出原存的水,放空原存的 540，需要 5400(13-4）54(分钟）.所以打开 1个龙头，

15、放空水池要 5分钟.水池中的水,有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【例 8】（难度等级）有0 根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用根进水管给A水池注水,其余 6 根给B水池注水,那么小时可同时注满 因为发现A水池以一定的速度漏水,所以改为各用 5 根进水管给水池注水,结果也是同时注满.(1)如果用 1根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满?(2）如果增加 4 根同样的进水管，A水池仍然漏水,并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)【

16、解析】设每只进水管的工效为“1”，那么 A 池容量为 420,池容量为 65=30.当用根进水管给 B 池灌水时需06 小时，而在 6 小时内 5 只其水管给 A 池也是灌有 30 的水,所以漏了300=10，因此漏水的工效为5106.3(1）用 10 根进水管给漏水的 A 池灌水，那么需520(10)2.43小时144分钟.(2)设 A 池需x根,那么 B 池需4x根，有5():(14)2:3,3xx所以有28235,xx化简解得6.6.x 所以 A 池用 7 根或根进水管，此时对应所需时间,分别为:当 A 池用根进水管时：A：根水管,需时间5320(7)334小时=2分钟；:7 根水管,需

17、时间303077小时57 分钟此时要把两个水池注满最少需要 25分钟;当 A 池用 6 根进水管时:A:6 根水管,需时间56020(6)313小时77 分钟;B：根水管,需时间 308=154小时=225 分钟此时要把两个水池注满最少需要 277 分钟 所以,要把两个水管都注满,最少需 257 分钟，7 根水管注 A 池，根水管注 B 池 【例 9】（难度等级)甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需 10 小时，乙车单独清扫需5 小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米问:东、西两城相距多少千米?【解析】法一:先求出甲、乙相遇的时间：111(

18、)61015小时;-甲清扫全长的136105,乙清扫了全部的126155；所以东、西两城相距32126055千米 法二：因为时间相等,路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是11:3:210 15，甲行了全程的332,乙行了全程的332，全程就是32126055千米 【例 10】（难度等级)一项工程，甲单独完成需要12天,乙单独完成需要9天若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？【解析】根据题意可知，甲的工作效率为112，乙的工作效率为19,采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲做了111(101)()49912天 【巩固】（难度等级)一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队

19、做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成.问:乙队单独完成这项工作需多少天?【解析】方法一:甲的工作效率为120，甲队天的工作量为128205,所以乙队 15 天的工作量为23155,乙的工作效率为3115525,所以乙队单独完成这项工作需要25天 方法二:此题可以用代换法解,甲 1天工作量等于乙天工作量,乙的工作效率为甲的45，乙独做的时间为420255(天)。【例 11】（难度等级）（20年十三分小升初入学测试题)一项工程,甲单独做 40 天完成,乙单独做 60 天完成.现在两人合作,中间甲因病休息了若干天，所以经过了 27 天才完成问甲休息了几天？【解析】法一：在整个过

20、程中，乙没有休息,所以乙一共干了 60 天，完成了全部工程的19276020，还有91112020是甲做的，所以甲干了111222040(天),休息了27225（天）.法二：假设中间甲没有休息，则两人合作 27 天,应完成全部工程的119()2740608,超过了单位“1”的91188,则甲休息了115840（天）【巩固】（难度等级)一项工程,甲单独做20天完成，乙单独做30天完成.甲、乙合作了几天后，乙因事请假,甲继续做,从开工到完成任务共用了16天乙请假多少天？【解析】法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的1416205,还有41155是乙做的，所以乙干了-116530(天),休息了16

21、610(天),请假天数为：16610（天).法二:假设乙没有请假，则两人合作16天,应完成全部工程的114()1620303，超过了单位“1”的41133,则乙请假1110330(天）【巩固】(难度等级)有一条公路,甲队独修需 1天,乙队独修需 12 天，丙队独修需 15 天现在让 3 个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了 6 天才把这条公路修完.当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?【解析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为11111012154 6 天完成的工程量为116142,而实际天完成了的工程量为,即甲队少做了12,甲队完成12超过单位“1”111122，甲没有干

22、的天数:，115210(天）,即当甲队撤出后,乙、丙两队又合修了1=天.【例 12】（难度等级)(007 年十一学校考题)有一项工程,甲单独做需要6 天完成，乙单独做需要 30 天完成，丙单独做需要8 天完成现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天那么丙休息了 天.【解析】设甲、乙工作了x天,丙工作了y天，则有:1111363048xy,化简得4415720 xy.由于15y和72都是 15 的倍数,所以x也是5 的倍数,而7204417x,所以15x，4y,所以丙休息了15411天.【例 13】（难度等级）一件工作,甲独做要

23、 12 天,乙独做要 18 天，丙独做要4 天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的 3 倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的倍,终于做完了这件工作问总共用了多少天?【解析】解法一:甲做 1 天，乙就做天，丙就做 32=6(天），甲做 1 天,完成工作量的112,乙就完成工作量的1318,丙就完成工作量的1624。共完成1111361218242。1122天说明甲做了天，乙做了 6 天，丙做了 12 天,三人共做了 2天，完成这项工作用了 20 天.解法二:本题整数化会带来计算上的方便.12，1,24 这三数有一个易求出的最小公倍数 72 可设全 部 工 作

24、 量 为 72 甲 每 天 完 成 6,乙 每 天 完 成4,丙 每 天 完 成3 总 共 用 了13672206 14 33 6 天。-【例 14】(207 年人大附中考题)一些工人做一项工程,如果能调来人，那么 10 天可以完成；如果只调来人，就要 2天才能完成,那么调走 2 人后,完成这项工程需要 天【解析】设个人做 1 天的量为 1，设原来有x人在做这项工程,得：1610420 xx，解得：8x 如果调走 2 人,需要816108240（天).模块二、工程问题变速问题 【例 15】(难度等级)甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400 元工资按两队原计划的工作效率,乙队应获 50

25、4元实际上从第 5 天开始，甲队的工作效率提高了 1 倍,这样甲队最终可比原计划多获得 96元那么两队原计划完成修路任务要多少天?【解析】开 始 时 甲 队 拿 到840050403360元，甲、乙 的 工 资 比 等 于 甲、乙 的 工 效 比,即 为3360:50402:3；甲提高工效后,甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17.设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”,设甲在提高工效后还需x天才能完成任务有(244):(343)18:17xx,化 简 为2165413668xx,解 得407x 工 程 总 量 为40547607，所以原计划60(23

26、)12天完成 【例 16】（难度等级)(人大附中考题)甲、乙合作一件工程,由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高110，乙的工作效率比单独做时提高15 甲、乙两人合作6小时,完成全部工作的25，第二天乙又单独做了6小时,还留下这件工作的1330尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时?【解析】乙的工作效率是：2131(1)653036，甲的工作效率是:215111(6)(1)53651033，所以,单独由甲做需要：113333(小时).【例 17】（难度等级）（209 年四中小升初入学测试题、200年第七届“希望杯”六年级第2 试)甲、乙两人合作清理 400 米环形跑道上的积

27、雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快13,中途乙曾用 10 分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍,结果从开始算起,经过小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟?【解析】法一:直接求-首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成10200603（米），开始的时候甲的速度比乙快13,也就是说乙开始每分钟完成为101(1)2.533(米）,换工具之后,工作效率提高一倍，因此每分钟完成2.525（米)，问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每

28、分钟完成了5米,求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125（米）,比实际少了20012575（米），这是因为换工具后每分钟多扫了52.52.5(米）,因此换工具后的工作时间为752.530(分钟）.法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件,我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3，甲比他快13,甲每分钟可以清理4,60分钟之后，甲一共清理了460240份的工作量,乙和他的工作总量相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3,换工具后的工

29、作效率为6，和(法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想,可以得到乙换工具后工作了(2403 50)(63)30 分钟。【例 18】(难度等级）(209 年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件,甲每小时加工0 个，当甲完成任务的12时，乙完成了任务的12还差 40 个这时乙开始提高工作效率,又用了7.5小时完成了全部加工任务这时甲还剩下 20 个零件没完成.求乙提高工效后每小时加工零件多少个?【解析】当甲完成任务的12时，乙完成了任务的12还差 4个,这时乙比甲少完成 4个;当乙完成全部任务时,甲还剩下 20 个零件没完成，这时乙比甲多完成 20 个；所以在后来的7.5小时内，乙比甲

30、多完成了402060个,那么乙比甲每小时多完成607.58个所以提高工效后乙每小时完成40848个.【例 19】（难度等级）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工作要天，二队完成乙工程要 15 天；在雨天,一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【解析】在晴天,一队、二队的工作效率分别为112和115,一队比二队的工作效率高111121560;在雨天，一队、二队的工作效率分别为11140%1220和131 10%1550,二队的工作效率比一队高-3115020100.由11:5:360 100知，3 个晴天 5 个雨

31、天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的1113512202,所以在施工期间,共有个晴天 10 个雨天 方法二：本题可以用方程的方法,在方程解应用题中会继续出现。【例 20】(难度等级）一项工程，甲独做需 1天，乙独做需 15 天如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的45，乙只能完成原来的910.现在要天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外,其余工程应由甲单独完成现设两人合作x天,则甲单独做x天,于是得到方程（110%+11590%)x+110(8-x)=l,解出x=.所以，在满

32、足条件下,两人至少要合作天.【例 21】(难度等级）一项挖土万工程,如果甲队单独做,16 天可以完成，乙队单独做要天能完成.现在两队同时施工,工作效率提高.当工程完成14时,突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了7.25 方土，结果共用了0 天完成工程.问整工程要挖多少方土?【解析】甲、乙合作时工作效率为(116120)(10%)=27200 则14的工程量需1427200=5027(天）,则遇到地下水后,甲、乙两队又工作了 1-5027=22027(天)则此时甲、乙合作的工作效率为3422027=81880遇到地下水前后工作效率的差为:2720081880=1894400,则总工作

33、量为 47.21894400=0 方土.【例 22】(难度等级)(009 年第七届“希望杯”六年级第试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程晴天，甲完成工程需要 1天，乙完成工程需要 16 天;雨天,甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%实际情况是两队同时开工、同时完工那么在施工期间,下雨的天数是 天.【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为110和116,甲队比乙队的工作效率高113101680;在雨天,甲队、乙队的工作效率分别为1330%10100和1180%1620,乙队的工作效率比甲队高1312010050.由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴天

34、与雨天的天数比为13:8:1550 80 如果有 8 个晴天,则甲共完成工程的138151.2510100，而实际的工程量为 1,所以在施工期间，共有81.256.4个晴天，151.2512个雨天.-模块三、工程问题方法与技巧(一）整体分析法 【例 23】(难度等级)甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后,再由乙队单独挖16天,共挖了这条水渠的25如果这条水渠由甲、乙两队单独挖,各需要多少天？【解析】法一:甲、乙合作完成工程的25需要:230125（天).甲队先做4天,比合作少了1248（天）；乙队后做16天,比合作多了16124(天)，所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两

35、队工作效率的比是4:81:2甲队单独工作需要:3030290（天);乙队单独工作需要：3030245（天)。法二:我们知道,甲乙合作,每天可以完成工程的130,而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天,于是两队合作4天，可以完成工程的1243015,也就是说乙队12天挖了22451515，于是乙队的工作效率为41121545，那么甲队的工作效率就是111304590，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。工程问题里面也经常用到比例,是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系.其实这一点是与工程习惯无关的.【例 24】(难度等级

36、）（2008 年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第二试，第题)甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的12,乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的13,丙生产了 50 个。这批玩具共有_个【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系,可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量:甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的12，则总和为3,甲占了1份,甲占了总数的13;乙是甲丙和的13,同理可知乙占了总数的14,那么可知丙生产的玩具占总数的11513412,所以总数是55012012(个）【例 25】(难度等级)（200年实验中学考题）几个同学去割两块草地的草,甲地面

37、积是乙地面-积的 4 倍,开始他们一起在甲地割了半天，后来留下人割甲地的草,其余人去割乙地的草,这样又割了半天,甲、乙两地的草同时割完了，问:共有多少名学生?【解析】有2 人全天都在甲地割草,设有人上午在甲地，下午在乙地割草.由于这人在下午能割完乙地的草(甲地草的14)，所以这些人在上午也能割甲地14的草，所以2 人一天割了甲地34的草,每人每天割草为3112416，全部的草为甲地草的54,5120416,所以共有 2名学生.【巩固】(难度等级)一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍.上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍,下午这批工人中有712的人去甲

38、工地.其他工人到乙工地.到傍晚时,甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天,那么这批工人有多少人?【解析】根据题意,这批工人的人数是 12 的倍数,设这批工人有12x人 那么上午有9x人在甲工地,有3x人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地.所以甲工地相当于9728xxx人做了一整天；乙工地相当于3524xxx人做了一整天 由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的32倍,假设甲工地的工作量是份，那么乙工地的工作量是2份8x人做一整天完成3份,那么4x人做一整天完成32份,所以乙工地还剩下31222份.这12份需要名工人做一整天，所以甲工地的 3 份需要143242人做一整天

39、,即824x,可得3x,那么这批工人有12 336（人).【例 26】(难度等级)（2009 年第七届“希望杯”六年级第试)有两个同样的仓库,搬运完其中一个仓库的货物，甲需要 6 小时，乙需要 7 小时,丙需要 1小时.甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物,开始时,丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运,最后两个仓库的货物同时搬完则丙帮甲 小时，帮乙 小时【解析】整个搬运的过程,就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束,共搬运了两个仓库的货物，所以它们完成工作的总时间为111212()67144小时.在这段时间内,甲、乙各自在某一个仓库内搬运,丙则在两个仓库都搬运过甲完成的工作量是1217648，所以丙帮甲搬

40、了71188的货物，丙帮甲做的时间为11318144小时，那么丙帮乙做的时间为213113442小时.【巩固】（难度等级)搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时,丙需15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库,乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运,中途又转向帮乙搬运，-最后同时搬完两个仓库的货物.丙帮助甲、乙各搬运了几小时?【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：1112()8101215小时,丙帮助甲搬运了111831015小时，丙帮助乙搬运了835小时 【例 27】（难度等级）甲、乙、丙三队要完成A,B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做,

41、完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程,乙队做B工程，为了同时完成这两项工程,丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量,然后进行计算,我们不妨设A工程的工作总量为单位“1”,那么B工程的工作量就是“54”,那么这个问题就和例5联系到了一起了。三队合作完成两项工程所用的天数为：51111184202430天。18天里,乙队一直在完成B工作,因此乙的工作量为1318244,B剩下的工作量应该

42、是由丙完成，因此丙在B工程上用了531154430天也就是说两队合作了15天。解题关键是把“一项工程”看成一个单位,运用公式：工作效率工作时间工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率 【例 28】（难度等级）甲、乙、丙三人同时分别在 3 个条件和工作量相同的仓库工作,搬完货物甲用 10 小时，乙用 12 小时,丙用 15 小时.第二天三人又到两个大仓库工作,这两个仓库的工作量相同 甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙,用了6 个小时将两个仓库同时搬完 丙在A仓库搬了多长时间？【解析】因为A、B两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作,那么

43、8 小时可以搬完因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是111:6:5:410 12 15,所以甲每小时可以完成大仓库工作量的161865420,丙每小时可以完成大仓库工作量的141865430.那么甲16 小时完成了A仓库的1416205，丙在A仓库搬了41(1)6530小时 【例 29】（难度等级）一项工程，乙单独做要17天完成.如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做,那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工.问：甲单独做需要几天?-【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天

44、数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天,这半天是甲做的如果设甲、乙工作效率分别为1V和2V，那么12112VVV，所以122VV，乙单独做要用17天,甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要1728.5天 【例 30】(难度等级)一项工程，甲单独做要 12 小时完成,乙单独做要8 小时完成.若甲先做小时，然后乙接替甲做 1 小时,再由甲接替乙做 1 小时,两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时?【解析】若甲、乙两人合作共需多少小时？11511171218365(小时）.甲、乙两人各单独做 7 小时后，还剩多少?11351

45、17112183636.余下的136由甲独做需要多少小时？11136123(小时）共用了多少小时?11721433(小时).在工程问题中,转换条件是常用手法本题中，甲做小时,乙做 1 小时,相当于他们合作 1 小时，也就是每 2 小时，相当于两人合做 1 小时这样先算一下一共进行了多少个这样的小时，余下部分问题就好解决了 【巩固】(难度等级）一件工程，甲单独做要6小时,乙单独做要10小时,如果接甲、乙、甲、乙.顺序交替工作，每次1小时,那么需要多长时间完成?【解析】甲1小时完成整个工程的16,乙1小时完成整个工程的110，交替干活时两个小时完成整个工程的11461015,甲、乙各干3小时后完成

46、整个工程的443155,还剩下15，甲再干1小时完成整个工程的16,还剩下130，乙花13小时即20分钟即可完成.所以需要7小时20分钟来完成整个工程.-【巩固】（难度等级）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做个小时，第二个人接着做一个小时,然后再由第一个人做个小时,然后又由第二个人做 1 个小时，如此反复，做完为止.如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时,那乙单独做这个工程需要多少小时？【解析】根据题意,有：10.810.6甲乙甲乙甲 小时乙小时乙甲乙甲乙 小时甲小时,可知，甲做10.60.4小时与乙做10.80.2小时的工作量相等，故甲工作 2

47、 小时，相当于乙 1 小时的工作量.所以，乙单独工作需要9.85527.3小时 【巩固】（难度等级)蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水,单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时.现在池内有半池水,如果按进水,排水，进水，排水的顺序轮流各开1小时问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)【解析】法一：1小时排水比1小时进水多1123515，121321510,说明排水开了3小时后（实际加上进水 3 小时,已经过去6小时了），水池还剩一池子水的110，再过1小时,水池里的水为一池子水的11310510，把这些水排完需要31910310小时，不到 1 小时,所以共需要 996

48、171010 小时7小时54分 法二:1小时排水比1小时进水多1123515，211415230,说明8小时以后，水池的水全部排完,并且多排了一池子水的130,排一池子需要3小时，排一池子水的130需要1133010小时,所以实际需要19871010小时7小时54分 【巩固】（难度等级）一项工程，甲、乙合作3125小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做,恰好整数小时做完；若第1小时乙做,第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成?【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时,那么第二种做法中甲

49、、乙用-的时间应与第一种做法相同，不会多13小时,与题意不符.所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后13小时是甲做的,而这13小时之前的一小时是乙做的,所以乙13甲甲，得乙23甲甲、乙工作效率之和为：351 12563,甲的工作效率为：5231(1)6336321,所以甲单独做的时间为112121（小时).【例 31】（难度等级）甲、乙、丙队要完成 A，B 两项工程工程的工作量比 A 工程的工作量多14甲、乙、丙 3 队单独完成工程所需时间分别是 20 天、2天、30 天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做 A 工程，乙、丙两队共同做 B 工程；经过几天后,又调丙队与甲队共同完成

50、工程.那么，丙队与乙队合作了多少天?【解析】设A项工程的工程总量为“”,那么工程的工程总量为54,A、B两项工程的工程总量为1+54=94.而甲、乙、丙合作时的工作效率为120+12413018，甲、乙、丙始终在同时工作,所以两项工程同时完成时所需的时间为941818(天）在这 18 天,乙完成 18124=34的工程量，则 B 工程中剩下的54-34=12的工程量是由丙帮助完成，即121301(天）.即丙队与乙队合作了 5天 【例 32】(难度等级)蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水,单开乙管需要4小时,单开丁管需要6

51、小时,现在池内有16的水,若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池?【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水:11117345660,循环5次后水池还空：171156604，14的工作量由甲管注水需要：113434（小时),所以经过33452044小时后水开始溢出水池.【例 33】(难度等级）一件工程甲单独做50小时完成,乙单独做30小时完成 现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时两人如此交替工作,完成任务共需多少小时？【解析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：1357165050，2468203030,此时剩下的工作量

52、为162011()503075.还需甲做11275503（小时),所以共需22(1357)(2468)3633(小时）-【例 34】(难度等级)甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完,若按乙、丙、甲的顺序轮流去做,则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做,要用多少天才能完成?【解析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成.如果按甲、乙、丙的顺序去做,最后一天由丙完成,那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天

53、数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同,这与题意不符;如果按甲、乙、丙的顺序去做,最后一天由乙完成,那么按乙、丙、甲的顺序去做,最后由甲做了半天来完成，这样有12甲 乙乙丙甲,可得12丙甲;而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有12甲 乙丙 甲乙，可得12丙乙.那么甲 乙，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合所以按甲、乙、丙的顺序去做,最后一天是由甲完成的那么有1122甲乙丙丙甲,可得34乙甲,12丙甲这项工作由甲、乙、丙三人一起做,要用131411410429天.【例 35】(难度等级）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成,若

54、按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天,则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天,则比原计划多用13天.已知甲单独完成这件工作需10.75天问:甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天?【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即天一个周期.容易知道,第一种情况下一定不是完整周期内完成，但是在本题中,有两种可能，第一种可能是完整周期1天，第二种可能是完整周期2天如果是第一种可能,有1123甲乙丙丙甲,得23乙丙甲.然而此时甲、乙、丙的效率和为12228110.7533129,经过 4 个周期后完成281124129129，还剩下112171129129，而甲每天完成14121

55、0.7543129，所以剩下的17129不可能由甲 1 天完成，即所得到的结果与假设不符，所以假设不成立 再看第二种可能:完整周期 不完整周期 完成总工程量-第一种情况 n个周期 甲 1 天，乙 1 天“1”第二种情况 n个周期 乙 1 天,丙 1 天，甲12天“”第三种情况 n个周期 丙 1 天,甲 1 天,乙13天“1”可得1123甲 乙乙丙甲丙 甲乙,所以12丙甲，34乙甲.因为甲单独做需10.75天,所以工作效率为443,于是乙的工作效率为43343443,丙的工作效率为41243243 于是,一个周期内他们完成的工程量为432943434343.则需91443个完整周期，剩下9714

56、4343的工程量;正好甲、乙各一天完成.所以第二种可能是符合题意的于是，根据第二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是943,所以三人合作完成工作需要9437144399天 （二)等量代换法 【例 36】(难度等级)一项工程,甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙两人合作 1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？【解析】丙 2 天的工作量，相当乙天的工作量丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2(倍）,甲、乙合作 1 天,与乙做 4 天一样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天,甲的工作效率是乙的工作效率的倍乙做 13 天，甲只要

57、133天，丙做 1天,乙要 2天,而甲只要263天他们共同做3 天的工作量,由甲单独完成,甲需要1326132633天 【例 37】(难度等级）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的15.如果 3 人合抄只需 8 天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的18，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的18,即甲每天抄写书稿的116；由于丙抄写 5 天相当于甲乙合抄一天，从而丙 6 天抄写书稿的18,即丙每天抄写书稿的148；于是可知乙每天抄写书稿的181161

58、48124.所以乙一人单独抄写需要 1124=24天才能完成.-【例 38】（难度等级)一项工程，甲独做6天完成,甲3天的工作量,乙要4天完成 两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成?【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了 2 天,剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要 6 天，除去自己完成的 2 天以外,剩下工作量甲需要 4 天完成，乙的工作效率是甲的34,因此甲 4 天完成的量,乙需要416433天完成，除去与甲合作的 2 天以外，乙还要做1610233天。法二:甲的工作效率为16,所以乙的工作效率为113468.两队合作 2 天后乙队独做还要1111

59、01226883天才能完成.【例 39】(难度等级）打印一份书稿，甲按规定时间可提前 2 天完成,乙则要超过规定时间 3 天才能完成如果甲、乙合做 2 天,剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成.甲、乙两人合做需要几天完成？【解析】根据“甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成.如果甲、乙合做 2 天,剩下的由乙独做,那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做天的工作量等于乙做 3 天的工作量,所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3另外，由于甲、乙单独做,乙用的时间比甲多325天，所以乙独做需要的天数是:3(32)1532（天),甲独做需要15510(天),甲、乙合做

60、需要11161015(天).【例 40】(难度等级）一项工程,如果甲先做天,那么乙接着做 20 天可以完成；如果甲先做 20天,那么乙接着做天可以完成如果甲、乙合作，那么多少天可以完成?【解析】本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从图中可以直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等,即甲天的工作量等于乙 4-天的工作量.于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件,通过此替换可知乙单独做这一工程需要20424(天)完成，即乙的工作效率是124.又因为乙工作 4 天的工作量和甲工作 5 天的工作量相等,所以甲的工作效率是乙的4

61、5,为14124530，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1111()1324303(天）.【巩固】（难度等级）一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成;甲先做8小时,乙接着做6小时也可以完成如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【解析】根据题意可知，甲做862小时的工作量等于乙做1266小时的工作量,可见甲做 1 小时的工作量等于乙做小时的工作量 那么可以用乙做 3 小时来代换甲做 1 小时，可知乙完成全部工作需要631230小时,甲先做的 3 小时相当于乙做了 9 小时，所以乙还需要30921小时.【巩固】(难度等级)一份文件,如果甲抄小时，乙抄0 小时可以抄完;如果甲

62、抄 8 小时,乙抄 1小时也可以抄完.现在甲先抄 2 小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为110；将甲抄 8 小时,乙抄小时，转化为甲乙和抄 8 小时,乙单独抄 5 小时,则乙单独工作的效率为1118(138)1025，所以甲单独工作的效率113102550甲、乙两人的工作效率之比为31:3:250 25.甲先抄 2 小时，这 2 小时的工作量如果两人合作,需要132(32)15小时,所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要14101855小时.【例 41】（难度等级）(00年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工

63、程完成12时前来帮忙，待工程完成56时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半 如果没有丙的参与,仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟133天完成；如果全由甲单独做,则可比计划提前6天完成还知道乙的工作效率是丙的3倍,问：计划规定的工期是多少天？【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成56时离去,所以乙、丙合做了全部工程的13;如果丙不来帮忙，这13的工程由乙独做，那么乙完成这13的工程时间将比乙、丙合做多用103天.由于乙的-工效是丙的工效的 3 倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的43倍,那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的43倍,所以乙、丙合做这13的工程所用的时

64、间为104(1)1033天那么乙的工效为11110(1)3340.由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半,所以乙工作的天数为1120240天,其中有0 天是乙、丙在合做，另外 10 天(被分成了前后两段）乙一个人独做.那么乙、丙共完成了全部工程的111710240312,根据题意,这712的工程如果由甲独做,只需要20614天，那么甲的工效为71141224甲完成全部工程需要4 天由于全部由甲独做可比计划提前 6 天完成,所以原计划工期是24630天 （三）比例法 【例 42】(难度等级）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时,共完成这批零件的23。已知甲与乙的工作效率之比是

65、5:3,那么乙还要几小时才能完成分配的任务?【解析】乙5小时完成总工作量的2313534；乙每小时完成总工作量的115420;乙需要完成的总工作量为12；乙要完成这个任务还需要的时间：1155220(小时）【例 43】(难度等级）一项工程，甲 1天做了14后，乙加入进来,甲、乙一起又做了14，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完.已知乙、丙的工作效率的比为 3：,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为 2:1，问题中情形下做完整个工程需多少天?【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：;且易知甲的工作效率为1.60又乙、丙工作的天数之比为(+):=2:,所以有阶段和阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成

66、的14的工程与甲、乙、丙合作完成1111442的工程所需的时间相等 所以对于工作效率有:(甲+乙)2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙,那么有丙-乙1.60又有乙、丙的工作效率的比为:.易知乙的工作效率为3,120丙的工作效率为：5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：11311815()()156627460120260120天 方法二:显然甲的工作效率为160，设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x.所以有乙工作-的 天 数 为1111(3)(8),460260 xx丙 工 作 的 天 数 为11(8).260 x且 有111111(3)(8)2(8).460260260 xxx即1111(3)(8),460260 xx解得1.120 x 所以乙的工作效率为3,120丙的工作效率为高5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：11311815()()156627460120260120天 【例 44】(难度等级)甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路,他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工,将他承担的任务由甲、乙两村分担,由丙村出工资 360 元,结果甲村共派出 4