计算方法_微分方程数值解讲解22920

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1、 120 第6 章 常微分方程初值问题数值解法 6.1 问题的描述和基本概念 1、常微分方程初值问题 一般形式 0(,)()yf x yy ay 式中(,)f x y已知，0()y ay称为初值条件.初值问题的数值方法和数值解 求函数()yy x在若干离散点kx上的近似值(0,1,)kyk 的方法称为初值问题的数值方法，而称(0,1,)ky k 为初值问题的数值解.121 2.建立数值解法的思想与方法 用离散化方法将初值问题化为差分方程,然后再求解.设节点为 011nnaxxxx 距离1kkkhxx称为步长.求数值解一般是从0y开使逐次顺序求出12,y y.初值问题的解法有单步法和多步法两种：

2、单步法：计算1ky时只用到ky一个值；多步法：计算1ky时要用1,kkk lyyy多个值。数值解法还有显格式和隐格式之分。122 微分方程离散化方法主要有 数值微分法，数值积分法和 Taylor展开法 1)数值微分法 由()(,()kkky xf xy x，用数值微分的 2点前差公式代替()ky x，得近似离散化方程 11()()()(,()kkkkkkky xy xy xf xy xxx 记1kkhxx，做()kkyy x，“”，得差分方程 1(,)kkkkyyf xyh 即 1(,)kkkkyyhf xy （Euler公式）123 由初值条件0()yy a及 Euler公式可求出数值解12

3、,ny yy.Euler公式是显式单步法.2）数值积分法 124 在1,kkxx上对(,)yf x y两边取定积分，得 111()()(,()kkkkxxkkxxy xy xy dxf x y x dx 右端积分用左矩形公式（数值积分公式）得 1()()(,()kkkky xy xhf xy x 于是得到求初值问题的 Euler方法 1(,)kkkkyyhf xy 125 右端积分用右矩形公式（数值积分公式）得 111()()(,()kkkky xy xhf xy x 于是得到求初值问题的后退 Euler方法 1+1+1(,)kkkkyyhf xy 后退 Euler方法是隐式的.126 右端积

4、分用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程：111()()(,()(,()2kkkkkkhy xy xf xy xf xy x 于是得到求初值问题的梯形方法 111(,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy 该公式是隐式单步法.127 3）Taylor展开法 因为初值问题中函数(,)f x y是已知函数，由(,)yf x y，可以计算y，y，于是有函数()yy x在kx处的 Taylor展式 212()()()()2!()(,()(,()2!kkkkkkkkx xhy xy xhy xyxhdy xhf xy xf x y xdx 取上式右端前若干项，得近似离散化方程.例如取前两项有

5、1()()(,()kkkky xy xhf xy x 128 于是又得到 Euler公式：1(,)kkkkyyhf xy.3.数值解法的误差、阶与绝对稳定性 单步法数学描述为 11(,)kkkkkyyh x y yh 129 显式：1(,)kkkkyyhxyh 其中(,)x y h称为增量函数.130 显式单步法的一些概念 定义 1 称 111()kkkey xy 为单步法在节点1kx的整体截断误差，而称 11()()(,(),)kkkkkTy xy xhxy xh 为在1kx点的局部截断误差。()ky x表示解()y x在kx的值，是准确值，没有误差；ky表示由数值解公式得出()ky x的近

6、似值，是数值解，有截断误差.131 局部截断误差1kT的理解 假设在计算()ky x时没有误差（()kkyy x）下,计算出的1ky（1()(,(),)kkkkyy xhxy xh）与1()ky x的误差111kkkTyxy(计算一步的误差）.定义 2 如果数值解法的局部截断误差为 11()PkTO h 则称该方法具有p阶精度或该方法是p阶方法.方法的阶越高，方法越好.132 局部截断误差的主项 如果某方法是p阶方法，11()PkTO h按h可展为 1121()(,()()PPPkkkTO hg xy xhO h 则称 1(,()Pkkg xy xh 为局部截断误差的主项.在同阶方法中，局部截

7、断误差的主项越小，方法越好.对 Euler方法1(,)kkkkyyhf xy，有 1()()(,()kkkkkTy xhy xhfxy x 将()ky xh在kx点展开，有 133 2()()()()2!kkkkhy xhy xhy xyx 2()(,()()2!kkkkhy xhf xy xyx 故有 231()().2kkyxThO h Euler方法是一阶方法.例 1 试求梯形方法的阶和局部截断误差主项.解 该单步公式的局部截断误差是 111()()(,()(,()2kkkkkkkhTy xhy xf x y xf xy x 1()()()()2kkkkhy xhy xy xy x 23

8、()()()()()23!2kkkkkhhhy x hy xy xy xy x 24()()()2kkhy x hy xO h 134 34()().12khy xO h 故局部截断误差主项是3()12khyx，方法是二阶的.定义 3 设某种数值方法在ky上大小为的扰动，于以后各()nynk上产生的偏差均不超过，则称该数值方法是稳定的。通常用试验方程 yy （为复数）135 来讨论求解数值方法绝对稳定性.Euler方法稳定性 将 Euler公式用于试验方程 yy，得到 1(1)kkkkyyh yh y 设计算ky时有误差,k则有 11(1)()kkkkyhy 得 1(1)kkh 要想1kk，只

9、须11h，因此 Euler方法在11h时是绝对稳定的，其绝对稳定域为复平面h上以(-1,0)为中心的单位圆盘.绝对稳定区间为20.h 136 6.2 Runge-Kutta方法 11111,(2,3,)mkkiiikkrrkrkrjjjyyhc KKf xyKfxa h yhb Krm 称为m级 R-K方法.增量函数是 ()1,miiix y hcK x y h 137 构造过程 以2m来说明 Runge-Kutta方法的构造方法和过程，对一般的 Runge-Kutta方法可类似处理.2m的 Runge-Kutta公式为 11122kkyyh c Kc K 式中 1,kkKf xy，22211

10、,kkKf xa h yhb K.由,yf x y，可得 (),(),(),()xyy xfx y xfx y xf x y x 在kx处做 Taylor展开，有 2322!(,()(,()2!kkkkkkkxkkyxyxhyxyxhhOhhyxhfxyxfxyx 3(,()(,()ykkkkfxy xfxy xOh 对,kkxyxh在(,()kkxyx做二元 Taylor展开，有 12,(,()(,()kkkkkkx y xhc f x y xc f x y x21(,()(,()ykkkkhbfxy xf xy x22(,()()xkka hfxy xO h 12()(,()kkccfxy

11、x 221(,()(,()ykkkkc b fx y xf x y x22(,()()xkka fxy xhO h 138 由 1,kkkkkTy xhy xhxy xh，有 1122211(,()()(,()2kkkxkkTccf xy xhc afxy x 232211()(,()(,()()2ykkkkc bfxy xf xy xhO h 选 1222221111,0,022ccc ac b 有 局 部 截 断 误 差 3TO h，这 样 可 得 到 二 阶Runge-Kutta公式.取20ct，则式（6.13）的解为 11ct，22112abt 取不同的t可得出不同的二阶 Runge-

12、Kutta公式.如取12t 时，得到改进的 Euler公式 1,2kkkkkkkkhyyfxyfxh yhfxy 1t 时，得到中点公式 1(,(,).22kkkkkkhhyyhfxyfxy 139 经典 Runge-Kutta公式 112341213243226,22,22,kkkkkkkkkkhyyKKKKKf xyhhKfxyKhhKfxyKKf xh yhK 140 四阶方法.例 1 设初值问题为 100yyy 00.4x 分别用 Euler方法（0.025h），改进 Euler方法（0.05h）和经典 Runge-Kutta方法（0.1h）计算。解 Euler方法计算格式（0.025

13、h）为 10.0251kkkyyy 改进的 Euler方法计算格式（0.05h）为 141 1121210.02510.051kkkkyyKKKyKyK 经典 Runge-Kutta方法计算格式（0.1h）为 142 1123412132431(22)6010.0510.0510.11kkkkkkyyKKKKKyKyKKyKKyK 它们的初值00y，计算结果及准确解列于下表 kx Euler 方法 改进 Euler 方法 经典 R-K 法 )(kxy 0 0 0 0 0 0.1 0.096 312 0.095 123 0.095 16250 0.095 162 58 0.2 0.183 348

14、 0.181 193 0.181 269 10 0.181 269 25 0.3 0.262 001 0.259 085 0.259 181 58 0.259 181 78 0.4 0.333 079 0.329 563 0.329 679 71 0.329 679 95 143 例 2 给定初值问题0(,)()yf x yaxby ay 1）分析求解公式 122(,)3(,(,)433mmmmmmmmhyyf xyf xh yhf xy 的局部截断误差，指出它是几阶公式；2）证明用上面求解公式计算初值问题 01(0)1yyxy 的数值解 1nmmy成立极限 2011l i m6nhyyhe

15、本题中的节点是等距节点，h 为步长，n 为由节点分割区间 a,b 的份数.144 解 由题意有,0,1,mbahxamh mnn 1）局部截断误差 1122()()(,()3(,()(,()433mmmmmmmmmhTy xy xf x y xf xh y xhf x y x1322()()()(,()()4433mmmmmmhy xy xy xhf xh y xhy x 将1mmy xy xh在mx点做 Taylor展开到3h项，将22(,()()33mmmf xh y xhy x在,mmxy x点做二元 Taylor展开到2h项，则有 3431,()()6mmymmhTyxfxy xO h

16、O h 得所用公式是2阶的.2）显然所给初值问题的准确解为 xy xe。由给出的数值解计算公式有 145 21111112220213()1432111111222nnnnnnnnhhyyyyhyhhyhhyhhhh 故 1122200111limlim12hnhhyyehhhh 211ln112201limhhhheeh 231116201limhOhheeh 2311620lim1hOhheeh 1234201lim6hehOhOhh 16 e 式中221111ln 1ln 122hhhhhh 232224231111112223216hhhhhhO hhhO h 146 6.3 线性多步

17、法 线性多步法的一般计算格式为 100,0,1,2,nnk nik iik iiiyyhfk 式中,ii 均为常数,(,),0,1,k ik ik iff xyin，k ix为等距节点，步长为 h.若00,不同时为零，计算一个kny需要用到前n个值,11nkkkyyy,方法称为线性n步法.当 n1 时就称为线性多步方法.构造线性多步法有基于数值积分方法和 Taylor 147 展开方法两种手段.局部截断误差和精度 线 性 多 步 法 在k nx的 局 部 截 断 误 差 为100()()(,()nnk nk nik iik ik iiiTy xy xhf xy x 100()()().nnk

18、nik iik iiiy xy xhy x 若1(),pk nTO h 则称方法是p阶的.148 1.基于 Taylor展开的构造方法 例 1 设求初值问题 0,yf x yy ay 的线性 3步公式具有如下形式 1212()kkkkkyyh afbfcf h 为步长，试求系数 a,b,c使该公式的阶数尽可能高，并写出其局部截断误差.解 局部截断误差为 1211221212,kkkkkkkkkkkkkTy xy xh afxy xbfxy xcfxy xy xy xh ayxbyxcyx 149 423452344511123!4!111222223!4!kkkkkkkkkky xy xhh

19、yxyxhyxhO hy xy xhhyxyxhyxhO h 42342344243451123!1122223!332231514222863kkkkkkkkkkkkkhayxbh yxhyxyxhyxhO hch yxhyxyxhyxhO habc hyxbc h yxbc h yxbc h yxO h 因为有 3个待定系数，选择截断误差的前 3项的系数为零，得关于待定系数的线性方程组 150 301.5201.50.520abcbcbc 该方程组有唯一解 2.25,0,0.75abc，用此值代入第四项的系数，有 514308638bc 故有当2.25,0,0.75abc时，所给公式的阶数

20、达到最高，其值为 3，对应的局部截断误差为 44538kTh yxO h 2.基于数值积分的构造方法 151 Adams方法给出构造过程。1)(,()()(1kkxxkkdxxyxfxyxy 以121,kkk nk nx xxx 为 节 点 构 造)(,(xyxf的Lagrange插值多项式1(),nLx 可有(+1)1()(,()()()!nnnyf x y xLxxn，110()()(,().nnik ik iiLxl x f xy x 因此 11(+1)11()()()()()!kkkknxxkknnxxyy xy xLx dxx dxn因为 11)()(,()(101kkkkxxini

21、ikikxxndxxlxyxfdxxL ,)(,(10niikikixyxfh 式中 111,(),kkxkkiixhxxlx dxh 记 1(+1)()()!kknxnnxyRx dxn，152 有 110()()(,()nkkik ik iniy xy xhf xy xR 于是可得 n 步 Adams显示公式 101niikikkfhyy 其局部截断误差为 1(+1)()()!kknxnnxyTRx dxn(+1)110()(1)(1)!nnyht tt ndtn (+1)110()(1)(1)!nnyht tt ndtn 1()nOh 式中的定积分计算利用了变换,kk ikxxth xxih.若插值节点包括+1,kx则可得到 Adams隐式公式.153 常用的 Adams公式 1、4阶 Adams显式公式)9375955(243211kkkkkkffffhyy 局部截断误差)(720251)5(5yhT )(13kkxx 2、4阶 Adams隐式公式)5199(242111kkkkkkffffhyy 局部截断误差)(72019)5(5yhT )(12kkxx 154 155