第10章正交编码与伪随机序列v3

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1、1通信原理第第10章章 正交编码与伪随机序列正交编码与伪随机序列2023-3-7210.1引言 2023-3-7 正交编码不仅可以用于提高数字通信系统的可靠性，还可以用来实现码分多址，在移动蜂窝通信中广泛应用。伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩谱通信和保密通信等领域都有着十分广泛的应用。32023-3-710.2 正交编码的基本概念和常见的正交编码正交编码的基本概念和常见的正交编码10.2.1 正交编码的基本概念正交编码的基本概念 设码长为n的编码中码元只取值+1和-1。如果x和y是其中的两个码组：x=(x1,x2,xn)，y=(y1,y2,yn)，其中，xi,yi +1,-1，i=1,2,

2、n，则码组x和y的互相关系数被定义为ii11(,)nix yx yn 如果码组x和y正交，则(x,y)=0。42023-3-710.2.1 正交编码的基本概念正交编码的基本概念(续续)这4个码组中任意两者之间的相关系数都为0，即这4个码组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为正交编码。52023-3-710.2.1 正交编码的基本概念正交编码的基本概念(续续)一个长为n的码组x的自相关系数被定义为xii+j11(),0,1,1 nijx xjnn其中，x的下标按模n运算，即xnk xk。举例：如果数组x=(x1,x2,x3,x4)=(1,1,-1,-1)，则42xi111(0)(1 1 1 1

3、)144 ix4xii 1122334411111(1)()(1 1 1 1)0444 ix xx xx xx xx x4xii 213243 1421111(2)()(1 1 1 1)1444 ix xx xx xx xx x4xii 3142132431111(3)()(1 1 1 1)0444 ix xx xx xx xx x62023-3-710.2.1 正交编码的基本概念正交编码的基本概念(续续)在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示码元的可能取值。若规定用二进制数字“0”代替上述码组中的“-1”，用二进制数字“1”代替“+1”，则码组x和y的互相关系数被定义为其中，

4、a表示码组 x和y中对应码元相同的个数，b表示码组x和y中对应码元不同的个数。(,)abx yab72023-3-710.2.1 正交编码的基本概念正交编码的基本概念(续续)若两个码组间的互相关系数 0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任意两码组之间均超正交，则称这种编码为超正交码。例如，对于3个码组：x1=(+1,+1,+1)，x2=(+1,-1,-1)，x3=(-1,-1,+1)，由它们构成的编码是超正交码。由正交编码和其反码构成的编码就是双正交编码。10.2.2 常见的正交编码常见的正交编码 常见的正交编码有Hadamard码矩阵、Walsh矩阵和伪随机序列等。82023-3-7

5、10.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)1.Hadamard码矩阵码矩阵 Hadamard码矩阵是法国数学家M.J.Hadamard于1893年首先构造出来的一种方阵，仅由元素+1和-1构成，而且其任意两行(列)之间是互相正交的，简记为H矩阵。H矩阵的最低阶数为2，即 为了简便起见，把上式中的1和1简写为和，上式就表示为211 11H2 H92023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)阶 数为2k的高阶H矩阵从下列递推关系得出其中，k为正整数，是直积运算。上式的直积运算是指将矩阵Hk/2中的每一个元素用矩阵H2代替，比如，kk/22 H=HH2242222 HH

6、HHHHH102023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)H2矩阵、H4矩阵和H8矩阵都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为“”，我们把这样的H矩阵称为Hadamard码矩阵的正规形式，或称为正规Hadamard码矩阵。4484244 HHHHHHH112023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H矩阵。可以证明，高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。H矩阵是正交方阵。如果把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种码长为n的正交编码，它包含n个码组。因为长度为n的编码共有2n个不

7、同码组，如果只将这n个码组作为许用码组，其余(2n-n)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码在纠错编码理论中称为Reed-Muller码。122023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)2.Walsh矩阵矩阵Walsh函数的定义常用三角函数法、拉德马赫函数乘积表示法、Hadamard矩阵表示法和递推公式法等。这里介绍Walsh函数的递推公式形式，其定义为/2111 wal(0,)220 Otherswal(,)=wal(2,)11 (1)wal,2(1)wal,2 44qjj qttk tjq tjtj 其中，j=0,1,2,q=0或1，j/2表示j/2的整数

8、部分。132023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)为了便于理解，做以下几点说明：(1)当把Wal(j,t)改成Wal(j,2t)时，表示保持波形相对形状不变，只是将时基从-1/2 t 1/2压缩到-1/4 t 1/4；(2)当把Wal(j,2t)改成Walj,2(t 1/4)时，表示保持波形相对形状不变，只是将波形向左(对应“+”号)或向右(对应“-”号)平移 1/4。例如，Wal(5,t)应该根据Wal(2,t)递推出来，此时，k=5,j=2,q=1,j/2=1。142023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)1 12 1Wal(5,)Wal(

9、2 2 1,)11 (1)Wal 2,2(1)Wal 2,24411 Wal 2,2Wal 2,244tttttt 0 01 0Wal(2,)Wal 2 10,11 (1)Wal 1,2(1)Wal 1,24411 Wal 1,2Wal 1,244tttttt 0 11 0Wal(1,)Wal 2 0 1,11 (1)Wal 0,2(1)Wal 0,24411 Wal 0,2Wal 0,244tttttt 152023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)162023-3-710.2.2 常见的正交编码常见的正交编码(续续)前八个Walsh函数中的任意两个函数都是正交的。将

10、前N个Walsh函数在等距的N个点抽样，再将抽样值写成矩阵形式，即得N N矩阵。例如，N=8时，可以得到8 8矩阵：W如果把Walsh矩阵的每一行作为一个码组，就得到Walsh编码。172023-3-710.3 伪随机序列 伪随机序列具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生。目前广泛应用的伪随机噪声都是由周期性数字序列经过滤波等处理后得出的。我们将这种周期性数字序列称为伪随机序列，它有时又被称为伪随机信号和伪随机码。常用的伪随机序列有m序列、M序列、二次剩余序列和双素数序列。182023-3-710.3.1 m序列的产生 m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线性反馈移

11、存器产生的周期最长的一种序列。一个4级线性反馈移存器如图10-3所示，其中的 表示模2加。192023-3-710.3.1 m序列的产生(续)设4个寄存器的初始状态为为(a3,a2,a1,a0)=(1,0,0,0)，则在移位1次时，由a3和a0模2相加，作为a3新的输入a3=1 0=1，新的状态变为(a3,a3,a2,a1)=(1,1,0,0)。这样移位15次后又回到初始状态(1,0,0,0)。产生的随机序列bn,n=0,1,2,=0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,。如果初始状态为全“0”，即(a3,a2,a1,a0)=(0,0,0,0)，则移位后

12、得到的仍为全“0”状态，应该避免。除全“0”状态外，只剩15种状态可用，由任何4级反馈移存器产生的序列的周期最长为15。202023-3-710.3.1 m序列的产生(续)一个n级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于(2n-1)。这种最长的序列称为最长线性反馈移存器序列，就是m序列。一般的线性反馈移存器原理方框图如图10-4所示，其中，各级移存器的状态用ai表示，ai=0或1，i为非负整数。反馈线的连接状态用ci表示，ci1表示此线接通，ci0表示此线断开。反馈线的连接状态不同，输出序列的周期就可能不同。212023-3-710.3.1 m序列的产生(续)寄存器an-1的新状态为n1n 12n

13、-2n 1 1n01n 12n 2n-1 10in-i1 =niac ac acac ac ac ac aaca222023-3-710.3.1 m序列的产生(续)ci的取值决定了移存器的反馈连接和序列的周期长度，故ci是一个很重要的参量。现在将它们与一个n阶方程一一对应，让它们在为n阶方程的系数，即2n 1012n-1i0()nniif xcc xc xcxxc x 这个n阶方程被称为特征方程或特征多项式。任何一个寄存器的输出都可以作为一个伪随机序列。如果我们把寄存器an-1的输出序列an,n=0,1,2,的每个元素与一个代数方程建立一一对应的关系，即2012n0()nnG xaa xa x

14、a x母函数232023-3-710.3.1 m序列的产生(续)定理定理10-1 如果多项式u(x)的阶数低于特征方程f(x)的阶数，该特征方程f(x)对应的母函数为G(x)，则证明证明()()()f xG xh x-nin-iin-i00110(1)1ii(i 1)1k10-1i-i(i-1)1i11()()nnnn iiin inniinniiikiknniiiiG xa xcaxxc xa xc xa xaxa xa xcaaxa xc x G x1iii(i 1)1111()nniiiic xG xcaaxa x242023-3-710.3.1 m序列的产生(续)当电路给定后，h(x)

15、仅决定于寄存器初始状态(a-i，a-i+1,a-1)。如果a1=1，则h(x)的阶数为(n 1)；若a1=0，则h(x)的阶数 0，f2(x)的阶数为n2，n2 0，则n1+n2=n。母函数G(x)可以看成是两个母函数G1(x)和G2(x)之和，其中G1(x)是由特征多项式f1(x)产生的，G2(x)是由特征多项式f2(x)产生的。由定理10-2可知，G1(x)对应的输出序列的最长周期为1121np G2(x)对应的输出序列的最长周期为2221np G(x)对应的输出序列的最长周期p应是p1和p2的最小公倍数LCMp1,p2，即282023-3-710.3.1 m序列的产生(续)这与定理已知条

16、件p=2n-1矛盾。因此，特征多项式f(x)应为阶数位n的既约多项式。定理定理10-4 如果n级线性反馈移存器的特征多项式f(x)是既约的，则由其产生的序列A=ak,k=0,1,2,的周期等于使(xp+1)被f(x)整除的最小正整数p。证明证明 如果序列A具有周期p，则母函数 12121212LCM,212122212321nnnnnnnppppp 292023-3-710.3.1 m序列的产生(续)k021121012p 101P 1211012p-101P-12-101p-12101p 1101p 1()111kkppppppppppppppG xa xaa xa xaxa xa xaxa

17、a xa xaxxaa xaxxaa xaxxxaa xaxaa xaxx101p 1()1()pph xxaa xaxf x302023-3-710.3.1 m序列的产生(续)设(xp+1)被f(x)整除的商为101p 1()pQ xbb xbx 不妨考虑一种具体的初始状态，a1a2an10，an1，则11(1)11()1niiiinnnih xcaaxa xc ac101p-12101p 11101p 101p 1()1()()()11ppppppppbb xb xh xG xf xf xxxxbb xbxbb xbxxbb xbx312023-3-710.3.1 m序列的产生(续)序列A

18、的周期为p或p的某个因子。若A以p的某个因子p1为周期，p1 p，则由定理10-4 可知，(xp1+1)必能被f(x)整除。所以，序列A=ak,k=0,1,2,的周期等于使(xp+1)被f(x)整除的最小正整数p。若一个n次多项式f(x)满足下列条件：(1)f(x)为既约的；(2)f(x)可整除(xp+1)，p=2n 1，n为正整数。(3)f(x)除不尽(xq+1)，q p；则称 f(x)为本原多项式。由定理10-4可知，一个线性反馈移存器能产生m序列的充要条件为：线性反馈移存器的特征多项式为本原多项式。322023-3-710.3.1 m序列的产生(续)例例10-1 用一个4级线性反馈移存器

19、产生m序列，试求其特征多项式。解解 线性反馈移存器产生的m序列的周期为p=2n 1=15。由于其特征多项式f(x)应可整除(xp+1)=(x15+1)。换言之，特征多项式f(x)应该是(x15+1)的一个因子。由于 154434322111111xxxxxxxxxxxx f(x)不仅应为(x15+1)的一个因子，而且还应该是一个4次本原多项式。上式表明，(x15+1)可以分解为5个既约因子，其中3个是4次多项式。332023-3-710.3.1 m序列的产生(续)342023-3-710.3.2 m序列的性质1.均衡性均衡性 在m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。准确地说，“1”

20、的个数比“0”的个数多一个。2.游程分布规律游程分布规律 把序列中取值相同的那些相继的(连在一起的)元素合称为一个“游程”。在一个游程中元素的个数称为游程长度。1510001111010110010001111010m 352023-3-710.3.2 m序列的性质 在其一个周期(m个元素)中，共有8个游程，其中长度为4的游程有1个，即“1 1 1 1”，长度为3的游程有1个，即“0 0 0”，长度为2的游程有2个，即“1 1”和“0 0”，长度为1的游程有4个，即两个“1”和两个“0”。一般说来，在m序列中，长度为1的游程占游程总数的1/2；长度为2的游程占游程总数的1/4；长度为3的游程占

21、1/8；以此类推。严格讲，长度为k的游程数目占游程总数的2-k，其中1 k (n-1)。而且在长度为k的游程中其中1 k (n-2)，连“1”的游程和连“0”的游程各占一半。362023-3-710.3.2 m序列的性质 3.移位相加特性移位相加特性 一个m序列A与其经过任意次延迟移位产生的另一个不同序列B模2相加，得到的仍是A的某次延迟移位序列C，即 A B=C4.自相关函数自相关函数 m序列的自相关函数可以定义为()ADADjADm其中，A和D分别是 m序列与其j次移位序列在一个周期中对应元素相同的数目和不同的数目，m是m序列的周期长度。372023-3-710.3.2 m序列的性质 由m

22、序列的均衡性可知，m序列一个周期中“0”的数目比“1”的数目少一个。所以，上式分子等于1。于是，若把m序列当作周期为T的连续函数s(t)，则其自相关函数为 ii+jii+j01()的数目的数目aaaajm1()121 jjmm，1-1,2,3,1()(10-14)1 0jmjmj382023-3-710.3.2 m序列的性质 5.功率谱密度功率谱密度 信号的自相关函数与功率谱密度构成一对傅里叶变换。m序列的功率谱密度为/2/2001()()()d11 0,0,1,2,1 OthersTTRs t s ttTTmiTiTiTmm2220121()Sa()2nnmTnPmmTm 392023-3-

23、710.3.2 m序列的性质 6.伪噪声特性伪噪声特性 如果对一正态分布白噪声取样，若取样值为正，则记为“”；若取样值为负，则记为“”。将每次取样所得极性排成序列，具有如下3个基本性质：(1)序列中“”和“”的出现概率相等；(2)“”游程和“”游程约各占一半；(3)功率谱密度为常数，自相关函数为一冲激函数()。从上述3个性质来说，m序列与上述随机序列极相似，所以，通常将m序列称为伪噪声(PN)序列或伪随机序列。402023-3-710.4 扩频通信 扩展频谱是指将信号的频谱扩展至很宽的频带，简称扩频。扩展频谱通信系统中的已调波的频谱宽度有可能是基带信号带宽的几十倍、几百倍、甚至上千倍。扩频技术

24、一般包括三种：直接序列扩频、跳频扩频和线性调频。直接序列扩谱通常用一段伪随机序列表示一个信息码元，然后对载波进行调制。伪随机序列的一个单元称为一个码片。由于码片的速率远高于信息码元的速率，所以已调信号的频谱得到扩展。412023-3-710.4 扩频通信(续)跳频扩谱使发射机的载频在一个信息码元的时间内，按照预定的规律，离散地快速跳变，从而达到扩谱的目的。载频跳变的规律一般也是由伪码控制的。在一个信息码元时间内，线性调频的载频在一个宽的频段中线性变化，从而使信号带宽得到扩展。如果线性调频信号工作在低频范围，则它听起来像鸟声，故又称“鸟声”调制。扩频的目的在于：(1)提高抗窄带干扰的能力，特别是提高抗有意干扰的能力。(2)防止窃听。422023-3-710.4 扩频通信(续)(3)提高抗多径效应的能力。(4)多个用户可以共用同一频带。(5)提供测距能力。432023-3-710.4 扩频通信(续)