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1、第三讲 函数的简单性质 典型例题解析与规律、方法、技巧总结 一、函数的单调性问题 1函数单调性的证明 例 1证明函数 f(x)=x3+x 在 R 上是单调增函数 例 2求证：函数 f(x)=x+2ax(aR*)在区间(0,a上是单调减函数 例 3证明函数 f(x)=1xx在(0,1上是减函数，在1,+)上是增函数 2求函数的单调区间 例 4求下列函数的单调区间：(1)y=11xx；(2)y=2132xx；(3)y=x+1x 注：关于第(3)小题的推广：讨论函数 f(x)=x+ax(a0)的单调性；讨论函数 f(x)=ax+bx(a0)的单调性 例 5判断函数 y=22(2)4xxx在(1,+)
2、上的单调性 例 6讨论函数 f(x)=21x在1,1上的单调性 例 7判断函数 f(x)=21x x 在其定义域内的单调性 例 8讨论函数 f(x)=21axx(1x0，且 g(x)=f(x)+c(c为常数)在区间a,b上是减函数，判断并证明 g(x)在区间b,a上的单调性 3函数单调性的应用 例 12函数 f(x)=2x2mx+3，当 x2,+)时是增函数，当 x(,2时是减函数，则 f(1)=例 13如果二次函数 f(x)=x2(a1)x+5 在区间1,12上是增函数，那么 f(2)的取值范围是 例 14 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2t)，
3、比较 f(1)、f(2)、f(4)的大小 例 15已知 f(x)=f(4x)，xR，当 x2 时 f(x)为增函数，设 a=f(1)，b=f(4)，c=f()，试确定 a、b、c 的大小关系 例 16如果函数 f(x)=x3+ax 在(0,1)上是增函数，求实数 a 的取值范围 例 17如果函数 f(x)的定义域为x|x0，且 f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)(1)证明：xfy=f(x)f(y)；(2)已知 f(3)=1，且 f(a)f(a1)+2，求 a 的取值范围 二、函数的最值问题 例 18求下列函数的最值(1)y=4232xx；(2)y=2x+12x；(3)y=234x
4、x 例 19求函数 y=x+1x 的值域 例 20已知 A=1,b(b1)对于函数 f(x)=12(x1)2+1，若 xA 时，f(x)A，求 b的值 例 21设函数 f(x)=x22x+2(其中 xt,t+1,tR)的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式 例 22求 f(x)=x22ax1 在区间0,2上的最大值和最小值 三、函数的奇偶性问题 1函数寄偶性的判断 例 23判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；(3)f(x)=2x3+x2；(4)f(x)=0；(5)f(x)=1x+1x；(6)f(x)=a(aR)例 24试确定函数 f(x)
5、=21|2|2xx的奇偶性 例 25已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意实数 t1，t2，满足 f(t1+t2)+f(t1t2)=2f(t1)f(t2)，且 f(x)0，则 f(x)是()(A)奇函数而非偶函数 (B)偶函数而非奇函数(C)奇函数且是偶函数 (D)非奇非偶函数 2函数奇偶性的证明 例 26证明下列各题：(1)函数 f(x)，xR，若对于任意实数 a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，求证：f(x)为奇函数；(2)函数 f(x)，xR，若对于任意实数 x1，x2，都有 f(x1+x2)+f(x1x2)=2f(x1)f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(3)设函数定
6、义在(l,l)上，证明 f(x)+f(x)是偶函数，f(x)f(x)是奇函数 例 27试证：定义在 R 上的任意函数 f(x)都可表示成一个偶函数与一个奇函数的和 3函数奇偶性的应用 例 28下面四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象一定关于 y 轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 例 29已知函数 y=f(x)是偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f(x)=0 的所有实根之和是()(A)4 (B)2 (C)1 (D)0 例 30已知 f(x)=x5+ax3+bx8，且 f(2)=10，则 f(2)=()(A)26 (B)18 (C)10 (D)10 例 31已知 f(x)是奇函数，且当 x0，f(x)=x|x2|，求 xa0)上是一个恒大于 0 的减函数，试问函数|f(x)|在区间a,b上是增函数还是减函数？证明你的结论 例 34已知 f(x)是奇函数，而且在(0,+)上是增函数，f(x)在(,0)上是增函数还是减函数？例35 已知y=f(x)是奇函数，它在(0,+)上是增函数，且f(x)0，试问F(x)=1()f x在(,0)上是增函数还是减函数？证明你的结论
函数的简单性质
