高等数学课件：4 高阶线性微分方程

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1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1高阶线性微分方程高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构高阶常系数线性微分方程的求解高阶常系数线性微分方程的求解高阶变系数线性微分方程的求解高阶变系数线性微分方程的求解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21、奇次方程12(),(),()nx tx tx tn如果是 阶微分方程111()()0nnnnnd xdxa ta t xdtdt;()(1,2,),ina t inatb 个线性无关解 其中是上连续函数()x t则它的任一解可表为1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t12,;.nc cc这里是相

2、应确定的常数一、高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系32、非奇次方程nn上述 阶微分方程的 个线性无关解12(),(),()nx tx tx tn称为 阶微分方程的基本解组n非奇次 阶线性微分方程的通解为：相应奇次微分方程的通解+任意一个特解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4二、高阶常系数线性微分方程的求解高阶常系数线性微分方程的求解1、常系数奇次线性微分方程的求解常系数奇次线性微分方程的求解1110nnnnnd xdxaa xdtdt121010000100001nnnAaaaa,(1)dxAxdt2007年8月南京航空

3、航天大学 理学院 数学系5A的特征方程为：121100010det()0001nnnAIaaaa121210nnnnnaaaa即kkkd xdt恰好是将所要解的奇次方程中的换成2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6特征方程的根特征方程的根微分方程通解的对应项微分方程通解的对应项一个单实根对应一项一个k阶重根对应k项一对单复根对应两项一对k阶复根对应2k项iixce112xkkecc xc x12cossinxecxcx111121121222cos sinxkkkkecc xc xxcc xc xx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系72、二阶、二阶常系数非奇次线性微分方程

4、的求解常系数非奇次线性微分方程的求解待定系数法：待定系数法：12()xa xa xf toI ()()tf tt e1011()mmmmtb tbtbtb其中*()()()txtZ t eZ t此时令 其中为待定多项式011,()mmB BBBZ t含有为的待定系数2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 1 不是特征方程的根1011()mmmmZ tB tBtBtB 2 k是特征方程的 阶重根1011()kmmmmZ ttB tBtBtB2 5 6txxxte例 求微分方程的通解.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9oII ()()cos()()sinttf tt etf

5、 tt et或1011()mmmmtb tbtbtb其中 cossinitttetete和分别为的实部和虚部1212*()()cos()sin(),()()ktxtt eZ ttZ ttZ t Z tt令 其中为与同阶的待定多项式 0ikk其中假设是特征方程的 阶重根（若不是特征方程的根，则取）2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10(6)(5)(4)21yyyx例 求微分方程的通解.costxxtet例 求微分方程的通解.3 2cos2219(0)(0)2525xxxttxx例 求微分方程满足条件 ,的特解.3sin2xxt例 求微分方程的一个特解.2007年8月南京航空航天大学

6、理学院 数学系112007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12高阶高阶微分方程的降阶和幂级数解法微分方程的降阶和幂级数解法 一、换元法一、换元法Euler方程方程二、降阶法二、降阶法三、幂级数解法三、幂级数解法2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13一、一、Euler微分方程微分方程11111()nnnnnnnd xdxdxtatata xf tdtdtdt引入变量替换引入变量替换lntet将将Euler方程化为常系数线性微分方程方程化为常系数线性微分方程2 0t xtxx例 求微分方程的通解.2 2(2)1txtxx例 求微分方程的通解.2007年8月南京航空航天大学 理学院

7、 数学系14二、可降阶的一些方程类型二、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式:0),()(nxxxtF 1 不显含未知函数不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)k-1(k1)阶导数的方程是阶导数的方程是()(1)()(,)0(1)kknF t xxx阶方程的则可把方程化为若令knyyxk,)()(,)0(1)n kF t y yy若能求得(1)的通解),(1knccty对上式经过k次积分,即可得(1)的通解即),(1)(knkcctx为任常数这里nncccctx,),(112007年8月南京航空航天大学 理学院

8、数学系15 解题步骤解题步骤:则方程化为令,)(yxk第一步:0),()(knyyytF第二步:求以上方程的通解),(1knccty即),(1)(knkcctx第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,),(11()(1)()(,)0(1)kknF t xxx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16解令,44ydtxd则方程化为01ytdtdy这是一阶方程,其通解为,cty 即有,44ctdtxd对上式积分4次,得原方程的通解为53212345.xctc tc tc tc例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd2007年8月南京航空航天大学 理学

9、院 数学系17 2 不显含自变量不显含自变量t的方程的方程,一般形式一般形式:()(,)0,(2)nF x xx,作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy,ydtdx因为dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy3232d xd d xdtdt dtdtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(dxdyy2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18用数学归纳法易得:来表达可用)(,)1()1()(nkdxyddxdyyxkkk将这些表达式代入(2)可得:2222(,(),)0dydyd yF x y yyydxdxdx即有新方程0),()1()1(n

10、ndxyddxdyyxG它比原方程降低一阶2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19 解题步骤解题步骤:第一步:原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,xyxy 0),()1()1(nndxyddxdyyxG第二步:求以上方程的通解),(11nccxy第三步:解方程),(11nccxdtdx即得原方程的通解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系20解令,作为新的自变量并以xydtdx则方程化为02 ydxdyxy从而可得,0y及,xydxdy这两方程的全部解是,1xcy 例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解为12

11、,c txc e2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系21 3 已知齐线性方程的非零特解已知齐线性方程的非零特解,进行降阶进行降阶1(1)0 xx设是二阶齐线性方程22()()0,(3)d xdxp tq t xdtdt的非零解令1xx y则11xx yx y1112xx yx yx y代入(3)得1111112()()()0 x yxp t x yxp t xq t x y即1112()0 x yxp t x y2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系221112()0 x yxp t x y引入新的未知函数,zy方程变为1112()0dzxxp t x zdt是一阶线性方程,

12、解之得()21,p t dtczex因而()112211,p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.则()21211,p t dtycedtcx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系23因此(3)的通解为1x因它与 之比不等于常数,12,x x故线性无关120,cc令=1得(3)的一个解:()21211,p t dtxxedtx()112211,p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2422()()0,(3)d xdxp tq t xdtdt 解题步骤解题步骤:第一步:1xx y令方程变为1112()0 x

13、yxp t x y第二步:zy令方程变为1112()0dzxxp t x zdt解之得()21,p t dtczex即()112211.p t dtxx ccedtx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25第三步:1210,ccx令=1得与 线性无关一个解:()21211,p t dtxxedtx第四步:(3)的通解为()112211,(*)p t dtxx ccedtx12,c c这里是任常数.注一般求(3)的解直接用公式(*)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26解这里12sin(),tp txtt由(*)得22122sindtttccedtt例322sin20.td

14、 xdxxxtdtt dt已知是方程的解,试求方程的通解2122sinsinttcctt12sintcct121sincos ctctt12,c c这里是任常数.sintxt21dttcot t2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27(2)一般已知齐线性方程111()()0(4)nnnnnd xdxa ta t xdtdt2,kx xx1的k个线性无关的解0,1,2,ixik显然,kxx y令则kkxx yx y2kkkxx yx yx y()()(1)(2)()(1)2nnnnnkkkkn nxx ynx yx yxy代入(4)得2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28(

15、)(1)1()nnkkkx ynxa t xy()(1)1()0nnkknkxa t xa xy(4)kx因 为的解,y故 的系数恒为零,y即化为不含 的方程,zyxk令则在0的区间上方程变为(1)(1)11()()0,(4)nnnzb t zbt z(),1,2,1(4)1iikxzikkx且是的个线性无关的解事实上21,(4),kx xx1由为的解及以上变换知()kkxzxxzdtx或2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2921,(4),kz zz1因此是的解若12211kkzzz10则121kkkkkxxxxxx 12k-1即12211kkkkxxxx102,kx xx1由线性

16、无关知121,kk 全为021,kzz1故z线性无关2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30三、二阶线性方程的幂级数解法三、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程22()()0(5)d ydyp xq x ydxdx其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件(1)0000(),()y xyy xy的情况用级数表示解?00)x(不失一般性,可设2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31定理1,(5)p xq xxxR若方程(5)中系数()和()都可展成 的幂级数,且收敛区间为则方程有形如0,(6)nnnya x=.xR的特解,也以为级数的收敛区间20

17、07年8月南京航空航天大学 理学院 数学系322()()()(),(5)p xq xxp xx q xxR若方程(5)中系数和都具有这样的性质,即和均可展成x的幂级数,且收敛区间为则方程有形如定理200,(7)nnnnnnyxa xa x00,.axR的特解,这里是一个待定常数,级数(7)也以为收敛区间2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33例4240(0)0,.xyyyy求方程y满足初始条件(0)=1的解解设级数1nnaa xa x0y=为方程的解,(1,2,)a i i这里是一个待定常数,由初始条件得:10,1;aa0因而22nny xa xa x=122nnya xna x=1

18、22323 2(1)nnyaa xn na x=将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34220a 33 2240a4224 3440aaa22(1)2(2)40nnnn nanaa即20,a 31,a 40,a,22,1nnaan因而51,2!a 60,a 71,3!a 80,a 91,4!a 也即211,!kak20,ka;k对一切正整数 成立2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系35故方程的解为52132!kxxxxky=422(1)2!kxxxxk2xxe2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系36例522222()

19、0.d ydyxxxnydxdxn求解n阶Bessel方程这里 为非负常数解将方程改写为2222210d ydyxnydxx dxx易见,它满足定理2条件,且222()1,()xp xx q xxn,2xx 按 展成的幂级数收敛区间为由定理 方程有形如2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系370,knkya x00,a的解,这里是一个待定常数,代入得220kkxa x k(+k)(+k-1)10kkxa xk(+k)220()0kkxna xkx比较 的同次幂系数得2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系38220()0an221(1)0an222()0,2,3,kkaknaka

20、 0因为0,220,n则有,n 从而,n为确定起见暂令得10,a 2,2,3,(2)kkaakknk 即2121,(21)(221)kkaaknk 222,2(22)kkaaknk 1,2,k 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系39从而可得210,1,2,kak022(1),2!(1)(2)()kkkaak nnnk 1,2,k 0,nBessel因此在时 得到方程的一个解201021(1),2!(1)()nkk nkkaya xxk nnk0a若将任常数 取为012(1)nan-10()(1)()xppe xdxppp这里,注意到时.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系

21、40因此上式变为2101(1)()(),!(1)2kk nnkxyJxknk(),.nJxBesselnBessel是由方程定义的特殊函数 称为 阶函数,n 当时 完全类可得210,1,2,kak022(1),2!(1)(2)()kkkaaknnnk 1,2,k 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系41若取012(1)nan 则可得另一个特解2201(1)()(),!(1)2kk nnkxyJxknk (),.nJxBesselnBessel也是由方程定义的特殊函数 称为-阶函数由达朗贝尔判别法,对任x值都收敛.-,()()nnJxJx因此,当 不等于非负整数时和都是方程的解,且线性

22、无关.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系42因而通解为12()(),nnyc Jxc Jx12,.c c这里为任常数nn 当 等于正整数,而,不能象上面一样求得通解;()nJx但可用二3介绍的降阶法,求出与线性无关的解,因此,通解为11221(),()dxxnnyJx ccedxJx1221(),()nnJx ccdxxJx12,.c c 为任常数2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系43例6229(4)0.25x yxyxy求方程的通解解2tx引入新变量我们有2dydy dtdydxdt dxdt2222(2)4d yddy dtd ydxdtdt dxdt代入方程得22229()025d ydytttydtdt3,5nBessel这是的方程 故方程的通解为2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系44132355()(),yc Jtc Jt代回原来的变量得原方程的通解为132355(2)(2),yc Jxc Jx12,.c c 为任常数