自动控制原理：第二章 控制系统的数学模型-2-1

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1、Automatic Control Principle Page:1自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 控制系统的时域模型2.3 拉普拉斯变换2.4 控制系统的复域数学模型2.5 控制系统的结构图与信号流图Automatic Control Principle Page:2自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 Automatic Control Principle Page:3自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 Automatic Control Principle

2、Page:4自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 系统或元件的输入端施加测试信号，记系统或元件的输入端施加测试信号，记录输出响应信号；选择适当的数学模型，根据输入、录输出响应信号；选择适当的数学模型，根据输入、输出数据拟合参数。（输入输出关系等价）输出数据拟合参数。（输入输出关系等价）黑箱黑箱 灰箱灰箱Automatic Control Principle Page:5自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 1.1.列写微分方程的步骤列写微分方程的步骤 确定系统及各元件的输入和输出确定系统及各元件的输入和输出 从输入端开始，按照信号的传递顺序，分析各元

3、件从输入端开始，按照信号的传递顺序，分析各元件的工作原理，按照其运动定律，列写微分方程（组）的工作原理，按照其运动定律，列写微分方程（组）消去中间变量，得到关于元件输入输出的微分方程消去中间变量，得到关于元件输入输出的微分方程和关于系统输入输出的微分方程和关于系统输入输出的微分方程 微分方程标准化，输入、输出分列等式的右侧和左微分方程标准化，输入、输出分列等式的右侧和左侧，且微分的阶次按降幂排列侧，且微分的阶次按降幂排列2.1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型连续系统的时域模型是描述系统及元件输入输出动连续系统的时域模型是描述系统及元件输入输出动态关系的微分方程态关系的微分方程Au

4、tomatic Control Principle Page:6自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 2.线性元件的微分方程线性元件的微分方程弹簧k、阻尼f和质量m组成的机械位移系统为消除重力的影响，以平衡点作为坐标原点，考虑增量。F(t)位移位移-x(t)-x(t)阻尼阻尼-f-f弹簧弹簧-k-k质量质量-m弹簧：()()kF tkx t阻尼器：()fdx tFtfdt（系统的输入量为外力 ,输出量为质体位移()F t()x t加速度计加速度计例2.1-1Automatic Control Principle Page:7自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天

5、天大大学学 按照力学运动规律牛顿第二定律：牛顿第三定律：22()()()(=kfd x tF tF tF tmdt）代入22()()()()=dx td x tF tkx tfmdtdt整理得22()()+()=()d x tdx tmfkx tF tdtdtAutomatic Control Principle Page:8自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 RLCur(t)uc(t)i(t)()di tLdt()Ri t1()i t dtC取ur(t)为输入量、uc(t）为输出量,回路电流i(t)为中间变量。根据电路元件特性和基尔霍夫定律1()()cu ti t d

6、tC()()()()crdi tLRi tu tu tdt()1()cdu ti tdtC微分微分代入整理22()()()()cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdt电阻R、电感L、电容C电路的数学模型例2.1-2Automatic Control Principle Page:9自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 物理性质不同的系统物理性质不同的系统可以具有相同或相似可以具有相同或相似的数学模型的数学模型/;()()/rLCm ku tF tkRCfk()()?cu tx t思考2模拟仿真模拟仿真思考1机械元件、电气元件的组合系机械元件、电气元件的组合系

7、统统数字仿真数字仿真可取可取数学模型数学模型22()()+()=()d x tdx tmfkx tF tdtdt22()()()()cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdtAutomatic Control Principle Page:10自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 思考3保留中间变量并整理保留中间变量并整理111ccrduidtCdiRuiudtLLL 一阶微分方程组N阶微分方程 01/01/1/ccruCuuiLR LiL状态方程 2 2维维N N维？维？一阶微分方程组二阶微分方程 Automatic Control Principle Pa

8、ge:11自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 直流电动机测速发电机电位器放大器 调节器功率放大器转速控制系统的数学模型转速控制系统原理图转速控制系统原理图-如何改变符号？例2.1-3Automatic Control Principle Page:12自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 转速控制系统方块图转速控制系统方块图 系统的系统的输入量输入量为电位器的调节电压为电位器的调节电压 u ui i，输出量输出量为齿为齿轮系输出转速轮系输出转速 。系统有。系统有6 6个元部件个元部件电压放大器电压放大器1112(/)(/)/ituRuRuR2111

9、/)()(ituuKuRRu（为比例系数）为比例系数）1KtuAutomatic Control Principle Page:13自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 1112(/)C/uRdudtuR12211111=()(/)C(/R RuududtdudtKRu控制器控制器2K(为比例系数，为比例系数，为微分时间常数）为微分时间常数）功率放大器功率放大器32auK u齿轮系齿轮系/mimiAutomatic Control Principle Page:14自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 测速发电机测速发电机输出电压与测量转速成正比输出

10、电压与测量转速成正比ttuKtu直流电动机直流电动机电机工作原理电机工作原理：输入电枢电压输入电枢电压 产生产生电枢电流电枢电流 ，与激磁电流产，与激磁电流产生的磁场相互作用，产生生的磁场相互作用，产生电磁转矩电磁转矩 驱动电机及负载旋转，同时在驱动电机及负载旋转，同时在电枢回路产生电枢回路产生反电势反电势 auaimMaE电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程aaaaaadiuR iEdtL 分别是电枢回路的电感和电阻分别是电枢回路的电感和电阻aaLR、反电势方程反电势方程eamECAutomatic Control Principle Page:15自动控制原理自动控制原理 南南京京航航

11、空空航航天天大大学学 电动机轴转矩平衡方程电动机轴转矩平衡方程mmmmmcdJfMMdt 分别是电机和负载折合到电机轴上的分别是电机和负载折合到电机轴上的转动转动惯量惯量、摩擦系数摩擦系数和和总负载转矩总负载转矩电磁转矩方程电磁转矩方程mmcJfM、mmaMC i电感电感 较小，通常可忽略不计，消去中间变量较小，通常可忽略不计，消去中间变量 aLaamiEM、mmmmaccdTK uK Mdt可得可得直流电动机的数学模型直流电动机的数学模型为为/()/()/()ammameammeammmacemmR fC CR fC CR fTKKCRCJCR机电时间常数机电时间常数电机传动增益电机传动增益

12、负载扰动增益负载扰动增益Automatic Control Principle Page:16自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 gcmcigiduTKKduMdttKd123123()/()mmmtmtiTK K K K KiK K K K KT123123/()mmtgK K K KiK K KKKK123123/()mmtgK K K KiK K K KKK123/()ccmtKiK K K K KK 消去各中间变量，可得消去各中间变量，可得转速控制系统时域数学模型转速控制系统时域数学模型 两个输入量：控制输入两个输入量：控制输入 ，扰动输入，扰动输入 iucM线

13、性元件及其组成系统线性元件及其组成系统的的数学模型数学模型均为均为线性微分方程线性微分方程关于输入输出变量及各阶微分的线性方程关于输入输出变量及各阶微分的线性方程Automatic Control Principle Page:17自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 3.线性系统的基本特性线性系统线性系统用线性微分方程描述的系统用线性微分方程描述的系统线性系统基本特性线性系统基本特性线性微分方程的特性：线性微分方程的特性：叠加原理叠加原理设线性微分方程为设线性微分方程为00()()n im inmiin im iiiddac tbf tdtdt若若 为为 的解，的解，为

14、为 的解的解,为常数为常数21()(f tf tBfAt微分方程的解为微分方程的解为21()(c tc tBcAt1()c t1()(ff tt2()c t2()(ff ttAB、一般表达式一般表达式则当则当Automatic Control Principle Page:18自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 叠加原理应用叠加原理应用叠加性叠加性齐次性齐次性可分别处理，逐一分析计算可分别处理，逐一分析计算 多个输入作用时，系统输出为各多个输入作用时，系统输出为各个输入单独作用下的输出之和。个输入单独作用下的输出之和。随输入增大，输出增大同样倍数随输入增大，输出增大同样

15、倍数可只研究单位输入信号的作用可只研究单位输入信号的作用例如例如:速度信号速度信号单位单位速度信号速度信号0()00Rttr tt，0()00ttr tt，Automatic Control Principle Page:19自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 4.非线性运动方程的线性化 实际系统普遍存在实际系统普遍存在非线性因素非线性因素，而组成控制系统，而组成控制系统的各元件的运动特性也都存在不同程度的的各元件的运动特性也都存在不同程度的非线性非线性。放大元件受电压或输出功率的的限制，当输入超放大元件受电压或输出功率的的限制，当输入超出线性范围时，输出呈出线性范围时

16、，输出呈饱和现象饱和现象；执行元件电动机；执行元件电动机，由于存在摩擦，当电枢电压达到一定数值时，电，由于存在摩擦，当电枢电压达到一定数值时，电机才会转动，即输出呈机才会转动，即输出呈死区现象死区现象。饱和现象饱和现象死区现象死区现象非线性因素使得系统的数学模型呈现非线性。非线性因素使得系统的数学模型呈现非线性。Automatic Control Principle Page:20自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 死区现象死区现象：提高加工精度，使摩擦减小，可忽略不计提高加工精度，使摩擦减小，可忽略不计线性化方法？线性化方法？(1)(1)减小或消除非线性因素的影响减小

17、或消除非线性因素的影响饱和现象饱和现象：优化放大器设计，扩大线性范围；优化放大器设计，扩大线性范围；调整系统参数，使放大元件输入不超出线性范围调整系统参数，使放大元件输入不超出线性范围 Automatic Control Principle Page:21自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 (2)(2)增量线性化方法增量线性化方法选择工作点（通常是平衡选择工作点（通常是平衡0y0 x)(xfy)00011()()()()nnnf xf xfxxxn（！0000()()()()()f xf xf xfxxxfxAutomatic Control Principle Pag

18、e:22自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 柱形液位系统柱形液位系统为液位高度为液位高度HoQiQC根据水力学原理根据水力学原理oQHk比例系数比例系数 k k 取决于液体的粘度与阀阻。取决于液体的粘度与阀阻。非线性方程非线性方程ioiidHCQQQkHdtdHHQCkdtiQoQH系统动态方程为系统动态方程为为液体流入量为液体流入量为液体流出量为液体流出量为储槽截面积为储槽截面积例2.1-4Automatic Control Principle Page:23自动控制原理自动控制原理 南南京京航航空空航航天天大大学学 0(1/2)idHCQHHdt 00,iiiHQHHQQ取增量取增量取泰勒级数展开式的一次项近似，得取泰勒级数展开式的一次项近似，得增量线性方程增量线性方程000(1/2)()HHHHH运用泰勒级数展开运用泰勒级数展开0HiQ0iQ设液位统在设液位统在 附近呈现较小变化，相应地，附近呈现较小变化，相应地，在在 附近变化，则有附近变化，则有000idHCk HdtQ一般默认关于增量的方程，可直接记为一般默认关于增量的方程，可直接记为0(1/2)iHdHCQdHt