高等数学课件D9习题

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1、目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6 第九章 习题课习题课一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6一、一、基本概念基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6思考与练习思考与练习1.讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令

2、,xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时,下列算法是否正确是否正确?目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令,xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为 1.第二步 未考虑分母变化的所有情况,1,111xyxxy时例如目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6解法3 令,sin,cosryrx0sincossincosl

3、im0rr原式此法忽略了 的任意性,时当4,0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-60,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示:利用,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故 f 在(0,0)连续;,0),0()0,(yfxf又因0)0,0

4、()0,0(yxff所以知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明证明:目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6而)0,0(f,00时，当yx22)0,0()()(yxf22222)()()()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微!232222)()()()(yxyx目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6例例1.已知求出 的表达式.),(yxf解法解法1 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf)1(),(yxyxf解法解法2)()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 相同.,)(),(22yxyxyx

5、yxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则xx)(且,yxv)()()(241241uvuvu目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6例例2.设其中 f 与F分别具,0),(,)(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对 x 求导,得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FF

6、fx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数,求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1(xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(1999 考研)目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6解法解法2 0),(,)(zyxFyxfxz方程两边求微分,得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6例例3.设),(zyxfu 有二阶连续偏导数,且,sin2txz,)ln(yxt求.,2

7、yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2)33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)(yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1 32f目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6练习题练习题1.设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()()1(222xyxfzxyxfzxyfxz2.P130 题12目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6解答提示解答提示:)()1(2xyfxz:)()2(2xyxfzxyxy

8、fxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy)1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 题目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-62222fxyyxz)(2xy21f 2222fxy:),()3(2xyxfz 22fxyyz目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6xvuxuvP130 题12 设求,sine,cosevuzvyvxuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sine,cosevyvxuu得由,vuz vvuvxuudsinedcosed提示提示:vvuvyuudcosedsinedyvuyuvyz利

9、用行列式解出 du,dv：目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6vvvvvyvxuuuuuuucosesinesinecosecosedsineddxuyxdd vucosevusineyu代入即得;xzxvyxvdddvusinevucoseyvxvxu及将代入即得.yzyvyu及将目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6t dttyxzxxyx0sine,2e),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,)(xyy 及)(xzz 分别由下两式确定求.ddxu又函数答案答案:321)sin()(e1ddfzxzxfxyfxux(2001考研）3.设目录 上页 下页 返回 结束 2023

10、-3-6三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6例例4.4.在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解解:设,1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则切平面的法向

11、量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby)(2020 xxax),(zyxFFFn 目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题.设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6222222zcybxaF1222222czbyax令2222xaxaFx02

12、2ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点.唯一驻点目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6例例5.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解解:设2261zyxd为抛物面上任一点，则 P),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6)()22(),(222yxz

13、zyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在,241414161mind647故目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6上求一点,使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1.在曲面yxz,093zyx并写出该法线方程.提示提示:设所求点为,),(000zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-62.在第一卦限内作椭球面1222222

14、czbyax的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示提示:设切点为,),(000zyx)1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出.),(000zyx则切平面为所指四面体体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,故取拉格朗日函数 例4 目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-63.设),(),(yxyxf均可微,且在约束条件(x,y)0下的一个极值点,0),(,0),()(0000yxfyxfAyx则若,0),(yxy已知(x0,y0)是 f(x,y)下列选项正确的是()0),(,0),()(0000yxfyxfByx则若0),(,0),()(0000yxfyxfCyx则若0),(,0),()(0000yxfyxfDyx则若提示提示:设),(),(yxyxfF0),(),(yxyxfFxxx0),(),(yxyxfFyyy(),0),(00yxy,),(),(0000yxyxfyy代入()得),(00yxfxD(2006考研),(),(),(000000yxyxyxfyxy目录 上页 下页 返回 结束 2023-3-6作业作业 P129 5，6，10，15，17