理论力学课件：虚位移原理

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1、2引言引言分析静力学分析静力学:考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功微小位移上的元功静力学分为静力学分为刚体静力学刚体静力学和和分析静力学分析静力学刚体静力学刚体静力学（几何静力学）（几何静力学）:用几何的方法研究刚体的平衡用几何的方法研究刚体的平衡.直接研究主动力和约直接研究主动力和约束反力的关系束反力的关系3 选取研究对象，取分离体；选取研究对象，取分离体；刚体静力学解题步骤刚体静力学解题步骤 进行受力分析，画受力图；进行受力分析，画受力图；建立平衡方程；建立平衡方程；求解平衡方程。求解平衡方程。用用虚位移原理虚位

2、移原理处理平衡问题处理平衡问题只在需要求解约束反力（包括内力）时，只在需要求解约束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束才有针对性地解除约束4 约束的定义约束的定义 质点系分为质点系分为自由质点系自由质点系和和非自由质点系非自由质点系 约束方程约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束约束用数学方程来表示的限制条件称为用数学方程来表示的限制条件称为约束方程约束方程如如1 约束约束 虚位移虚位移 虚功虚功5几何约束和运动约束几何约束和运动约束几何约束几何约束-只限制质点或质点系在空间的位置只限制质点或质点系在空间的位置xyolMlABxoy实例实例r

3、约束的分类约束的分类6定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束定常约束定常约束非定常约束非定常约束f(x,y,z)=0f(x,y,z，t)=0 xyolMv稳定约束稳定约束不稳定约束不稳定约束如如如如-约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间 t 的约束的约束。-约束方程中显含时间约束方程中显含时间 t的约束的约束。在任意瞬时在任意瞬时t，其约束方程为，其约束方程为7-如果约束不仅限制质点在某一如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束称之为双面约束，或固执约束-如果约束仅限制质点在某一方向如果约束仅

4、限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束的运动，称之为单面约束，或非固执约束双面约束和单面约束双面约束和单面约束双面约束双面约束单面约束单面约束如单摆如单摆刚性摆杆约束刚性摆杆约束不可伸长的绳约束不可伸长的绳约束双面约束双面约束单面约束单面约束约束方程分别为：约束方程分别为：8-约束方程中不含导数或可积分约束方程中不含导数或可积分为有限形式。为有限形式。完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束完整约束完整约束非完整约束非完整约束本章只讨论：本章只讨论：完整的、定常的、完整的、定常的、双面的、几何约束！双面的、几何约束！-约束方程总是微分形式。约束方程总是微分形式。9二、二、虚位移

5、虚位移 在某瞬时，质点系在某瞬时，质点系在在约束所允许的约束所允许的条件下，条件下，可能可能实现的、任何无限小实现的、任何无限小的位移的位移称为虚位移称为虚位移在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一虚位移之一虚位移的特点：虚位移的特点：虚位移仅与约束条件有关，是虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量纯粹的几何量与实位移相比：与实位移相比：虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，也可为有限值也可为有限值虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关运动情况

6、无关10虚位移常用虚位移常用 r、x、s、等表示；等表示；-等时变分算子符号（变分符号）；等时变分算子符号（变分符号）；-表示无限小的变更；表示无限小的变更；的运算规则与微分算子的运算规则与微分算子“d”的的 运算规则相同。运算规则相同。说明说明关于符号关于符号11AB三、虚功三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用的功称为虚功，用W 表示。表示。W=F rB力偶力偶 M 的虚功：的虚功：W=M 力力 F 的虚功：的虚功：=Fr cosFrmMxoyF于是，于是，rB W=F r122 虚位移原理虚位移原理 具有具有完整、双面、定常、理想约束

7、完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。虚功之和等于零。矢量表达式为矢量表达式为 坐标分解式为坐标分解式为虚功原理虚功原理虚功方程虚功方程静力学普遍方程静力学普遍方程13 虚功原理的证明虚功原理的证明必要性的证明：必要性的证明：质点系平衡质点系平衡设质点系由设质点系由n个质点组成，个质点组成，Fi -主动力的合力主动力的合力Ni -约束反力的合力约束反力的合力则则Fi+Ni=0 WFi+WNi=n个方程

8、求和得个方程求和得系统的约束为理想约束，系统的约束为理想约束，Ni r i=0第第i个质点个质点Mi平衡，受力有平衡，受力有(Fi+Ni)ri=0（i=1,2,，n）014充分性的证明：充分性的证明：用反证法用反证法质点系平衡质点系平衡设质点系由设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力在给个质点组成，作用于该质点系的主动力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该质点系不平衡，即至少有一个质点质点系不平衡，即至少有一个质点Mj不平衡，不平衡，Fj+Nj Rj 0由静止开始运动，质点由静止开始运动，质点Mj实位移实位移 drj 应沿

9、着应沿着Rj的方向的方向该质点的合力在实位移中的元功为该质点的合力在实位移中的元功为 Rj dr j=（Fj+Nj）dr j 0质点系受定常约束，质点系受定常约束，dr j r j（Fj+Nj）r j 0 Fi r i 0这与假设矛盾！这与假设矛盾！质点系必然平衡。质点系必然平衡。15 虚位移原理的应用虚位移原理的应用研 究 平 衡 状 态研 究 平 衡 状 态1、确定、确定主动力之间的关系主动力之间的关系或或平衡位置平衡位置2、求解其、求解其内力内力或或约束反力约束反力16螺旋千斤顶中，旋转手柄螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距，螺距h=12mm。今在。今在OA的水平面内作用一垂

10、直手的水平面内作用一垂直手柄的柄的力力P=160N，试求举起重物，试求举起重物B的重量。不的重量。不计各处摩擦计各处摩擦。WAolP P P PB17WAolP P P PBBrPlW 千斤顶受理想约束，千斤顶受理想约束，给给P力点力点A虚位移虚位移rA=l由虚功方程由虚功方程Pl W rB=0rB:=h:2，相应地相应地W力点力点B有有rBWF=0可知，当可知，当P=160N时，能举起时，能举起50.27KN的重物，的重物，是是P 的的314倍！倍！2hrB NPhlW31027.502 rA rB18曲柄滑块机构如图，已知曲柄OA=r，连杆AB=l，曲柄上作用力偶MM，滑块上作用力P P，

11、求系统在图示位置平衡时，MM与P P的关系。ABxoyPM19 222sincos1sinrlrrrB 给给OA以虚位移以虚位移，由由 WF=0PrB M =0 求虚位移间的关系求虚位移间的关系法一法一:投影定理投影定理rAAB=rBAB r cos90()=rB cos MABxoy P且且rA=r 相应地滑块相应地滑块B有有 rB rB rA 90()BrPM 20法法2用虚速度法。用虚速度法。vAAB=vBABrOAcos90()=vBcos 且且ABxoy 由速度投影定理由速度投影定理 rB 90()21 MABxoy P 法法3方程变分法方程变分法22图示机构中，当曲柄图示机构中，当

12、曲柄OC绕绕O轴摆动时，滑块轴摆动时，滑块A沿沿OC滑动，从而带动杆滑动，从而带动杆AB沿铅直槽沿铅直槽K滑动。滑动。OC=a，OK=l，在在C点垂直曲柄作用一力点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力上作用力P沿沿AB方向，方向，求机构在图示位置平衡时力求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。的关系。BCAOKlQPQPQP23BCAOKlQPQPQP给杆给杆OC以虚位移以虚位移，虚功方程为虚功方程为以以OC为动系，为动系，A为动点，为动点，则有虚速度合成式为则有虚速度合成式为B点有虚位移点有虚位移rB，rBAB杆作平动杆作平动,于是得于是得0 CBrQrP aC rCBrrPQ dtdtdtrAe

13、AaArrr cosrleA 2coscosrrleAaA 2cosrrlaAB PalQ 2cos 24abPABC用虚位移原理，求用虚位移原理，求 B 处的反力处的反力BPAB1C1CB、用反力代替、用反力代替B支座支座、给结构一虚位移、给结构一虚位移、写虚功方程、写虚功方程CBbaa 0 BBCNP PbaaNB 25已知三铰拱上作用有已知三铰拱上作用有集中载荷集中载荷P及及力偶力偶M，求求B支座的约支座的约束反力。束反力。三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚位移原理。位移原理。分

14、析分析PMABCaaaD26PMaaABCaD(1)求求B铰水平约束力：铰水平约束力：给虚位移给虚位移，FBxC则相应有则相应有根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有(AC作定轴转动；作定轴转动；BCD作平面运作平面运动，瞬心为动，瞬心为C。)解除解除B支座的水平约束，代之以水平反力支座的水平约束，代之以水平反力FBx 27PMaaD根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有（AC作定轴转动；作定轴转动；BCD作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为A。）。）(2)求求B支座的垂直约束反力：支座的垂直约束反力：给虚位移给虚位移则相应有则相应有解除解除B铰的垂直约束，代铰的垂直约束，代之以垂直反力之以垂直反

15、力FBy解得解得FBy 28P2P1llllABCDEqM图示图示ABCD为一静定连续梁，作用于其上为一静定连续梁，作用于其上的载荷的载荷M=5kN.m，P1=P2=4kN，q=2kN/m，=30，l=2m，求支座求支座A的反力。的反力。29解解:将固定端约束解除将固定端约束解除给给xA，而令，而令yA=0、A=0，则：则：xB=xA虚功方程为虚功方程为XAxAP1cosxA0(XAPlcos)xA0XA P1cos 3.46(kN)XAYAxAxBxDxAxBxDxAxBxDxAxBxDP2P1llllqABCDMEABDCP2P1EqMXAYAXAYAMAXAYAyA=0！AB不能有转动不

16、能有转动A=0！A不能有竖直向位移不能有竖直向位移30yByAyEyD给给yA，而令，而令xA、A=0，则则yA =yE=yB ，yC =0yB=l =yD，YAyA(YA 2ql P1sin+P2)yA0YA=2ql+P1sinP26.0 (kN)虚功方程为虚功方程为yByAyEyDyByAyEyD+2qlyE+P1sinyB P2yD0llll YAABDCEMAXAP2P1qM31 给给 ，而令，而令xA、yA=0，则则yE=l ,yB=2l ，yC =0，MA(MA+M2ql 22lP1sin+2lP2)0虚功方程为虚功方程为 MA M2ql 22lP1sin2lP2 3.0 (kNm

17、)llll yEyD=l=2l ，M+2qlyE+P1sin yB P2yD02 YAABDCEMAXAP2P1qMyD yB32图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长图示机构中各杆之间均用铰连连接，杆长AE=BD=2l，DH=EH=l。D、E间连着一刚度系数为间连着一刚度系数为K、原长为、原长为l的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰的弹簧，杆和弹簧的自重及各处摩擦均不计。今在铰链链H上加一力上加一力Q，使机构处于静止平衡状态，试确定，使机构处于静止平衡状态，试确定Q与与的关系。的关系。ABHEDQKC33ABHEDQCF Fxy由由 WF=0QyyH+FxxE+FxxD=0，求变分得

18、求变分得各主动力作用各主动力作用点的坐标为点的坐标为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量为=2lcosl=(2cos1)l 弹性力的大小为弹性力的大小为 F=F=k=k l(2cos1)解：解除弹簧约束，代之以弹性力解：解除弹簧约束，代之以弹性力F、F，并视为主动力。并视为主动力。ABHEDQKC34代入虚功方程得代入虚功方程得Q3lcos 2kl(2cos 1)sin 3Qcos =0于是得平衡时于是得平衡时Q与与应应满足的关系为：满足的关系为：各主动力在坐标轴上的投影为各主动力在坐标轴上的投影为ABHEDQCF Fxykl(2cos 1)(2lsin)=035建立虚位移之间的关系的方法建立虚位移之间

19、的关系的方法1.作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定2.给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间的比例。的比例。即为虚位移间的比例；即为虚位移间的比例；3 .“虚速度虚速度”法法 （点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等）（点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等）363 自由度和广义坐标自由度和广义坐标一、自由度一、自由度在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。数等于该质点系的自由度数。以质

20、点作为质点系基本单元以质点作为质点系基本单元质点系由质点系由n个质点、个质点、s个完整约束组成，则其自由度为个完整约束组成，则其自由度为N=3n s对平面问题，如对平面问题，如Oxy平面内，平面内，zi0，则，则N=2n sxyolM如单摆，如单摆，n=1，s=1，N=211=1 37C以刚体作为质点系基本单元以刚体作为质点系基本单元质点系由质点系由n个刚体、个刚体、s个完整约束组成，则其自由度为个完整约束组成，则其自由度为N=6n s对平面问题，如对平面问题，如Oxy平面内，平面内，zi0，x0，y0，则，则N=3n s oyxCPvCyC=rvCr=0如轮如轮C在水平轨道上纯滚动在水平轨道

21、上纯滚动 自由度数为自由度数为刚体数刚体数n=1，约束数约束数s=2，N=31 2=1 38再如平面双摆由刚体再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链及铰链O、A组成。组成。约束方程约束方程自由度数为自由度数为 刚体数刚体数n=2，xyoAB12l1l2约束数约束数s=4，N=32 4=2 39二、广义坐标二、广义坐标 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。该系统的自由度数。确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。xoylrAB如曲柄连杆机构有一个自由度，如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选可任选xA、yA

22、、xB之一为广之一为广义坐标，而选义坐标，而选 更方便。更方便。40 再如平面双摆有两个再如平面双摆有两个自由度，选自由度，选 1、2为广为广义坐标比较合适。义坐标比较合适。约束方程约束方程xyoAB 1 2l1l241推广可得：推广可得：选广义坐标选广义坐标q1，q2，qN，则各质点的坐标，则各质点的坐标 若质点系有若质点系有n个质点，个质点，s个完整约束组成，则个完整约束组成，则自由度为自由度为N=3n s。对上式中第一式求变分，则对上式中第一式求变分，则质点在直角坐标中的虚位移质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之间与广义坐标中的虚位移之间的关系为的关系为式中式中qk 称为广义虚

23、位移称为广义虚位移。424 以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件 将式将式代入虚功方程代入虚功方程得：得：43令令则则Qk用于质点系上的主动力对应于用于质点系上的主动力对应于广义坐标广义坐标qk的广义力。的广义力。qk广义虚位移广义虚位移44 以广义坐标表示的质点系平衡条件为以广义坐标表示的质点系平衡条件为Q1=Q2=QN=0广义虚位移广义虚位移qk相互独立，相互独立，若上式成立，则若上式成立，则质点系的平衡条件是：质点系的平衡条件是：所有的广义力都等于零所有的广义力都等于零45计算广义力的方法计算广义力的方法解析法：用公式直接计算解析法：用公式直接计算几何法：令几何法

24、：令qk 0，其余各广义坐标均不给虚位移，其余各广义坐标均不给虚位移，则则46已知图示双摆中均质杆已知图示双摆中均质杆OA的长度、重量分别的长度、重量分别为为l1、W1，AB的长度、重量分别为的长度、重量分别为l2、W2，并在并在B端作用一水平力端作用一水平力P。试求此双摆在铅直。试求此双摆在铅直面内的平衡位置。面内的平衡位置。xyPW1W2oAC1C2B 1 247解一解一PW1W2xyo 1 2双摆是两个自由度系统，双摆是两个自由度系统，取取 1、2为广义坐标，则为广义坐标，则取固定坐标系取固定坐标系Oxy，求变分得：求变分得：BAC1C2各主动力在坐标轴上的投影为各主动力在坐标轴上的投影

25、为X1=W1，X2=W2，YB=P 48由虚功方程由虚功方程 1、2彼此独立，彼此独立，解得解得上式中上式中1、2前的系数须分别为零前的系数须分别为零P 1 2BAC1C2xyoW1W2即即49解二解二今给今给 10，20，系统在这组虚位移中的虚功方程为：系统在这组虚位移中的虚功方程为：1xyPW1W2oAC1C2B 1 2 1 1 1 1115.0l11 l11 l50再给再给20，10 2系统在这组虚位移中的虚功方程为：系统在这组虚位移中的虚功方程为：xyPW1W2oAC1C2B 1 2 2225.0l51解三解三 1xyPW1W2oAC1C2B 1 2给给10，20，则系统，则系统在这组

26、虚位移中的虚功方程为：在这组虚位移中的虚功方程为：rC1 rA rC2 rB解得解得给出两组虚位移，直接给出两组虚位移，直接求主动力的虚功并写出求主动力的虚功并写出虚功方程。虚功方程。52 再给再给20，10，虚功方程为虚功方程为xyPW1W2oAC1C2B 1 2 2 rC2rB解得解得53aADCBMOPPBDABD图示机构中，曲柄图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为上作用一力偶，其矩为M，另外滑块，另外滑块D上作用上作用一水平力一水平力P，机构尺寸如图。求当机构平衡时，机构尺寸如图。求当机构平衡时P与力偶矩与力偶矩M的关系。的关系。（用虚位移原理）（用虚位移原理）aBAcossin2

27、BCBCDBtgaBD 2sin20DFMFatgM2解：虚位移分析如图解：虚位移分析如图用虚位移原理用虚位移原理54PBD静力学方法验证静力学方法验证aMNAB DBPaAMOaADCBMOPaADCBMOPaADCBMOPAB、BC、CD均为二力杆均为二力杆对对OA杆杆NABNABNONBCND y0 BDPM tgaPaNAB 2 PtgNAB2 55ADCBMOEFrCAsin2cos2llBC tgrtgCB 0BFM FrtgM 解：虚位移分析如图解：虚位移分析如图用虚位移原理用虚位移原理AC D B 曲柄压缩机如图，在曲柄曲柄压缩机如图，在曲柄OA上作用力偶上作用力偶M，已知，已

28、知 OA=r，BDC 为一个杆，为一个杆，滑块，滑块B上作用力上作用力F，系统在图示，系统在图示位置时平衡，求位置时平衡，求M 与与F 的关系。（用虚位移原理）（的关系。（用虚位移原理）（10分）分）lDEDCBD 56在图示桁架中，已知：在图示桁架中，已知：P、L。试用虚位移原理求杆。试用虚位移原理求杆CD的内力的内力LLLLLACDBP LP2 解：虚位移分析如图解：虚位移分析如图 LC LDPOPAOBDBD5 LOD5 PBD :OBD之瞬心之瞬心NCNDBDPD B P C O LCDBP 570 DDCCPNNP 2/PND 用虚位移原理用虚位移原理A0cos5045cos2 LNLPDo52cos LP2 LC LDPOPAOBDBD5 LOD5 LCDBPNCNDBDPD B P C O 58LLLLLACDBP 0AM15/152PND 4/PND LLLDBNDO 0OM2/2PNNBD 静力学方法验证静力学方法验证59