高等数学课件：v-1-9 函数的连续性与间断点

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1、高等数学第九节第九节 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点高等数学一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 高等数学2.连续的定义连续的定义定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在)(0 xU 内内有有定定义义,如如果果当当自自变变

2、量量的的增增量量x 趋趋向向于于零零时时,对对应应的的函函数数的的增增量量y 也也趋趋向向于于零零,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx,那那末末就就称称函函数数)(xf在在点点0 x连连续续,0 x称称为为)(xf的的连连续续点点.,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是高等数学定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在)(0 xU 内内有有定定义义,如如果果函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限存存在在,且且等等于于它它在在点点0 x处处的的函函数数值值)(0 xf,即即 )()(lim00

3、xfxfxx 那那末末就就称称函函数数)(xf在在点点0 x连连续续.:定义定义 .)()(,0,000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当高等数学例例1 1.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 高等数学3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处

4、处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 高等数学例例2 2.0,0,2,0,2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf高等数学4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连续函数连续

5、函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间高等数学例例3 3.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任取任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx ,1)2cos(xx.2sin2xy 则则,0,时时

6、当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy高等数学二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf高等

7、数学1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy高等数学2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfx

8、x 例例5 5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 高等数学解解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1 xfx),1(f.0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例5 5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 高等数学如例如例5中中,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在

9、在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy112高等数学3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例6 6.0,0,0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy,0)00(f,)00(f.1为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间高等数学

10、例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间注意注意 不要以为函数的间断点只是有限的几个点不要以为函数的间断点只是有限的几个点.高等数学 ,0,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在

11、 x=0 处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.高等数学o1x2x3xyx xfy ,1,1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:高等数学例例8 8.0,0,0,cos)(,处处连连续续在在函函数数取取何何值值时时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函

12、数函数 xxf,1 a高等数学三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)高等数学可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x高等数学思考题思考题高等数学思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都都连连续续.高等数学但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续高等数学作作 业业P74:2,3,4,5.P80:2(单单),3,4.