数理方程与特殊函数：线性偏微分方程的基本解

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1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1本次课主要内容本次课主要内容线性偏微分方程的基本解线性偏微分方程的基本解(一一)、稳态场方程的基本解、稳态场方程的基本解(二二)、热传导方程的基本解、热传导方程的基本解(三三)、波动方程的基本解、波动方程的基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2其中其中L是关于是关于x1,x2,.,xn的二阶线性偏微分算子的二阶线性偏微分算子 不含时二阶线性偏微分方程：不含时二阶线性偏微分方程：f=0时，称方程为齐次方程，

2、否则，方程为非齐时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。次方程。(一一)、稳态场方程的基本解、稳态场方程的基本解fLu 2,112nnijii jiijiLabcx xx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3(1)、定义：方程、定义：方程()LuM 的解的解U称为方程称为方程 的基本解或格的基本解或格林函数林函数.()Luf M 基本解物理意义基本解物理意义 基本解反映点源作用情况，所以，基本解基本解反映点源作用情况，所以，基本解又称为点源函数。又称为点源函数。方程中方程中f(M)表示场源强度。表示场源强度。0.8

3、 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4(2)、性质、性质定理定理1：若：若U是方程是方程 的基本解，的基本解，且且u是是 的解，则的解，则u+U是方程是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式：的基本解。且方程所有基本解均有形式：u+U。()LufM 0L u 证明：因为：证明：因为：L uULuLU0LU()M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5所以，所以，u+U是基本解。是基本解。又由线性偏微分方程解的结构定理得定理的后又由线性偏微分方程解的结构定理

4、得定理的后一结论。一结论。定理定理2：若：若f(M)是连续函数，是连续函数，U(M)满足方程：满足方程：则如下卷积则如下卷积()LuM 3000*()()RUfU MMf MdM是方程是方程 的解的解.()LufM 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6证明：首先：证明：首先：其次：其次：00()()LUMMMM 3000*()()RL UfLUMMfMdM3000()()RLUMMfMdM3000()()RMMfMdM()f M 两点说明：两点说明：1)、该定理表明：欲求方程：、该定理表明：欲求方程：的的()Luf M

5、0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7特解，只要求出其基本解即可。特解，只要求出其基本解即可。2)、物理解释：、物理解释：方程：方程：的解可以理解为由静电的解可以理解为由静电场源场源f(M)激发的电势激发的电势.定理表明：求连续分布场，定理表明：求连续分布场，可以通过求点源的场来实现。可以通过求点源的场来实现。()Luf M 泊松方程的基本解泊松方程的基本解(1)、三维泊松方程的基本解、三维泊松方程的基本解设三维泊松方程的形式为：设三维泊松方程的形式为：3()uf MMR 于是基本解为方程：于是基本解为方程：的解的解.()

6、uM 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8拉氏方程的球坐标形式为：拉氏方程的球坐标形式为：为求出基本解，考虑：为求出基本解，考虑：的球对称解的球对称解.0u2222222111sin0sinsinuuurrrrrr若方程具有球对称，当若方程具有球对称，当r不为零时有：不为零时有：20ddurdrdr得解为：得解为：12CUCr若取若取121,04CC则求出则求出1,(0)4Urr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9通过验证得：通过验证得：于是求得

7、三维泊松方程的基本解为：于是求得三维泊松方程的基本解为：()UM 1,(0)4Urr例例1、写出三维泊松方程特解表达式、写出三维泊松方程特解表达式由基本解和定理由基本解和定理2得三维泊松方程特解表达式为：得三维泊松方程特解表达式为：300001*()()RuUfU MMMdM解：三维泊松方程为：解：三维泊松方程为：0()Mu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1030000()14MMRMdMr例例2 讨论粒子散射满足的定态薛定谔方程定解问题：讨论粒子散射满足的定态薛定谔方程定解问题：其中：其中：u(x,y,z)表示波函

8、数；表示波函数；v(x,y,z)表示作用势；表示作用势；k表示表示入射平面波矢量；入射平面波矢量；表示入射波振幅。表示入射波振幅。222222(,)(,)(,)(,)(,)(,),ik rikzmu x y zk u x y zv x y z u x y zheu x y zefrxyzr(,)f 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11表达式表达式 描述沿描述沿 z方向运动的入射粒子的平面方向运动的入射粒子的平面波波:解：基本解满足的方程为：解：基本解满足的方程为：由傅立叶变换和留数定理可以求出基本解为：由傅立叶变换和留

9、数定理可以求出基本解为：2(,)ik refr 描述粒子被散射后从散射中心向外发散的球面出射波的描述粒子被散射后从散射中心向外发散的球面出射波的表达式为：表达式为：1ikze2(,)(,)(,)u x y zk u x y zx y z 1()4ikrG rer 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12由定理由定理2得：得：由无穷远条件：由无穷远条件：22()()()muG rv r u rh 0300020()()2ik rrRmev r u r drhrr 12(,)ik rikzeuefr 0.8 1 0.6 0.4

10、 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13(2)、平面泊松方程的基本解、平面泊松方程的基本解设平面泊松方程的形式为：设平面泊松方程的形式为：2()uf MMR 于是基本解为方程：于是基本解为方程：的解的解.()uM 所以：所以：12(,)ik rikzeuefr 0300020()()2ik rrRmev r u r drhrr 03200020()(,)()()2ik r rik rikzRemerfev r u r drrhrr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14拉氏方

11、程的柱坐标形式为：拉氏方程的柱坐标形式为：为求出基本解，考虑：为求出基本解，考虑：的柱面对称解的柱面对称解.0u22222110uuurrrrrz若方程具有柱对称若方程具有柱对称(或园对称或园对称)，当，当r不为零时有：不为零时有：0ddurdrdr得解为：得解为：12lnUCrC若取若取121,02CC 则求出则求出1ln,(0)2Urr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15通过验证得：通过验证得：于是求得二维泊松方程的基本解为：于是求得二维泊松方程的基本解为：()UM 泊松方程基本解的物理意义：泊松方程基本解的物理

12、意义：三维泊松方程基本解相当于置于原点处电量为三维泊松方程基本解相当于置于原点处电量为0 0的正点电荷在空间的正点电荷在空间M M处产生的电势。处产生的电势。平面泊松方程的基本解相当于过坐标原点的电荷密平面泊松方程的基本解相当于过坐标原点的电荷密度为度为0的无限长导线在的无限长导线在M处产生的电势。处产生的电势。1ln,(0)2Urr(二二)、热传导方程的基本解、热传导方程的基本解(1)(1)、热传导方程柯西问题的基本解、热传导方程柯西问题的基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16(a)(a)定义：称定义：称的基本

13、解的基本解(或格林函数或格林函数)。200(,),(,0)(,0)0 xxGa Gxxttxttu x 的解为的解为热传导方程柯西问题热传导方程柯西问题2(,),(,0)(,0)0 xxua uf x txttu x (b)(b)求基本解求基本解(格林函数格林函数)0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17设一维设一维热传导方程柯西问题为：热传导方程柯西问题为：采用傅立叶变换求基本解。采用傅立叶变换求基本解。则其基本解满足：则其基本解满足：2020()4()0001(,)2()x xat tG x t x teatt2(,)

14、,(,0)(,0)0 xxua uf x txttu x 200(,),(,0)(,0)0 xxGa GxxttxttG x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18(c)(c)基本解与定解问题的解之间的关系基本解与定解问题的解之间的关系定理定理3 3：无界区域上波动方程定解问题：无界区域上波动方程定解问题的解为：的解为：0000000(,)(,;,)(,)tu x tG x t xtfxtdx dt 2(,),(,0)(,0)0 xxua ufx txttu x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5

15、 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19(a)(a)定义：称定义：称的基本解的基本解(格林函数格林函数)。200()()(0,)(,)0(,0)0 xxGa GxxtttGtG l tG x的解为有界的解为有界热传导方程问题热传导方程问题2(,),(0,0)(0,)(,)0(,0)0 xxua ufx txl ttutu l tux(2)(2)、有界区域上热传导方程的基本解、有界区域上热传导方程的基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20设一维设一维热传导方程边值问题为：热传导方程边值问题为：下面采用分

16、离变量法求基本解。下面采用分离变量法求基本解。则其基本解满足：则其基本解满足：2(,),(0,0)(0,)(,)0(,0)0 xxua ufx txl ttutu l tux200()()(0,)(,)0(,0)0 xxGa GxxtttGtG l tG x(b)(b)求基本解求基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21首先，由齐次化原理得：首先，由齐次化原理得：令令 则：则：(1)(1)分离变量：分离变量：(,)()()w x tT t X x200(0,)(,)0(,)()()xxtwa wtwtw l tw x

17、 txxt tt 200000(,)()()xxxxltwa wtwww x txxt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22得到两个常微分方程：得到两个常微分方程：(2)(2)固有值问题为：固有值问题为：固有值为：固有值为：2,1,2.nnnl20Ta T 0XX0(0)0,()0XXXX l固有函数为：固有函数为：()sin,1,2,nnxXxnl 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23(3)(3)另一个常微分方程的解为：另一个常微分方程的解为

18、：2222,1,2,natlnnTta en(4)(4)一般解为：一般解为：222211(,)(,)sinnatlnnnnn xw x twx ta el(5)(5)由初始条件和齐次化原理得：由初始条件和齐次化原理得：22202()00012(,;,)sinsinnattlnnxnxG x t xtelll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24所以，求得基本解为：所以，求得基本解为：22202()00012(,;,)sinsinnattlnnxnxG x t xtelll(c)(c)基本解与定解问题的解之间的关系基本解

19、与定解问题的解之间的关系定理定理4 4：有界区域上热传导方程定解问题：有界区域上热传导方程定解问题2(,),(0,0)(0,)(,)0(,0)0 xxua ufx txl ttutu l tux的解为：的解为：00000000(,)(,;,)(,)tlu x tG x t xtfxtdx dt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25(a)(a)定义：称定义：称的基本解的基本解(格林函数格林函数)。22002()(),(,0)(,0)0,(,0)0 xxtGa GxxttxttG xGx 的解为的解为无界区域波动方程无界区

20、域波动方程222(,),(,0)(,0)0,(,0)0 xxtua uf x txttu xux (三三)、波动方程的基本解、波动方程的基本解(1)(1)、无界区域上波动方程的基本解、无界区域上波动方程的基本解(以一维为例以一维为例)0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26(b)(b)、由齐次化原理和达朗贝尔公式得基本解为：、由齐次化原理和达朗贝尔公式得基本解为：00()000()1(,;,)()2xa ttxa ttG x t xtsxdsa(c)(c)基本解与定解问题的解之间的关系基本解与定解问题的解之间的关系定理定理

21、5 5：无界区域上波动方程定解问题：无界区域上波动方程定解问题的解为：的解为：0000000(,)(,;,)(,)tu x tG x t xtfxtdx dt 222(,),(,0)(,0)0,(,0)0 xxtua uf x txttu xux 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27(2)(2)、有界区域上波动方程的基本解、有界区域上波动方程的基本解以一维为例讨论该问题。以一维为例讨论该问题。(a)(a)定义：称定义：称22002()(),(0,0)(0,)(,)0(,0)(,0)0 xxtGa Gxxttxl ttG

22、tG l tG xGx的解为有界的解为有界波动方程问题波动方程问题222(,),(0,0)(0,)(,)0(,0)(,0)0 x xtuaufxtxl ttutul tuxux 的基本解的基本解(格林函数格林函数)。0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28(b)(b)、基本解为：、基本解为：0000121(,;,)sin()sinsinnnananxG x t xtttxanlll(c)(c)基本解与定解问题的解之间的关系基本解与定解问题的解之间的关系定理定理6 6：有界区域上波动方程定解问题：有界区域上波动方程定解问题的解为：的解为：00000000(,)(,;,)(,)tLu x tG x t xtfxtdx dt 222(,)(0,)(,)0(,0)(,0)0 x xtuaufxttutul tuxux 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 29作业作业P164习题习题6.6第第1，4，6，7，8题题P164习题习题6.7第第1，2题题 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30Thank You!