高等数学D12数列的极限

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1、 第一章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限数列的极限数学语言描述:r一一、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例.设有半径为 r 的圆,nA逼近圆面积 S.n如图所示,可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当 n 无限增大时,nA无限逼近 S (刘徽割圆术),0,N正整数当 n N 时,SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项).若数列nx及

2、常数 a 有下列关系:,0,N正数当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,)1(,43,34,21,21nnnnnxnn1)1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,)1(,1,1,11n1)1(nnx趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知,)1(nnxnn证明数列nx的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0欲使,

3、1nx即,1n只要1n因此,取,1N则当Nn 时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲

4、使,0nx只要,1nq即,lnln)1(qn亦即因此,取qNlnln1,则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0.1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有2banx1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2ban

5、x矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明数列),2,1()1(1nxnn是发散的.证证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限 a 存在.取,21则存在 N,2121axan但因nx交替取值 1 与1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa

6、1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.aaxn)(,1axn有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时,有0nx,)0(.)0(证证:对 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(.)0(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束*,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列knx是数列nx的

7、任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn 时,有axn现取正整数 K,使,NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*NKnNxKnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，),2,1()1(1nxnn;1lim12kkx1lim2kkx发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则夹逼准则(准则1)(P49),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件(2),0

8、,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnn

9、x1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx(证明略)ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.(P52P54)证证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!

10、)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e,ennn)1(lim1 e 为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n*3.柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N,使当NnNm,时,mnxx证证:“必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时,有

11、使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性”证明从略.,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnx

12、lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P30 3(2),(3),4 ,6P56 4(1),(3)4(3)提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设,),

13、2,1(0iai证证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.)1()1)(1()1)(1(12121211nnaaaaaaaaanx),2,1(n即nx单调增,又nkkknaaax11)1()1(1111a1(1)nkkaa211)1()1(1)1()1(11kaa)1()1(111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消”法法刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,