高数一第一章第五节

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1、一、无穷大量二、无穷小量三、无穷小量的性质绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.一、无穷大量上一页上一页下一页下一页返回返回特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆，不能与很大的数混淆，它描述的是函数的一种状态它描述的是函数的一种状态.（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（xfxx上一页上一页下一页下一页返回返

2、回xxy1sin1.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx),3,2,1,0(221)1(kkxk取取,22)(kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当),3,2,1,0(21)2(kkxk取取,kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，上一页上一页下一页下一页返回返回.11lim11xx证明例证证.0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近

3、线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy上一页上一页下一页下一页返回返回二、无穷小量1、定义、定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.上一页上一页下一页下一页返回返回例如例如,0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx,01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.上一页上一页下一页

4、下一页返回返回说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时,0)(xf显然 C 只能是 0!CC0 xx 时,函数,0)(xf(或 )x则称函数)(xf为0 xx 定义定义2.若(或 )x则时的无穷小无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上一页上一页下一页下一页返回返回2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx Ax

5、fxxUxo)(0)(),(,00，即有当则Axfxx)(lim0由极限定义知 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.上一页上一页下一页下一页返回返回意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误误差差为为式式附附近近的的近近似似表表达达在在）给给出出了了函函数数（上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小

6、的倒数为无穷大.*证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0,0,00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx 3 3、无穷大与无穷小的关系、无穷大与无穷小的关系上一页上一页下一页下一页返回返回.0)(,0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0,0,00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx,0)(xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.上一页上一页下一页下一页返回返回三、无穷小的运算性

7、质三、无穷小的运算性质:定理定理3 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得,0,0,021 NN上一页上一页下一页下一页返回返回;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 ,)(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1,.11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷

8、小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0,0,0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当上一页上一页下一页下一页返回返回推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM ,.,0为无穷小为

9、无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小上一页上一页下一页下一页返回返回.sin1lim2xxx求例0sin1lim401lim,1|sin|),(xxxxxxx得故由定理且因为解上一页上一页下一页下一页返回返回*定理定理5 有某一极限过程中有某一极限过程中,如果如果(x)是无穷小量是无穷小量,f(x)以以A为极限为极限,且且A0,则则 仍为无穷小量仍为无穷小量.)()(xfx 证 由定理4可知,只需证 为该极限过程中的有界变量即可,仅对 时进行证明,其他情形类似可证.)(1xf0 xx.)(12|)(1|,2|3|)(|2|,2|)

10、(|)(|,),(,02|,0,)(lim000时的有界量为即故从而时当则对因为xxxfMAxfAxfAAAxfAxfxUxAAAxfoxx上一页上一页下一页下一页返回返回四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量

11、未必是无穷大无界变量未必是无穷大.上一页上一页下一页下一页返回返回思考题思考题若若0)(xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.上一页上一页下一页下一页返回返回思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)(,0 x有有01)(xxf)(limxfx.01lim Axx上一页上一页下一页下一页返回返回一、填空题一、填空题:1 1、凡无穷小量皆以、凡无穷小量皆以_为极限为极限.)(,_2的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线条条件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使应应满满足足什什么么条条件件问问是是无无穷穷大大函函数数时时当当二二、根根据据定定义义证证明明练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页返回返回.,0,1,0(1sin1这这个个函函数数不不是是无无穷穷大大时时但但当当上上无无界界在在区区间间三三、证证明明函函数数 xxxy上一页上一页下一页下一页返回返回一一、1 1、0 0；2 2、Cxfxx )(lim；3 3、；4 4、)(1xf.二二、210104 x.练习题答案练习题答案