高等数学：第2章导数与积分2

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1、求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导数导数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数一、主要内容习题课习题课1 1、导数的定义、导数的定义定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数 1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都

2、存存在在且且相相等等.2 2、基本导数公式、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求导法则、求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(c是常数是常数),（3）vuvuuv

3、 )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多

4、个函数相乘和幂指函xvxu(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy dxttddxyd)()(22 (6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则4 4、高阶导数、高阶导数.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)5、微分的定义

5、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy(微分的实质微分的实质)6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在

6、点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理7 7、微分的求法微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(

7、arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)(二、典型例题例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arct

8、an21222yxxxy 求求设设解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 例例3 3.,45202 tdxdyt ttyttx求求设设解解分析分析:的的导导数数不不存存在在时时当当tt,0 不不存存在在时时当当dtdxt,0 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200tttttt|2|45lim0.0.00 tdxdy故故.,)0,0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例

9、4 4解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy 即即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(,)2()(xfxxxxf 求求设设例例5 5解解先去掉绝对值先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(222 xxxxxxxxxxf00|)2(|lim)0(0 xxxxfx,20时时当当 x;43)(2xxxf ,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf 0,2时时当当 x)2(f2)2(lim22 xxxx.4 )2(f2)2(lim22 xxxx.

10、4),2()2(ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf ,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或或20|)2(|lim)2(0 xxxxfx.,ln2出出切切点点与与切切线线方方程程求求相相切切与与曲曲线线为为何何值值时时，抛抛物物线线问问xyaxya 例例6 6解解 xaxxaxln122exea ,21解解得得：)21,(e切切点点为为：由题意由题意)(121exey 切切线线方方程程：.,1,1112)(2baxxbaxxxxfy处可导，确定处可导，确定在在已知函数已知函数设设 例例7 7解解)1()(lim)(lim11fxfxfxx 由连续性有由连续性有1 b

11、a1)1()(lim1)1()(lim11 xfxfxfxfxx由可导性有由可导性有1112lim11lim211 xxxbaxxx1 a2 b).0(,arcsin)(nyxy求求设设 例例8 8解解211xy 1)0(yyxxxxy 22321)1(0)0(yyxyx )1(2)()1()()1()2(2)2(2)1()2()1(nnnnnnyxyynnyxnyx )()1()()1()2(2)2(2)1()2()1(nnnnnnyxyynnyxnyx 代入上式，得代入上式，得将将0 x)0()0()1()0()()()2(nnnnyynny )0()0()(2)2(nnyny 1)0(y

12、0)0(y0)0()2(ky2)12()!12()0(kyk,2,1 k).(,0112)(xyytetxxyyy 求求所确定所确定由方程组由方程组设设例例9 9解解dxdyy dtdx2 dtteedyyy1 yeteexyyyy2)1(2)(0 dydytedteyydxdydyyedyy)2(3224)1(22yyeyeyeyeyyyy ).()(lim,1)(nafnafnafn 求求设设例例1010解解 nafnafnafnafnn )()(lim)()(lim原式原式 一、一、选择题：选择题：1 1、0)0(f则在点则在点0 x可导的充分必要条件为可导的充分必要条件为（）存在。）存

13、在。（A A）220)1(ln(limhhfh；（；（B B）hefhh)1(lim0；（C C）20)sin(tanlimhhhfh；（；（D D）hhfhfh)()2(lim0；2 2、函数、函数)(|1|)(3xxxf 在点在点1 x处的可处的可导，则必有（导，则必有（）（A A）0)1(；（B B）有有界界)(x；（C C）0)(lim1 xx；（；（D D）)(x 连续：连续：练习练习 题题 3 3、若函数、若函数,)0(),()1(bfxafxf ，则，则)(xf在在 1 x 处处()()（A A）必不可导；）必不可导；（B B）可导且）可导且af )1(；（C C）可导且）可导且

14、bf )1(；（D D）可导且）可导且abf )1(.4 4、如果、如果)(xf=（），那么），那么0)(xf.(A)(A)xxarccos2arcsin；(B)(B)xx22tansec；(C)(C)1(cossin22xx ；(D)(D)xarctanarcxcot.5 5、如果、如果 0),1(0,)(2xxbxexfax处处可导，那末（处处可导，那末（）（A A）1 ba；（B B）1,2 ba；（C C）0,1 ba；（D D）1,0 ba.6 6、已知函数、已知函数)(xf具有任意阶导数，且具有任意阶导数，且 2)()(xfxf ,则当则当n为大于为大于 2 2 的正整数时，的正整

15、数时，)(xf的的 n n 阶导数阶导数)()(xfn是（是（）（A A）1)(!nxfn；（B B）1)(nxfn；（C C）nxf2)(；（D D）nxfn2)(!.7 7、若若函函数数)(xf为为可可微微函函数数，则则dy（）（A A）与与x 无无关关；（B B）为为x 的的线线性性函函数数；（C C）当当0 x时时为为x 的的高高阶阶无无穷穷小小；（D D）与与x 为为等等价价无无穷穷小小.8 8、设设函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可导导，当当自自变变量量x由由0 x增增加加到到xx 0时时，记记y 为为)(xf的的增增量量，dy为为)(xf的的微微分分，xdyyx 0lim

16、等等于于（）（A A）-1 1；（B B）0 0；（C C）1 1；（D D）.三、证明三、证明textsin，teytcos 满足方程满足方程 )(2)(222ydxdyxdxydyx .四、已知四、已知)(,0)(afaf 存在存在，求求nnafnaf )()1(lim 五、设五、设,ln xxy 求求)1()(nf.六、计算六、计算302.9的近似值的近似值 .七七、一一人人走走过过一一桥桥之之速速率率为为 4 4 公公里里/小小时时，同同时时一一船船在在此此人人底底下下以以 8 8 公公里里/小小时时之之速速率率划划过过，此此桥桥比比船船高高2 20 00 0 米米，问问 3 3 分分钟钟后后人人与与船船相相离离之之速速率率为为多多少少？四、四、)()(afafe.五、五、)!2()1()1(2)(nfnn.六、六、2.09.2.09.七、七、16.8620(公里公里/小时小时).).