九年级数学上学期期末复习知识点总结加经典例题讲解

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1、初三数学上册期末复习资料加经典例题第一章、图形与证明（二）（一）、知识框架(二)知识详解21、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）22、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 度；等边三角形的三条边都满足“三2.直角三角形全等的判定：HL4.等腰梯形的性质和判定5.中位线三角形的中位线梯形的中位线注意：若等边三角形的边长为a，则：其高为：，面积为：。1.等腰三角形等边三角形的性质和判定

2、等腰三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：4 个判定定理矩形的性质和判定菱形的性质和判定：3 个判定定理正方形的性质和判定：2 个判定定理注注意：（1）中点四边形顺次连接 任意四边形 各边中点，所得的新四边形是；顺次连接 对角线相等 的四边形各边中点，所得的新四边形是；顺次连接 对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是；顺次连接 对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。（2）菱形的面积公式：abS21（ba,是两条对角线的长）注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过 分割 和拼接 转化成 三角形 和平行

3、四边形 进行解决。即需要掌握 常作的辅助线。（2）梯形的面积公式：lhhbaS21（l-中位线长）线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3 条对称轴。判定定理：有一个角是60 度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。23、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B 为圆心，以大

4、于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线。24、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线25、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）直角三角形全等的判定定理定

5、理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）2.6、几种特殊四边形的性质FEDCBA边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等菱形对边平行，四条边都相等对角相等对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角正方形对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角等腰梯形两条底边平行，两腰相等同一底上的两个角相等对角线相等2.7.几种特殊四边形的判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相等（4）两条对角线互相平分（5）两组对角分别相等矩形（1）

6、有三个角是直角（2）是平行四边形，并且有一个角是直角（3）是平行四边形，并且两条对角线相等菱形（1）四条边都相等（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直正方形（1）是矩形，并且有一组邻边相等（2）是菱形，并且有一个角是直角等腰梯形（1）是梯形，并且两条腰相等（2）是梯形，并且同一底上的两个角相等（3）是梯形，并且对角线相等2.8、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线区别三角形的中位线与三角形的中线。三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半2.9、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。注意：中位线是

7、两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。（三）典型例题例题 1、下列命题正确的个数是如果一个三角形有两个内角相等，则此三角形是轴对称图形；等腰钝角三角形是轴对称图形；有一个角是 30角的直角三角形时轴对称图形；有一个内角是30，一个内角为 120的三角形是轴对称图形A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个答案：C 解析：两个内角相等，根据“等角对等边”知此三角形是等腰三角形，根据三角形的内角和为180，判断出此三角形是等腰三角形，所以都是等腰三角形，是轴对称图形，故正确，故选C。例题 2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不

8、一定具有的是A、两边之和大于第三边 B、有一个角平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90 D、内角和等于 180答案：B 解析：A、D是任何三角形都必须满足的，C 项直角三角形的两个锐角的和等于90，等腰三角形不一定具有，B项等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，直角三角形不具有这个性质，故选B。例题 3、等腰三角形的腰长为5，底边长为 8，则等腰三角形的面积为。答案：12 解析：根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，所以由勾股定理得到底边的高为2254=9=3，所以等腰三角形的面积为183=122，故填 12。例题 4、在ABCD中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 A

9、C 于点 F，则 AF：CF（）A1：2 B1：3 C2：3 D2：5【答案】A例题 5、在ABCD中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F（1）在图 1 中证明CE=CF；（2）若，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出 BDG 的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连结 DB、DG（如图 3），求 BDG 的度数【答案】(1)证明：如图1GFEDACB1 2 3 图 3 FEDACB图 1 GFEDACB图 2 AF 平分 BAD，BAF=DAF四边形ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD DAF=CEF，BAF=F CEF=FCE=C

10、F(2)BDG=45(3)解：分别连结GB、GE、GC（如图 3）ABDC，ABC=120 ECF=ABC=120FGCE 且 FG=CE四边形CEGF 是平行四边形由(1)得 CE=CF，平行四边形CEGF 是菱形EG=EC，GCF=GCE=12ECF=60ECG 是等边三角形EG=CG，GEC=EGC=60 GEC=GCF BEG=DCG由 ADBC 及 AF 平分 BAD 可得 BAE=AEBAB=BE在平行四边形ABCD 中，AB=DCBE=DC由得 BEGDCG BG=DG 1=2 BGD=1+3=2+3=EGC=60 BDG=180 BGD2=60 例题 6、如图，D 是ABC 内

11、一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（）A7 B9 C10 D11【答案】D 例题 7、已知：如图，在梯形ABCD 中，ADBC，AB=DC，E、F、M、N 分别是 AD、BC、BD、AC 的中点。试说明：EF 与 MN 互相垂直平分。（学生自己思考）第四章、一元二次方程（一）知识框架（二）、知识详解1、一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边

12、是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。2、一元二次方程的解法1、直接开平方法直 接 开 平 方 法 适 用 于 解 形 如bax2)(的 一 元 二 次 方 程。当0b时，bax，bax；当 b0 时，方程没有实数根。2、配方法一般步骤：一元二次方程一元二次方程的概念一元二次方程的解法直接配方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的探索一 元 二次方程的根的情况20(0)axbxca20(0),axbxca0,方程有两个不相等的实根;=0 时,方程有两个相等的实根;0时,方程无实根.一 元 二次 方 程的 根 与系 数 的关系方程20

13、(0),axbxca的两根为12,xx,则12bxxa,12cx xag一元二次方程的应用数量关系等量关系列一元二次方程解应用题242bbacxa（1）方程)0(02acbxax两边同时除以 a,将二次项系数化为1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成bax2)(（5）开方。当0b时，bax；当 b0，所以对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根例题 4、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55 元降到了 35 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（）A55(1+x)2=35 B35(1+x)2=55 C5

14、5(1x)2=35 D35(1x)2=55 解：C 例 5：（2006 南京）西瓜经营户以2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3 元/千克的价格出售,每天可售出 200 千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1 元/千克，每天可多售出 40 千克.另外，每天的房租等固定成本共24 元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元根据题意，得：20024)401.0200)(23(xx解得：1x 0.2，2x0.3 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2 或 0.3 元。第五章、中心对称图形二（圆的

15、有关知识）（一）、知识框架圆与圆有关的位置关系圆的定义,弧、弦等概念基本性质垂径定理及其推论圆的对称性弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论圆周角定理及其推论确定圆的条件不共线的三点确定一个圆三角形的外接圆点和圆的位置关系点在圆上dr点在圆外dr点在圆内dr直线与圆的位置关系相交dr相切dr相离dr判定性质切线长定理三角形的内切圆圆与圆的位置关系相交相切相离外离dRr内含dRr外切dRr内切dRr相 切 的 两圆 的 连 心线过切点相交RrdRr相 交 的 两圆 的 连 心线 垂 直 平分相交弦正多边形与圆正多边形和圆正多边形的有关计算圆 内 接 正 多 边 形作法-等份圆圆锥圆内接正多边形正

16、多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的周长、正三、六、十二边形正四、八边形180n Rl213602n RSlR扇形其中l为弧长，R 为半径SS侧展开的扇形SSS侧面积全面积（二）知识点详解一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线3、角的平分线：到角两边距离相等的点的

17、轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C 在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、圆与圆的位置关系rddCBAO扇形的弧长、面积图 1rRd外离（图 1）无交点dRr；外切（图 2）有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点RrdRr；内切（图

18、4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCDCEDE 弧 BC弧BD 弧 AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O中，AB CD弧 AC弧BD六

19、、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。图2rRd图 4rRd图 5rRdOEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO图3rRd即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 O中，C、D都是所对的圆周

20、角CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 O中，AB是直径或90C90CAB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，OCOAOB ABC 是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O中，四边形 ABCD 是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切

21、线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且 MN 过半径 OA外端 MN 是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：DCBAOCBAOCBAOEDCBANMAOPBAOECBADO从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆

22、圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点12O O垂直平分AB十二、圆内正多边形的计算（1）正三角形：在 O中 ABC 是正三角形有关计算在 Rt BOD 中进行：:1:3:2ODBD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：

23、扇形面积2、圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr hBAO1O2DCBAOBAOSlBAOB1RrCBAO3、圆锥与圆柱的比较名称圆柱圆锥图形图形的形成过程由一个矩形旋转得到，如矩形ADDG 绕直线AB旋转一周由一个直角三角形旋转得到，如RtSOA绕直线 SO旋转一周图形的组成两个底面圆和一个侧面一个底面圆和一个侧面面积、体积的计算公式S侧=2rh S全=S侧+2S底=2rh+2r2V=r2hS侧=r S全=S侧+S底=r+r2V=r2h（三）、典型例题例题 1某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平

24、放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.解：(1)作法略.如图所示.(2)如图所示，过O 作 OCAB 于 D，交于 C，OCAB，.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在 RtBOD 中，由勾股定理得：.即这个圆形截面的半径为10cm.例题 2、在Oe中，弦AD平行于弦BC，若80AOCo，则DAB_度【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系【思路点拔】B=12AOC，8

25、0AOCo B=40AD BC DABB=40【答案】填：40 例题 3、AB 是的 O 的直径，BC、CD、DA 是O 的弦，且 BC=CD=DA，则 BCD=（）A1000B1100C1200D1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识【思路点拔】AB 是的 O 的直径?ACB度数是 1800 BC=CD=DA?BC=?CD=?DA BCD=001(18060)2=1200【答案】选填 C 例题 4、如图，四边形内接于半径为的，已知，ABCD2OABBCAD141求 CD 的长。分析：连结 BD，由 AB=BC，可得 DB 平分 AD

26、C，延长 AB、DC 交于 E，易得 EBC EDA，又可判定AD 是 O 的直径，得 ABD=90，可证得ABD EBD，得 DE=AD，利用 EBC EDA，可先求出CE的长。解：延长 AB、DC 交于 E 点，连结BD ABBCAD141A D C B O 图 7-1 图 7-2，ABBCADADBEDB4 O 的半径为 2，AD 是 O 的直径 ABD=EBD=90，又 BD=BD ABD EBD，AB=BE=1，AD=DE=4 四边形 ABCD 内接于 O，EBC=EDA，ECB=EAD，EBCEDABCADCEAECEBCAEADBC ABBEAD()11412CDDECE4127

27、2例题 5、如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD()ABBCBCO12D 作半圆的切线交 AB 于 E，切点为 F，若 AE：BE=2：1，求 tanADE 的值。分析：要求 tanADE，在 RtAED 中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED 和 AE 的关系，进一步可求出AE：AD。解：四边形ABCD 为矩形，BCAB，BCDC AB、DC 切 O 于点 B 和点 C，DE 切 O 于 F，DF=DC，EF=EB，即 DE=DC+EB，又 AE：EB=2：1，设 BE=x，则 AE=2x，DC=

28、AB=3x，DE=DC+EB=4x，在 RtAED 中，AE=2x，DE=4x，ADx23则tanADEAEADxx22 333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例 题 6、如下 图，已 知 正 三 角形 ABC 的边长 为 a，分别 为 A、B、C 为 圆 心，以为半径的圆相切于点、，求、围成的图形面aOOOO OO OO O2123122331积 S。（图中阴影部分）分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3 个扇形面积。解：SaSaaABC扇，3433628222()阴Saaa3482 38222此题可变式为如下图所示，、两两不相交，且它们的半径都ABC为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a2()分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为 A+B+C=180，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，82a原题可在上一题基础上进一步变形：A1、A2、A3 An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形 A1A2A3An，求 n 个扇形的面积之和。解题思路同上。解：()n22