第三章离散傅里叶变换及其快速算法

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1、2021/8/6110)()(NnnjjenxeX)2,0Nkk2102)()(NnknNjjenxeXk)()(kjeXkXNjNe210)()()(NnnkNWnxnxDFTkX10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFTnx1.余数运算表达式 如果 ，m为整数；则有：mNnn1101Nn1nnN1n)(1n Nn)1()9(8xx)5()5(8xx)9()9(16xx)12()4(16xx)(nx()()()x nx nx nrNNrx nx nRnNN()()()(nx)(nx)(kX)(kX()()()X kXkX krNNrX kXkRkNN()()()(kX)(kX)(kX)

2、(kXXzxnznnN()()0110)()()(22NkeXzXkXkNjezkNj 若x(n)与y(n)是同样长的序列，则对任何实数 或复数有 a a12,)()()()(2121nyDFTanxDFTanyanxaDFT)()(nxDFTkXY kDFT y nWX kNmk()()()(R)()(NNnmnxnyY kx nmRn WNNNknnN()()()01xnmWNNknnN()01mNmnmnkNNWnxkY11)1()1()(mNmnknNNkmNWnxW111)1(1011)1(NnknNNmkNWnxWWX kNmK()X kDFT x n()()()()(kRlkXk

3、YNNy nIDFT Y k()()W x nNnl()(nx)(nxD FT xnXNkRkNN()()()()()()()(1010kRWnxkRWnxnxDFTNnkNNnNnkNNn)()()()()(10kRkNXkRWnxNNnkNNNn)()()(njxnxnxir)()(21)(*nxnxnxr)()(21)(*nxnxnjxi用 和 分别表示实部与虚部序列的DFT:)(kXo)(kXe)(kXo)()(21)()(*nxnxDFTnxDFTkXre)()(21*kNXkX)()(21)()(*nxnxDFTnjxDFTkXio)()(21*kNXkX)()(kNXkXee)(

4、)(kNXkXoo)(kX)()(*kNXkX)()(*kNXkX)(1nx)(2nxy nx m xnmRnNNmN()()()()1201y nx nxn()()()12)()()(12nxnxny1012)()()(NmNNnRmnxmx)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkXnkNNNnNmnkNNNNnNmWmnxmxWnRmnxmxnyDFTkY)()()()()()()(210110211010)()()()(212110kXkXKXWmxnkNNmY kDFT y nX k Xk()()()()12y nxn xn()()()12)()(1)()(21kXkXNny

5、DFTkY1021)()()(1NlNNkRlkxlxN)()(nynx和 设两个有限长实序列 具有相同的长度N 10)()()()(NmNNxynRmnymxnr称为序列的循环互相关)()(nynx和)()(nxDFTkX)()(nyDFTky)()(*)()(kYkXnrDFTkRxyxy)(nrxx)(kRxx2|)(|)()(*kXkXkX2|)(|kX是有限长序列的离散功率谱，注意 2|)(|kX中没有相位的信息。10)(*)(Nnnynx)(*)(110kYkXNNk10)(*)(Nnnynx)(*)(11010nyWkXNnkNNkNn)(*)(11010nyWkXNnkNNnN

6、k*)()(11010nyWkXNnkNNnNk)(*)(110kYkXNNk102|)(|Nnnx210|)(|1kXNNkX ej()nnznxzX)()(kNWzzXkX)()(nnkNWnx)()(nxNNkxkX)()()(nx)(kX)(kX)(kRN()x nNNnx)()(kX)(nxN)(nx)(nRN)(nx101NX k WNnkkN()10)(1NknkNWkXN 10)(1NknkNmmkNWWmxNmNkknmNWmxN10)()(1x nrNr()()()()NNrxnx nrN Rn)(nxN)(nx)(nx)(nx)(kX)(zXX ej()(kX)(zX)(

7、kX10)(NnnkNWnx)(nx10)(1NknkNWkXN)(zX10)(NnnznxnNknkNNnzWkXN1010)(1nNknkNNnzWkXN1010)(110111)(1NkkNNNkNzWzWkXN1011)(1NkkNNzWkXNz10)()(NkkzkX1111)(zWzNzkNNk)(kXX ej()jez)(kXX ej()(jeXjezzX)(10)()(NkjkekX)2(111)(NkjNjjkeeNe222/)2sin()2sin(1NkNjeNkNN)2(Nk2)1(2/)sin()2sin(1NjeNN()na)(nuan)(nx)(nx|)()(zxk

8、xKNwz)(kx)(1)()()()()()()()(00nRaanRaanRanRrNnuanRrNnxkxIDFTnxNnnrNNnrNrNnrNrNnrNNa)(zXMN2），简称（算法按频域抽取），简称（算法按时域抽取FFT-DIFFreqency-In-DecimationFFT-DIFTime -In -DecimationFFTFFT)2()(1rxrx)12()(2rxrx12,.,1,0Nr12,.,1,0NrknNNnWnxkX)()(10kNkrNNrkrNNrrkNNrkrNNrWWrxWrxWrxWrx2212/02112/0)12(12/0212/0)()()12

9、()2(X kx r WWxr WXkW XkkNrNNkrNkrNNkrNk()()()()(),.,/02 11202 122120121X kXk12()()和x nxn12()()和WeeWNkrjNKrjNkrNkr222222/knNNnWnxkX2/112/01)()(12,.,1,0NkknNNnWnxkX2/212/02)()(12,.,1,0Nk)12,.1,0)(NkkX)(kXkNNkNWW2/X kNX kW XkNk()()()21212,.,1,0NkX kDFT x nx n Wx n Wx n Wx n Wx nNWx nWx nNWnNNnknNNnkn N

10、NNnknNNnknNNn NknNNNkNnk()()()()()()(/)()(/)/(/)/0102 12102 102 1202 1222WkkNkNk/()2111 为偶数为奇数Xrx nx nNWx nx nNWnNNrnnNNrn()()(/)()(/)/22202 1202 12Xrx nx nNWx nx nNWWnNNrnnNNrnNn()()(/)()(/)/()/212202 12102 12)(nx)2/(NnxnNW1nNWMN2)12()()2()(1413lxlxlxlx)14(,.,1,0Nl)(1kX)12(2/114/022/114/01)12()2()(

11、lkNNlklNNlWlxWlxkXklNNlkNklNNlWlxWWlx4/414/02/4/314/0)()()()(42/3kXWkXkN14,.1,0Nk)()()4(42/31kXWkXNkXkNXkDFT x lx l WXkDFT x lx l WlNNkllNNkl3304 1344404 144()()()()()()/Xk2()()()(62/52kXWkXkXkN)()()4(62/52kXWkXNkXkNklNNlWlxlxDFTkX4/514/055)()()(klNNlWlxlxDFTkX4/614/066)()()()2()(25lxlx)14(,.,1,0)12

12、()(26Nllxlx2M2MNMNN222logNMNNlog2X kx n WkNNnknN()(),.,0101x nNX k WnNNnkkN()(),.,10101WNnkWNnk112NM()x nNX k WnNNnkkN()(),.,10101xnNXk WNnkkN()()101x nNXk WnNNnkkN()(),.,101011NDFT Xk()vppppN32111qpNvpppq3211p组共111111),1(,1,0)1()1()(pqrprpxrpxrpx10)()(NnnkNWnxkX1,1,0Nklrpn110)1(11101101101111111)1(

13、)1()()()(qrrkpNkpNqrrkpNkNqrrkpNNnnkNWWprpxWWrpxWrpxWnxkX10110111)(qrrkpNpllkNWlrpxW1,1,0)()(110111qkkGWlrpxlqrrkpN1,1,0)()(11011qkWrxkGqrrkqllvpppq321221qpqvppq32vp2111)1(qppN1q2p1p22221)1(qppq32121)1()1(ppppNpN)(21vpppNv)()()(kjXkXkXIRX kX kejk()()()X kXkXkRI()()()22()()()karctgXkXkIRFffNss22NFfNs

14、ffNkkNks 012,/NTfNtsp/ptF1 用FFT来计算信号的频谱，已知信号的最高频率为，要求频率分辨率为 ，试确定：1.采样间隔T；2.采用基-2FFT的最小样点数N，以及与此相对应 的最小记录长度；3.按你确定的参数所获得的实际分辨率。kHzfh25.1Hzf5msfTh4.0105.212135005/1minTFfNs51221500log2NsmsTp048.24.0512HzNfFs88.4 在实际应用中，通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也 就是说在时域对信号进行截断操作,或 称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造

15、成拖尾现象,称之为频谱泄漏.pTF1pT)(nyc)()()()()()(10nRmnxmhnhnxnyLLLmc)()(rLnxnxrL)()()()(10nRmrLnxmhnyLrLmc)()()(10nRmrLnxmhLLmrLN1=N+M-1 N1=IFFT ，0nN)(ny)(kY)()(nxnxkk)()()(kMnRnxnxMk)(*)()(*)()(nxnhnhnxnykk)()(*)(nynhnxkkkk1.将 补零延长到L=M+N-1，并计算长为L的FFT，得到)(nh)(kH2.分别将 补零延长到L=M+N-1，并计算长为L的 FFT，得到)(nxk)(kXk)()()(

16、kHkXkYkk)()(kYIFFTnykk)(nyk)()(nynykk)()(0kNnynykk1,1,)1(2,0,0)(LNnMnyNnnykk10)()()()()(Lkkxykyknxkyknxnr)(nrxy1)1(1LMLMN1010)()()()()(NkNkyxkyknxkyknxnrLNn010Nkn10)()(Lkyxkyknxr)()()(10nrkyknxyxLkLNn0 若相关输出长度为N1，相关序列长度为L，为了利用循环相关得到正确的线性相关性结果，那么循环相关的长度N至少应取N=N1+L-1 11NLNmN2)(),(nynx)()(),()(nRnynRnx

17、NN)(kRxy)(nrxy1N)()(jpnxnxj1,0,00),()(JjNnppnjpnynyj)()()()()(1010jplyjplnxlylnxnrpljpljYXjj)()()1(kyknxjplklpjjpk令10Nn)()()()()()()()(101010)1(10nrkyknxkyknxkyknxnrxyJpkLkJllpjjpkJjYXjj 10Nn 1,0),(),(Jjnynxjj)(),(nynxjj12kN FFT，共作J=L/p个FFT 共轭乘计算 共需作J次N/2点复乘。1,0),()()(*NkkYkXkRjjYXjj10,)()(10NkkRkRJ

18、jYXxyjj)()(kRIFFTnrxyxy线性调频线性调频Z变换变换(Chirp Z 变换变换)算法算法 10NnX zx n znNn()()01zAWkMkk01AA ej00WWej00zA eWekjkj0000zkX zx n AWx n A WkMknNknnNnkn()()()010101nknkkn12222()X zx n AWknNnnkkn()()()/01222210)(2/)(2/102/222MkWWAnxWnknnNnky nx n A Wnn()()/22h nWn()/22X zWy n h knkMkknN()()()/220101)()()()()(10mnhmynhnynVNm10Wh nej n()(/)202Chirp-Z变换的实现步骤变换的实现步骤 hnL()hnWnMWMnLLnn L()/()/2222011H kFFT h nkLL()()01y nx n AWnNNnLnn()()/220101Y kFFT y nkL()()01V nIFFT Y k H knL()()()01X zWV kkMkk()()/2201部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！