数列通项公式求法课件

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1、数列通项公式求法课时序号：36数列通项公式求法重点:1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法；2、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式.3、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、辅助数列法等等 难点：1、根据数列的递推公式构造等差、等比数列求数列的通项公式.2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、迭代法关键：1、理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法2、掌握数列通项公式的常用方法:公式法、累加法、累乘法、迭代法 数列通项公式求法2.公式法公式法当已知数列为等差或等比数列时，可当已知数列为等差或等比数列时，可

2、直接利用等差或等比数列的通项公式，只需直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。求得首项及公差公比。3.S n法法1.观察法观察法11(1)(2)nnnsnassn 主主要要是是公公式式的的运运用用数列通项公式求法递推公式的概念递推公式的概念在数列在数列 中，已知数列的首项中，已知数列的首项 （或者是（或者是前几项），如果数列中任意一项前几项），如果数列中任意一项 与它的前与它的前一项一项 （或者是前几项）之间的关系可以（或者是前几项）之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列用一个公式来表示，这个公式就叫做数列 的递推公式。的递推公式。na1ana1na例如：1112

3、nnaaa111nnaaan11232nnaaa11()nnabaaf n1212,nnnab acaaa都是递推公式都是递推公式,由这些递推公式可以求出数列由这些递推公式可以求出数列的每一项。的每一项。数列通项公式求法问题问题1 已知数列an中,a1=1,an=an-1+n,求数列an的通项公式。解：an=an-1+n an-1=an-2+（n-1）a3=a2 +3 a2=a1 +2各式相加得，an=a1+n+(n-1)+3+2 =1+n+(n-1)+3+2 =n(n+1)/2当n=1时，a1=(12)/2=1,故，an=n(n+1)/2数列通项公式求法变形变形 已知数列an中,a1=1,a

4、n+1-an=2n-n,求数列an的通项公式。解：an -an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)a3-a2 =22 -2 a2 -a1 =21 -1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+22+21)-(n-1)+(n-2)+2+1 =1+(2n-2)+n(n-1)/2 =2n+n(n-1)/2 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an=2n+n(n-1)/2-1数列通项公式求法（1 1）若）若f(n)f(n)为常数为常数,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为等此时数列为等差数列，则差数列，则a an n=a=a1 1+(n-

5、1)d+(n-1)d（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数时，用累加法的函数时，用累加法.方法如下：方法如下：由由 a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)得：当得：当n1n1时，有时，有 a an n=a=an-1n-1+f(n-1)+f(n-1)a an-1 n-1=a=an-2n-2+f(n-2)+f(n-2)a a3 3=a=a2 2 +f(2)+f(2)a a2 2 =a=a1 1 +f(1)+f(1)所以各式相加得所以各式相加得a an n-a-a1 1=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1).一般地，对

6、于型如一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，的通项公式，只要只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。能进行求和，则宜采用此方法求解。4.4.叠加法叠加法111()nnkaaf k 112211()()()nnnnnaa aaaa aa 1(1)(2)(2)(1)f nf nffa 也可用横式来写：也可用横式来写：(也称累加法）也称累加法）数列通项公式求法已知已知,a a1 1=a=a，an+1=an+f(n),其中其中f(n)f(n)可以是关于可以是关于n n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项求通项.若若f(n)f(n

7、)是关于是关于n n的一次函数，累加后可转化为等的一次函数，累加后可转化为等差数列求和差数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的二次函数，累加后可分组求和的二次函数，累加后可分组求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的指数函数，累加后可转化为等的指数函数，累加后可转化为等比数列求和比数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的分式函数，累加后可裂项求的分式函数，累加后可裂项求和。和。备 注：数列通项公式求法11,1,1.nnnnanaaana 例例 已已知知数数列列中中求求数数列列的的通通项项公公式式1321221122 1113 2nnnnnaaaannaaaaannn

8、 22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana 例例设设是是首首项项为为 的的正正数数项项数数列列 且且求求的的通通项项公公式式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan 由由本题是关于本题是关于a an n和和a an+1n+1的二次齐次式，可以通过的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到因式分解（一般情况时用求根公式）得到a an n与与a an+1n+1的更为明显的关系式，从而求出的更为明显的关系式，从而求出.问题问题2数列通项公式求法（1 1）当）当f(n)f(n)为常数为常数,即：即：（其中（其中q q是不为是不为0 0的数）的数）

9、,此时此时,数列为等比数列，数列为等比数列，a an n=a=a1 1qqn-1n-1.（2 2）当）当f(n)f(n)为为n n的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.由由 得得n1 n1 时，时，5.5.叠乘法叠乘法对于型如：对于型如：a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n 类的通项公式，当类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方的值可以求得时，宜采用此方法。法。1nnaqa (也称累乘法、累积法）也称累乘法、累积法）1()nnaf na 1(1)nnaf na 121121nnnnnaaaaaaaa 1()(1)(1)f n f n

10、fa 数列通项公式求法问题问题3 3 已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数列的通项公式求数列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（a a1 1+3+3）2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2a

11、n n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1-a-an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1).).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列.a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2)2n-1n-1=6=62 2n-1n-1,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1

12、 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3=3(2-1)+3=3(2n-1n-1-1)-1)数列通项公式求法（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列;（3 3）若）若c1c1且且d0d0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求.方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c(a+m=c(an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m,+(c-1)m,与题设与

13、题设a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得:(c-1)m=d,:(c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1)m=d/(c-1)因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，6.6.辅助数列法辅助数列法这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法,主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c=c a an n+d(c+d(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）数列通项公式求法方法2：方法2：1,nnacad 当当2 2时时1,nnnacad 两式相减，得：两式相减，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2数数列列是是以以为为首首项项，以以 为为公公比比的的等等比比数数列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a =（1211)1nca ac 数列通项公式求法数列通项公式求法