处理恒成立问题基本方法

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1、处理有关“恒成立”的思路方法乐山市井研县马踏中学 廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列， 不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我 们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了 保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而 且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合， 体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透 和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能 力，培养学生思维的灵活性，创造性，

2、所以是历年高考的热点。一. 恒成立问题的基本类型按区间分类可分为：在给定区间某关系的恒成立问题；在全体实数集上 某关系的恒成立问题。二. 处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 变量分离思路处理； 利用函数的性质，图象思路处理。若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为 函数的最值问题求解。在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。例2：若不等式x2+ax+1 0对一切x e (0,1成立，则a的取值范围为()25A. 0 B. -2 C.

3、-_D.-32,.一.1X2 11解析：由于X e (0, , a = X - _2xx11、，、，.1 一 ，一5.f(x) = x + 1在(0,1上单调递增，在x=1取得最小值5x 2225a 5 ,故选C2方法2：利用函数的性质，图象其主要体现在：1，利用一次函数的图象性质 若原题可化为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b(a 主 0).若y=f(x)在m,n内恒有f(x) 0(或f(x) 0， x e m,n恒成立 o(川) f(n) 0f(x) 0， x e m,n恒成立 o( f(n) A 0若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。例1：

4、函数f(x)是奇函数，且在-1,1单调递增，又f(-1)=-1，若f(x) t2-2at+1对所有的a e -1,1都成立，求t的取值范围解析：不等式中有三个变元，通过逐步消元法处理。首先选定主元x，.f (x)在-1,1递增.f(x) f (x). x e -1,1 即t2-2at+1 1，a e -1,1 上恒成立 o t2-2at 01. 不等式口 f(x)在区间D上恒成立 o m f(x) ,x g D或f(x)的上确界(若f(x)在x g D的值域为a,b,则a称为f(x)的上确界，b称为f(x)的下确界)2. 不等式口 f(x)在区间D上恒成立o m f(x)在区间D上有解o m

5、f(x) ,x g D 或f(x )的下确界n2.不等式m f(x)在区间D上有解o m 。都有f(x) ax成立, 求实数a的取值范围解析：由f(x) = (x+1)ln(x+1) ax，对所有的x 0恒成立可得:(1)当x=0时，a g R (2)当x0时,a 0,故h(x) 0，则函数h(x) .x + 1在(0，+3)为增函数，艮即h(x) h(0)=0，从而g(x) 0，则函数g(x)(x+1)ln(x+1)x在(0，+3)也为增函数，故g(x)无最小值此时，由于g(0)无意义，g(x) 的下确界一时也难确定，但运用极限的知识可得(x)limg(x),然而求此极限又超出了所学范围，事

6、实上采用洛比达法则可得img(x)=limln(x+1)+ 1 = 1,故x 0时,g(x) 1,因而a 0, -1, 1恒成立rg (1) 0J2t + t2 0= 。g(l) 0-2t+t2 0t g (oo, 2 u 0 J u 2, +oo)例2：若函数f (x) = j(a； - l)x； + (a - l)x +的定义域为R.求实数a的取值范围.解析：该题就转化为被开方数22 1)X2 + (a _ l)x + 2 a + 1 0在R上恒成立，注意对二次系数的讨论。解：依题意，当X G R时，2一(a2 1)x2 + (a l)x + 0恒成立，a + 11。当a2 1 = 0时，

7、即当尸2 T = 时=必1,此时a + 1 芝 02(a2 - 1)x2 + (a - l)x + 0 二 a二 1 成立a + 2。当a2 言0时，即当M T A 1= = 1 a 0综上可得,f(x)的定义域为即寸,a e 1,9方法三:直接根据函数图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后能非常容易地画出等式 或不等式两边函数的图象则可以通过画图直接判断得出结果例:设x G （0,4,若不等式Jx（4 - x） ax恒成立，求a的取值范围 解析：若设yJx（4 - x）则其图象为上半圆，设y2=ax为过原点且斜,Y率为a的直线.在同一坐 标系中作出函数图象，如下右依题意，半圆恒在直线上时，

8、只有a0,即其取值范围为a 0恒成立，求a的取值范围 .2a2a解析：因为log 2 . * 1的值随a的变化而变化，t=log 2 a * 1 ,则 上述问题实质是当t取何值时,不等式（3-t）x 2+2tx-2t0恒成立 它等价于，求解关于t的不等式组3 t 0 n t 0,A 02a即 log a- 0 n 0 a 12.选定主元法例:对满足不等式嘉2a也5的一切实数，不等戒a-3)x4a-2都成立求实数的取值范围解析:按常规理解要解以x为主元为以常数的一元一次不等式！比较烦琐若选a为主变元则可利用函数的性质解的取值范围 74i2aV25得：0a5设f(a) = (x-4)a-(3x-2

9、则由题意知对任意拘e (0,5)都Wf(a)01成立由一次函数的性质得(0) - 0f(5) 02解之得3 x 0，恒成立先变量分离得对&-(! )x+(2 )x+ . + (工)x, (n 2) n nn对于x e (-8,1恒成立构造函魏(x)=- )x+(? )x+.+ ()x, (n 2)n nn则问题转化为求该函数在,1止的值域由于函数u(x)=-h(k = 1,2.n - 1),x e (-a),1止是单调递增的n贝血(x)在(-8, 1为单调递增函1数于是g(x)的最大值为(1)二(n-1), 2从而可知a- (n-1),24.分类讨论例：若函数f(x)=侦kx2 - 6kx +

10、 (k + 8)的定义域为R,则的取值范围是()由题意kx 2 6kx+ (k + 8) 0恒成立(1).若，符合题意(2). 若，kx2 6kx + (k + 8) 0恒成立k0 0 36k2k4k(k + 8) 综上可得：0 k f (x)在x g。上恒成立 o m f (x)maxm f (x)在x g Q上恒成立 o m 0 可得上述结论等价于 f 伽)0 f (n) 0则根据函数的图象(直线)同理，若在m,n内恒有f(x)0，则有f (m) 0f (n) 2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个 作为常数.显然可

11、将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的一次函数大 于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在lai - 2时恒成立，设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0，故有：J f (-2) 0 尤2 - 4x + 3 0 fx 3或尤 即 ix2 -1 0 解得：L 试尤 3.即 xE(8, 1)U(3,+8)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点 均在x轴上方(或下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的 方法

12、，在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数y=ax2+bx+c(a手大于0恒成立，则有a 0且 V (2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。-2/(x) = .(a2 -1)x2 + (a -1)x +例3.若函数a +1的定义域为R，求实数a的取值范围. 2八(a2 1)x2 + (a 1)x +Z 0分析：该题就转化为被开方数a +1在R上恒成立问题，并且注 意对二次项系数的讨论.解：依题意，当E *时， 2八(a2 1)x2 + (a 1)x + 0a +1恒成立，a2 1 = 0,即当,时，a = 1,所以，当a +1 0,(a2 1)x2

13、 + (a 1)x + 2 = 1 a = 1.此时a +1a 2 1 0,a 2-M 0时，即当2 八时，A = (a 1)2 4(a2 1) 0当a +1有a2 10a + 9 0恒成立，求a的取值范围.分析：=f(x)的函数图像都在x轴及其上方，如右图所示: 略解：A = a 24(3 a )=a 2 + 4a 12 0 .6 a 0恒成立，求a的取值范围.分析：要使河2,2】时，f (x) 0恒成立，只需f (x)的最小值g (a) 0即可.2 a 2f (x)=解：a + 3。a 4时，4，令f (x)在L- ,2上的最小值为&(a).,a v7g(a) = f (-2) = 7 -

14、 3a 0 -a - 3 又. a 4二a不存在.2 a 0当 2 ，即4 a 4 时，246 a 2 又. 4 a 4 . 4 a 2当 2 即 a 7 又a 4/. 7 a 4综上所述，7 a 2在2,2上恒成立，若把2移到等号的左边，则把 原题转化成左边二次函数在区间一2,2时恒大于等于0的问题.略解：f (x) = x2 + ax + 3 a 2 0，即 f (x) = x2 + ax +1 a 0 在一2,2上成立 A = a 2 4 6 a) 0 .- 2 2 2 a 2 + 2 0f (2) 05 a 2%2 2f (2) 0综上所述，一5 a 2十2 一2.解法二：(运用根的分

15、布)- K -2- a 4 时，g(a) = f(2) = 7 % 23 a 不存在.2 a 2当2，即4 a 4 时，g(a)=f (2)=号 一a+322/2 2 a 2 克2 .4 a 2当 2 ，即 a 4 时，g(a) = f(2)= 7 + a 2 2 ,/. a 2 5二5 V a g(a)恒成立，贝g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max,(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式尤2 4x + 3 V 0，x 2 6 x + 8 0，2 x 29x + m V 0.要使同时满足的所有x的值

16、满足，求m的取值范围.略解：由得2x3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 9x + m 0在E (2,3)上恒成立，即m 012 + 2t 0n t 2或 t = 0或 t 。恒成立日口好分析：设y=lx+1l-lx-2l,即转化为求函数y=lx+1l-lx-2l的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.x -1要使y = |x +1| - |x - 2 = 2 x -1 -1 x a恒成立，只需a a恒成立，对任意实数x,不等式x+1| - x - 2 3;画出图象，得a q恒成立，求实麴心此粘，构造函数，利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再

17、考虑在给定区 间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解 题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数X，不等式X 2 log2解：业旦 + 2x log 至 + log 口2 0求a的取值范围。I2a=log0 72 a +1，acos2 f()= cos2 cos + 2的最小值。因为cos + 2 (cos + 2)2 一 4(cos + 2) + 4 cos + 2 a +12 4a2恒成立，log 工t因为 2a+1的值随着参数a

18、的变化而变化，若设则上述问题实质是“当t为何值时，不等式（3t）x2+ 2tx2t 0恒成立”。 这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于J3 t 02a求解关于t的不等式组：4）2 + 8t（3 T） 。解得，即有*，2 a +疽， 易得0 a 】。2、设点P（X，y）是圆X2+3 1）2 - =cos + 2 +一 4 cos + 2 -4 一 4 = 0上任意一点，若不等式x+y+c- 0恒成立，求实数 c的取值范围。（二）分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角总有sin2 0+ 2m cos0+ 4m 1 0成立，求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得m（2coS+ 4）

19、 CoS2 ，c cos2 2m 0，则原不等式等价变形为cos+ 2恒成立。根据边界原理知，2m必须小于f ()=cos2 cos + 2的最小值，这样问题化归为怎样求即cos = 0时，有最小值为0，故(三) 变更主元，简化解题过程4、若对于0 V m V 1，方程x + mx - 2m T = 0都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则m(X 2) = (1 X)2，1 一 X 2八 1 一 X 2m =0 VV 1由原方程知x。2，得x 一 2又0 V m V 1，即 x 一 2-1 一再 -

20、1 +岳V X V-11 V X V解之得 2或2。5、当a V 1时，若不等式x2 + (a 一 6)x + 已知关于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a的取值范围。解：令 y1=x2+4x= (x+2)2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线y2的图象是k=2,而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上 方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点(-4, 0)，此时纵截距为-8-6a-4=0,a= 一 2;2当直线为l2时，直线过点(0，0)，纵截距为-6a-4=0，a= 3A a的范围为分析

21、：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-40,注意到若将等号两边看 成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒 有唯一交点即可。 一 3a 恒成立，求x的取值范围。(四) 图象解题，形象直观6、设E (0，4，若不等式vx(4 x) aX恒成立，求a的取值范围。解：若设 1=TX(4 F，则(x 一 2)2+ y2 =4(y - 0)为上半圆。设y2 = aX，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有a 0时成立，即a的取值范围为a 0。7、当xG

22、(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切xe (1,2),y11，并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等 于y1的函数值。故 loga21, - - 1a 2 - 2ax+a 2 -2a -4=0恒有交点， 求a的范围。解：3-。)2+ y 2 =4 + 2，C(a，0)，当a 2时，联想到直线与圆的位置关系，则有 点A( 0，1)必在圆上或圆内，即点A( 0，1)到圆心距离不大于半径，则有 a 2 + 1 2)得 a 3分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程

23、联立，用判别式来解题 是比较困难的。若考虑到直线过定点A(0，1)，曲线为圆。(六) 分类讨论，避免重复遗漏10、当1 m(X2 1)恒成立，求x的范围。2 x 一 1 - 2只要x2 11 x g解得2恒成立，只要2 x 一 1-2x 2 1 ，解得解：使用|ml m当x2 1 0时，要使不等式x2 1恒成立，2 x 一 1 m当x 2 1 0恒成立，只有x = 1 o 综上得解法2：可设f (m) = (x21)m (2 x 1)，用一次函数知识来解较为简单。11、当1 x 0恒成立，求实数a的取值范围。(七) 构造函数，体现函数思想1x + 2 x + 3 x + (n 1) x + n

24、xaf (x) = lg12、(1990年全国高考题)设n，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且伫2，如果f (x)当x e (8, 1时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于x (一8, 1，有1x+ 2+(n _ 1)x+ nxa 0恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到淑的范围，可先将a分离出a -(!)x + (2)x +.+(1)x(n 2)来，得 n nn，对于g(x) = -(L) X + (2) X +.+(土) X (_11构造函数n nn，则问题转化为求函数gO在8， 上的值域。ku(x) = 一(一) x (k = 1，2，n -1)由于函数n

25、在X (一8，1上是单调增函数，则&(X)在(一，1上为单调增函数。于是有g(X)的最大值为：(1)2(n 1)，从而a - -(n -1)可得 2四、同步跟踪练习1、对任意的实数x，若不等式+1 - X 一 2 a恒成立，求实数的取值范围2、已知函数/ (x) =(m g R)，lg(2 x + 22-X - m)对任意的X g R都有意义，求实数m的取值范围。知f (X)是定义在(-8,3的单调减函数，且f (a2 - sin X) b -1当a、b满足什么条件时，关于x的不等式x2 - x +1对于一切实数x恒成立？5、已知f(x)= x3 + ax2 + bx + ,在x=1与x=-2

26、时，都取得极值。11(1)求a、b的值；(2)若xG -3,2都有f(x) 2恒成立，求实数c的取值范围。371 13 -页 八3 +打3- c 解、(1)a= 2 ,b=-6.(2)由 f(x)min=- 2 +c - 2 得 2或 26、定义在定义域D内的函数y = f (X)，若对任意的气,X g D，都有顷(气)- f气)1 1，则称函数y = f (X)为“接近函数”，否则称“非接近函数”.函数f=Wf +心G -1,1,a e R)是否为“接近函数” ？如果是，请给出证明；如 果不是，请说明理由.解：因为 lf(V 一 ffax - M函数f (x) = x3 - x + a(x

27、e -1,1,a e R导数是/(x) = 3x2 -1. 克当3x 2 -1 = 0时,即x = 土.3当0 x M 时,f( x) =3x 2 -1 0：xM 时,f( x) =3x 2 -10, 斯在x e 0,1内的极小值野号)=a -号_ 同理,f (x)在-1,0内 的极大值是1 (-W3) = a + 293;因为f=f (-1) = a,所以函数(x) = x3 - x + a(x e -1,1,a e R)的最大值是a + 孚,最小值是a -孚,故 l f (x ) - f (x )ll f - f l=坦 19912 max min 9所以函数f (x) = x3- x +

28、 a(x e -1,1,a e R)是“接近函数”7、对于函数f (x) = ax 2 +(b +1) x + b 2(a = 0)，若存在实数，使f(%)= %成立， 则称x0为f (x)的不动点。(1) 当a=2, b=2时，求f (x)的不动点；(2) 若对于任何实数b，函数f(x)恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；(3) 在(2)的条件下，若=f (x)的图象上A、B两点的横坐标是函数f (x)的不动1 y = kx +点，且直线2a2 +1是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围。解 f (x) = ax2 + (b +1)x + b 一 2(a。0),(1) 当 a=2,

29、b=2 时，f (x) = 2x2-x- 4.设 x 为其不动点，即 2x2 一x-4 = x.则 2x2 - 2x - 4 = 0.气=-1,% = 2.即f 的不动点是1，2.(2) 由f (x) = x得：ax 2 + bx + b 一 2 = 0.由已知，此方程有相异二实根，气恒成立，即b2 - 4a(b 一 2)0.即b2 - 4ab + 8a0对任意b e R恒成立.气 0.16a2 - 32a 0二 0 a 2.（3）设A（xi，气）,B（x ,x ）k = 一1y = kx +2，直线2a2 +1是线段ab的垂直平分线，_ b记 AB 的中点M （X 0，由（2）知02aM在y = kx +2a 2 +1上,. 2ab b 1=+ 2a 2a 2 +1化简得:b =2a 2 +112a + a5a=旦42时，等号成立）.即