信息论与编码理论

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1、第7章线性分组码习题1.已知一个(5, 3)线性码C的生成矩阵为： 1 1001 G=0 11010 0111( 1)求系统生成矩阵；(2)列出C的信息位与系统码字的映射关系；(3)求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力(4)求校验矩阵 H；(5)列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。 2设(7, 3)线性码的生成矩阵如下0101010_G =001011110 0 110 1( 1 )求系统生成矩阵；( 2)求校验矩阵；( 3)求最小汉明距离； (4)列出伴随式表。3. 已知一个(6, 3)线性码C的生成矩阵为：1 0 0 1 0G =010011.0 0 11

2、10( 1 ) 写出它所对应的监督矩阵 H；(2) 求消息M=(101)的码字；(3) 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字4. 设(6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3,它满足如下监督方程组rx+x+x012401101001110011110011001101101将第3加到第2行010100011100111得到线性码C的系统生成矩阵为1001GS=0101000111(2) 码字c = (c0,q,c” J的编码函数为c = f (m) = m 1 0 0 1 1- + m t) 1 0 1 0+ m Io 0 1 1 110 1 2生成了的 8 个码字如

3、下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110 最小汉明距离d=2，所以可检1个错，但不能纠错。由G = I , A,H = At,I ，得校验矩阵n-k kx（ n-k）k x（ n-k） n-k1111H =10 10消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得码字序列c0=00000, c1=00111,c2=01010, c3=01101,c4=10011,c5=10100,c6=11001,c7=11110则译码表如下：00000001

4、110101001101100111010011001111101000010111110101111010001100100010010111001000011110001000101110111110010001101100000100110010110110010010101011100011111当接收到r =（11101 ）时，查找码表发现它所在的列的子集头为（01101），所以将它 译为 c=01101。2设（7, 3）线性码的生成矩阵如下0101010G =001011110 0 110 1（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵；（3）求最小汉明距离；（4）列出伴随式表。解：（1

5、）生成矩阵G经如下行变换0101010 -10011010010111交换第1、行0010111100110101010101001101 -10011010010111交换第2、行010101001010100010111得到系统生成矩阵：100110G=0101010S0010111(2)由G = I, A ,H = AT,I ，得校验矩阵为n-kk x( n-k)kx( n-k)n-k110 10 0 010 10 10 0 H =0 110 0 101 0 1 0 0 0 1(3) 由于校验矩阵 H 的任意两列线性无关， 3 列则线性相关，所以最小汉明距离 d=3。(4) (7, 3)

6、线性码的消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得码字序列：c0=0000000, c1=0010111，c2=0101010, c3=0111101，c4=1001101，c5=1011010,(7) c6=1100111，c7=1110000。又因伴随式有24=16种组合，差错图样为1的有 =7种，6 711 丿(7 )差错图样为2的有=21种，而由HrT = HeT，则计算陪集首的伴随式，构造伴12丿随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首000000000000101100100011011000000100110001001010010

7、000011110011000011100100001100000110010000001000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103已知一个(6, 3)线性码 C 的生成矩阵为：1 0 0 1 0G =010011.0 0 1110( 1 ) 写出它所对应的监督矩阵 H；(2) 求消息M=(101)的码字；(3) 若收到码字为101010，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：(1)线性码C的生成矩阵G就是其系统生成矩阵GS，所以其监督矩阵H直接得出:10 110 0H =

8、01 10101 1 0 0 0 1(2)消息 M=(m0,m,m2)=(101),则码字 c 为：1 0=I1 0 1 0 1 1c = f(m) = 11 0 0 10 1+0 0 1 1(3)收到码字r=(101010)，则伴随式1 0 10 1 1”=(10101。) 10 0=(001)0 1 0001又(6, 3)线性码的消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得 码字序列： c0=000000，c1=001110，c2=010011，c3=011101，c4=100101，c5=101011， c6=110110, c7=11

9、1000。伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下:伴随式陪集首000000000101100000011010000110001000100000100010000010001000001111100010伴随式(001)对应陪集首为(000001)，而c=r+e，则由收到的码字r=(101010), 最有可能发送的码字c为：c= (101011)。4.设(6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3,它满足如下监督方程组rx+x+x0124 x+x+x=0235x+x+x0136(1) 求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字；(2) 求生成矩阵,并由信息码元序列101 生成一个码字解：1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：110 10 0H =01 101010 10 0 1因为收到的序列10110为5 位，而由（6, 3）线性码生成的码字为6位，所以10110 不是码字。(2)由G = I , A ,H = AT,I ，则生成矩阵为:n-k k x( n-k)kx( n-k) n-k1 0 0G =0100 0 1101 -110=GS011信息码兀序列M= (101),由c=mGs得码字为c：c = m (100101)+ m(010110)+ m(001011)=(101110)0 1 2