区间估计资料课件

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1、1-911第五讲 区间估计 在估计湖中鱼数的问题中在估计湖中鱼数的问题中,若我们根若我们根据一个实际样本，得到鱼数据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似的极大似然估计为然估计为1000条条.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000 条条.若我们能给出一个若我们能给出一个区间区间，在此区间内我们合理，在此区间内我们合理地相信地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中.这样对鱼数的估计就这样对鱼数的估计就有把握多了有把握多了.1-912 习惯上把置信水平记习惯上把置信水平记作作 1 ，这里，这里 是一个是一个 很小的正数很小的正数.也就是说，我们希望

2、确定一个区间，使我们能以也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，称为是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平置信概率，置信度或置信水平.1-9131.1.置信区间与置信度置信区间与置信度121,(01)P 定义定义 设总体设总体X;含一待估参数含一待估参数,1nXX 对于样本对于样本112(,),iinXX找出找出使得：使得：称区间称区间12,为为的的置信区间置信区间 1为该区间的为该区间的置信置信度度)2,1(i 区间估计区间估

3、计要求根据样本给出未知参数的范围，要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。1-914通常通常,采用采用95%95%的置信度的置信度,有时也取有时也取99%99%或或90%.90%.，%5 即置信度为即置信度为%.951 这时重复这时重复抽样抽样100次次,则在得到的则在得到的100100个区间中包含个区间中包含 真值真值 的有的有9595个左右个左右,例如:若 真值的有真值的有5 5个左右个左右 。不包含不包含是一个随机区间；是一个随机区间；1给出该区间给出该区间 含真值含真值 的的可靠度可靠度 。可能性。可能性。表示

4、该区间不包含真值表示该区间不包含真值 的的区间区间 12,1-915由于正态随机变量广泛存在，由于正态随机变量广泛存在，指标服从正态分布，指标服从正态分布，特别是很多产品的特别是很多产品的我们主要讨论总体分布为我们主要讨论总体分布为正态正态的的的区间估计的区间估计情形情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.1-916几个常用统计量复习(1)(0,1)XzNn *X-2 t=t(n-1)S/n（）*2222(1)(3)(1)nSn （）*221112*2222/4 F=(1,1)/SF nnS 2|PXZ（XN(0,1)2|

5、()aPttn2222122()()Pnn122(,)(,)PFFm nFFm n 1-917区间估计的一般步骤;,)1并求出其分布函数的估参数构造一个含有样本及待U;,1 1 2)dcdUcP求出给定置信度21,)3求出求解dUc尽量小一般要求121-9182.2.正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计(1)(1)已知方差，估计均值已知方差，估计均值nXX,1设设为总体为总体 ),(2 NX的一个样本的一个样本置信度置信度 1下，来确定下，来确定设已知方差设已知方差 ，202 且且 niiXnX11是是的的一个无偏点估计一个无偏点估计.的置信区间的置信区间 )1,0(/0NnXZ 构造

6、统计量构造统计量12,1-9190 1/XPn,1 对于给定的置信度对于给定的置信度 查正态分布表，找出查正态分布表，找出12,临界值临界值 121PZ 使得：使得：由此可找出无穷多组由此可找出无穷多组 通常我们取对称通常我们取对称使：使：区间区间 ,由上由上 分位点的定义分位点的定义 12,1-9110202(Zn/)XZ 00/2/2,XzXznn推得，随机区间：推得，随机区间：查正态分布表查正态分布表,21)(找出找出得：得：1-9111 需要指出的是，给定样本，给定置信水需要指出的是，给定样本，给定置信水平，平，置信区间也不是唯一的置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置

7、信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短.任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)下下95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信的置信区间区间.置信区间短表示估计的精度高，1-9112像像 N(0,1)分布概率密度分布概率密度图形是单峰且对称的情况。图形是单峰且对称的情况。当当n固定时以固定时以2znX 的区间长度为最短，的区间长度为最短，我们一般选择它。我们一般选择它。若以若以L为区间长度，则为区间长度，则22znL 可见可见L L随随 n n 的增大而减少（的增大而减少（给定时），

8、给定时），1-9113115)110120115(91 x例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从5-65-6岁的幼岁的幼儿中随机地抽查了儿中随机地抽查了9 9人人,其高度分别为其高度分别为 115,120,131115,120,131115,109,115,115,105,110cm;115,109,115,115,105,110cm;假设标准差假设标准差，70 置信度为置信度为95%;95%;试求总体均值试求总体均值的置信区间的置信区间解解 已知已知.05.0,9,70 n由样本值算得：由样本值算得：查正态分布表查正态分布表得得得置信区间：得置信区间：00/2/2

9、,XzXznn)57.119,43.110(，96.1025.02 zz 1-91140.05,;115,9,70 xn 0.040.010 10.95/XPZZn)33.237115,33.237115()44.120,56.110(置信区间越短置信区间越短,估计精度越高估计精度越高88.92 L14.91 L000.010.04,XzXznn注意：注意：置信区间并不是唯一的。置信区间并不是唯一的。同样给定同样给定 1-9115nSX T/niiXXnS122)(11构造统计量：构造统计量：,1对于给定对于给定的的分布表，得临界分布表，得临界值值t查查使使我们取对称区我们取对称区间间1|TP

10、使使1/XPSn 即：即：未知方差，估计均值未知方差，估计均值可用样本方差：可用样本方差：(2)1(nt 21,121TP,1-9116/2/2/XttSn，1|TPt由由分布表分布表查查t分布表分布表),1(2 nt 找出找出n其中，其中，是样本容量是样本容量1 n是表中自由度；是表中自由度；/2/2,SSXtXtnn推得，随机区间：推得，随机区间：得得1-9117由中心极限定理知，当当 n 充分大时，充分大时，无论无论X服从什么服从什么分布，都近似有分布，都近似有)1,0(/NnSXZ近似当当n很大时，很大时，用样本方差用样本方差代替代替后对分布影响不大后对分布影响不大故故n很大时，如很大

11、时，如n50)1,0(/NnXZ则则的置信度为的置信度为1 1的置信区间的置信区间为为,22 unSXunSX1-9118均值的区间估计总结均值的区间估计总结(1)(1)方差已知方差已知)1,0(/0NnXZ 00/2/2,XzXznnnSX T/方差未知方差未知(2)1(nt/2/2,SSXtXtnn1-91193.方差的区间估计设设nXX,1),(2 NX为总体为总体的一个样本的一个样本构造统计量：构造统计量：)()(2212nXnii)1,0(),(2NXNXii已知数学期望1)()(1222122nnP给定置信度(1)1-91201)()()()(21122212222nXnXPnii

12、nii得到求解)()(,)()(:12112212222nXnXniinii置信区间为的1-9121（2）数学期望未知.设设nXX,1),(2 NX为总体为总体的一个样本的一个样本 niiXXnS122)(112是是的一个点估计的一个点估计构造统计量：构造统计量：)1()1(2222nSn因此使概率对称的区间：因此使概率对称的区间：由于由于2 分布无对称性，分布无对称性，2122(1)1nSP 即：即：1-9122由由2分布表的构造分布表的构造2122(1)1nSP，/2222221/2(1)(1)(1)(1)nSnSnn置信区间置信区间：/22221/22(1)(1)(1)1nSPnn，即即

13、/222221/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn)1(22 n 2 yfx)1(221 n 2 1-9123两个正态总体参数的区间估计，设),(),(222211NYNXYX和和分别是这两个样本的均值分别是这两个样本的均值,且且 X 与与 Y 独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X 的样本的样本,Y 的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,则有则有Y1,Y2,2nY是取自是取自;1111 niiXnX;1212 niiYnY;)(11211211 niiXXnS;)(11212222 niiYYnS21S和和 22S1-9124),(1211nNX ),

14、(2222nNY ),(22212121nnNYX )1,0()(22212121NnnYXZ构造统计量12 211（）和和 已知，已知，22 的置信区间的置信区间 ,X Y独立独立 1.两个正态均值差两个正态均值差 的置信区间的置信区间12 1-91252221212122),(-,nnzYXYXz其中的置信区间为经换算得出查表得1)(,122ZZZP有给定置信度1-9126)2(112)1()1()(21212122221121nntTnnnnSnSnYXT则构造统计量2)1()1(21222211nnSnSnSW记222122（）未知，未知，12 的置信区间的置信区间 1-9127212

15、111)(nnSYXTW简记为1)(,122TTTP有给定置信度212111),(-,22nnStYXYXtW其中的置信区间为经换算得出查表得1-9128测得零件尺寸如下分别抽取若干样品件两台机器加工同一种零例,:7,5.56.0,5.5,5.6,5.7,5.8,5.6,5.9,5.:6.00,6.0,5.8,5.8,5.7,6.5,6.0,6.3,6.2,5.7,6.:第二台第一台值之差作区间估计试对两机器零件尺寸均取置信度且方差相同件尺寸均服从正态分布假设两台机器加工的零%,95,0.05 95.01 ,9 ,11),(),(212221，尺寸表示第二台加工的零件零件尺寸，表示第一台机器加

16、工的解：用nnNYNXYX1-912924.0)1(,7.5 64.0)1(,0.6 222211SnYSnX经计算得212111)(nnSYXTW简记为)18()2(112)1()1()(21212122221121tnntTnnnnSnSnYXT则2088.0113.07.50.6)5088.0,0912.0(),(-2211.0,1009.2)18(21210025.02nnStYXYXYXStWW，其中的置信区间为经换算得出查表得1-9130已知时一样处理和代替用很大但均未知222122212221212221,)50(,)3SSnn2221212122),(-,nSnSzYXYXz其

17、中的置信区间为经换算得出查表得1-9131二、两个总体方差比二、两个总体方差比 的置信区间的置信区间 2212 （仅讨论（仅讨论 未知的情况）未知的情况）12,，设),(),(222211NYNX)1()1(),1()1(22222211221211nSnnSn已知)1,1()1/()1()1/()1(2121222221222222121211nnFFSSnSnnSnF则构造统计量1-91321)1,1()1,1(,12121122nnFFnnFP有给定置信度的置信区间为经换算得2221)1,1(1,)1,1(1(222121122212122SSnnFSSnnF1-9133)1,1()1/

18、()1()1/()1(1/1221222221222222121211nnFFSSnSnnSnF若构造统计量的置信区间为2221)1,1(,)1,1(222112222112122SSnnFSSnnF)1,1()1,1(1 )1,1()1,1(1:12121122112222nnFnnFnnFnnF注意1-9134 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题

19、了寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取这时，可将置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间叫单侧置信区间.三、单侧置信区间1-9135于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义：11P),(2111nXXX 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定,0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间.),1 11 称为单侧置信下限称为单侧置信下限.1-9136),(2122nX

20、XX 又若统计量又若统计量 满足满足 12P2 则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间.,(2 1 称为单侧置信上限称为单侧置信上限.1-9137设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均求灯泡寿命均值值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限.例例4 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280)1(ntnSX 由于方差由于方差 未知，未知，2 解：解：的点估计取为样本均值的点估计取为

21、样本均值 X选取统计量为1-9138 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位数，确定分位数)1(nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1)1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间为信区间为 1,)1(nSntX 1-9139 将样本值代入得将样本值代入得 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时小时 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为 1即即nSntX)1(1-9140例例5 5 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时为估计制造某种产品所需要的单件平均工时（单位：小时），现制造（单位：

22、小时），现制造5 5件，记录每件所需工时如件，记录每件所需工时如下下10.5 11.0 11.2 12.5 12.810.5 11.0 11.2 12.5 12.8假设制造单位产品所需工时假设制造单位产品所需工时),(2NX试求平均工时的置信水平为试求平均工时的置信水平为0.950.95的单侧置信上限的单侧置信上限.),(2NX2)1(/ntnSXt解解 由由于于,其中其中未知未知,因因此此1-9141t)1(1nt1)1(/1ntnSXP)1()1(1ntnt1)1(/ntnSXP对于给定的对于给定的,由由分布的上分布的上 分位点的定义分位点的定义,存在存在,使得使得而而,所以所以,1-91

23、421)1(ntnSXP)1(,ntnSX)1(ntnSX即即 故故的单侧置信区间的单侧置信区间为为单侧置信上限为单侧置信上限为1-91435n6.11x995.02s95.0105.01318.2)4()1(05.0tnt55.121318.25995.06.11)1(ntnSX,经计算得经计算得,由由,得得从而可得单侧置信上从而可得单侧置信上限限因此因此,加工这种产品的平均工时不超过加工这种产品的平均工时不超过12.5512.55小时小时的可靠程度是的可靠程度是95%.95%.1-9144单正态总体的区间估计),(2NX1221uWuP被估参数条件统计量(枢轴变量)置信区间 已知 2 未知

24、2)1,0(NnXU )1(ntnSXT 22,unXunX )1(,)1(22ntnSXntnSX 1-9145被估参数条件统计量(枢轴变量)置信区间 2已知 2未知)(212nXnii )1()1(222 nSn )()(,)()(221122212nXnXniinii )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn1-9146被估参数条件统计量(枢轴变量)已知12与22 未知12和22未知1和2)1,0(22212121NnnYXU)2(11212121nntnnSYXTw)1,1(212221212222222121nnFSSSSF21 21 2221 双正态总体的区间估计,22

25、212122212122nnzYXnnzYX2111),(2nnStYXYXW置信区间)1,1(1,)1,1(1222121122212122SSnnFSSnnF1-9147单正态总体的单侧区间估计,2unX),(2NX被估参数条件单侧置信上限单侧置信下限 已知 2 未知2 2,unX)1(,2ntnSX,)1(2ntnSX1-9148被估参数条件单侧置信上限单侧置信下限 2已知 2未知,)()(2212nXnii,)1()1(222nSn)()(,022112nXnii)1()1(,02212nSn1-9149被估参数条件单侧置信上限已知12与22 未知12和22未知1和221 21 222

26、1 双正态总体的单侧区间估计,2221212nnzYX,11(212nnStYXW单侧置信下限,)1,1(12221212SSnnF11,212nnStYXW)1,1(1,022212112SSnnF,2221212nnzYX1-9150非正态总体参数的区间估计的置信区间的置信度为求总体均值较大时当未知的样本为总体设1,),(21nEXXXXXTn 对于非正态总体，（除具有可加性外）精确对于非正态总体，（除具有可加性外）精确的抽样分布很难求出，进行参数的区间估计比较的抽样分布很难求出，进行参数的区间估计比较困难，在大样本条件下，可以求出某些统计量的困难，在大样本条件下，可以求出某些统计量的近似分布，本质归于正态近似分布，本质归于正态)1,0(/:NnSXnLn时当已知1-91511)(1)|/(|)(,122222nSzXnSzXPznSXPuznnn有有时用可求得给定置信度),(),(122nSzXnSzXnn的置信区间为的置信度为所以例题例题p72